直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)題

專題：直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【典例領(lǐng)】例：如圖，在ABC中AC=BC，∠ACB=90°點(diǎn)D，分別在AC上且CD=CE．（1）如圖1求證：∠∠；（2）如圖2F是BD的點(diǎn)，求證：AE⊥；（3）如圖3F，G分是，的點(diǎn)，若，CE=1，的積【強(qiáng)化練】．在正方形，是CD上點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)、D重）連結(jié)．（感知）如圖①，過點(diǎn)A作AF⊥BE交BC于．≌△BCE（不需要證明）（探究）如圖②，取的中點(diǎn)M過點(diǎn)M作FG⊥BE交于點(diǎn)，點(diǎn)．1

（1）求證：．（2）連結(jié)，CM=1，則FG的為．（應(yīng)用圖取BE的點(diǎn)M結(jié)CM點(diǎn)作⊥BEAD于G結(jié)MG，則四邊形GMCE的面積為．．綜合與實(shí)踐：如圖，將一個等腰直角三角的頂點(diǎn)放在直線上，過點(diǎn)作??于點(diǎn)，過作??于．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，兩點(diǎn)均在直的方時，①猜測線段，與的量關(guān)系，并說明理由；②直接寫出線段，與的量關(guān)系；操作證明：2

（2）將等腰直角三角繞著點(diǎn)逆針旋轉(zhuǎn)至圖置時，線又怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并寫出證明過程；拓廣探索：（3）將等腰直角三用繞著點(diǎn)繼旋轉(zhuǎn)至圖3位置時與交點(diǎn)，，直接寫出的度．．如圖①，中BAC=90°AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A重合），的部作CED，使∠CED=90°DE=CE，連接，別以，為邊作平行四邊形ABFD，連接AF（1）請直接寫出線段AF，AE的量關(guān)系；（2）CED繞C逆針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E線段BC上，如圖②，連接AE請判斷線段AFAE的量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3在②的基礎(chǔ)上，CED繞C續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)請判（問中的結(jié)論是否生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．3

．如圖①CDE是等腰直角三角形，直角邊ACCD在同一條直線上，點(diǎn)MN分別是斜邊、DE中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的點(diǎn)，連接AE、．（1）猜想PM與數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中CDE繞點(diǎn)C順針旋轉(zhuǎn)α（＜＜），得到圖②AE與、BD分別交點(diǎn)GH請判斷）中的結(jié)論是否成立？若立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成角三角形，使BC=kACCD=kCE如圖③，寫出PM與PN數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4

．如圖，中∠ABC=90°AB=BC點(diǎn)E直線上一點(diǎn)，連接AE過點(diǎn)C作CFAE于，連接BF如圖①，當(dāng)點(diǎn)在上，證﹣CF=（需證明），點(diǎn)在CB的長線上，如圖②：點(diǎn)E在BC的長線上，如圖③，線段，CF，之又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．5

733733專題：直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【典例領(lǐng)】例：如圖，在ABC中AC=BC，∠ACB=90°點(diǎn)D，分別在AC上且CD=CE．（1）如圖1求證：∠∠；（2）如圖2F是BD的點(diǎn)，求證：AE⊥；（3）如圖3F，G分是，的點(diǎn)，若，CE=1，的積【案（）證明見解析；）證明見解析；3S=

．8【析（）直接判斷ACE△BCD即得出結(jié)論；（2）先判斷出∠CBF進(jìn)而得出∠∠，即可得出結(jié)論（3）先求出，而求出CF=，同理，利用等面積法求出，進(jìn)而求出GM最后用面積公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）BCD中，

＝??{

＝＝，＝∴△ACE，∴∠CAE=；（2）如圖2在中，點(diǎn)是BD的點(diǎn)，∴CF=BF，∴∠BCF=，由（）知，CAE=∠，∴∠BCF=CAE∴∠CAE+ACF=∠∠，6

13131CEF111CEF1133311371113131CEF111CEF11333113711377∴∠∴⊥CF；（3）如圖3∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1在中，根據(jù)勾股定理得BD=∵點(diǎn)F是BD中，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，連接，過點(diǎn)FFH，∵∠，點(diǎn)F是BD的點(diǎn)，∴CD=，∴S=CE?FH=，4由（）知，⊥CF∴S=×ME4∴ME=，44∴，3∴=，36

=3∴S

=

?GM=×．6【強(qiáng)化練】．在正方形，是CD上點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)、D重）連結(jié)．（感知）如圖①，過點(diǎn)A作AF⊥BE交BC于．≌△BCE（不需要證明）（探究）如圖②，取的中點(diǎn)M過點(diǎn)M作FG⊥BE交于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求證：．（2）連結(jié)，CM=1，則FG的為．7

（應(yīng)用圖取BE的點(diǎn)M結(jié)CM點(diǎn)作⊥BEAD于G結(jié)MG，則四邊形GMCE的面積為．【案（）證明見解析；）2，【析【析】感知：利用同角的余角相等判斷出BAF=∠CBE，即可得出結(jié)論；探究：（）判斷出PG=BC，同感知的方法判斷≌CBE，即可得出結(jié)論；（2利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，應(yīng)用：借助感知得出結(jié)論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結(jié)論．【解答】感知：∵四邊形ABCD是方形，∴AB=BC∠BCE=ABC=90°∴∠∠CBE=90°，∵AFBE∴∠ABE+BAF=90°，∴∠∠，在和中

，∴△ABF≌△（）；探究：（）如圖②，過點(diǎn)作GP⊥BC于，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC∠ABC=90°∴四邊形ABPG是形8

11四11四CEGM形∴，PG=BC，同感知的方法得，∠∠，在CBE中

，∴△PGF≌△（ASA）∴BE=FG；（2由（）知，，連接CM，∵∠BCE=90°，點(diǎn)M是BE的點(diǎn)，∴BE=2CM=2∴，故答案為：2．應(yīng)用：同探究（）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3同探究（）得，CG=BE=6，∵⊥，∴=CG×ME=，22故答案為：9．．綜合與實(shí)踐：如圖，將一個等腰直角三角的頂點(diǎn)放在直??上，過點(diǎn)作??于點(diǎn)，過作??于．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，兩點(diǎn)均在直的方時，①猜測線段，與的量關(guān)系，并說明理由；②直接寫出線段，與的量關(guān)系；操作證明：（2）將等腰直角三角繞著點(diǎn)逆針旋轉(zhuǎn)至圖置時，線又怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并寫出證明過程；拓廣探索：（3）將等腰直角三用繞著點(diǎn)繼旋轉(zhuǎn)至圖3位置時與交點(diǎn)，，直接寫出的度．9

33【答案（）．理見解析；（2；證明見解析；（3的度為．【分析】（1）過點(diǎn)作

，根據(jù)已知條件結(jié)合直角三角形性質(zhì)證，而得到四邊形為方形，最后得出，直接寫出（2過作，證明

，證明四邊形??為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求解3過作，證，四邊為方形，再求解.【解答】解：（1）．理由如下：如圖，過點(diǎn)作，的長線于，∵??，??，∴．又∵∴∴四邊形為矩形．∴．又∵，∴．即．在中∴??．∴，又∵四邊形為形，10

∴四邊形為正方形．∴．∴．②．（2）如圖，過點(diǎn)作，延長線于，∵??，，∴．又∵，∴．∴四邊形為矩形．∴．又∵，∴即．在和中∴??．∴，．又∵四邊形為矩形，∴四邊形為方形．∴．∵，∴．∴．（3）11

∴∴如圖，過點(diǎn)作，于，同理可證，四邊形正方形．∴，．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，

．∴

．∴．．如圖①，中BAC=90°AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A重合），的部作CED，使∠CED=90°DE=CE，連接，別以，為邊作平行四邊形ABFD，連接AF（1）請直接寫出線段AF，AE的量關(guān)系；（2）CED繞C逆針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E線段BC上，如圖②，連接AE請判斷線段AFAE的量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3在②的基礎(chǔ)上，CED繞C續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)請判（問中的結(jié)論是否生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．【答案】(1)AF=AE；（）AF=AE，證明詳見解析；（3）結(jié)論不變，AE，理由詳見解析.12

【分析】（1如圖①中，結(jié)論：AE只要證是腰直角三角形即可．2）如圖②中，結(jié)論AE接DF交于K證EKF≌△EDA再是等腰直角三角形即可如圖③中，結(jié)論不變AE，接EF，延長交ACK先證EDF≌△，再證是等腰直角三角形即可．【解答】（1）如圖①中，結(jié)論AE理由：∵四邊形ABFD是行四邊形，∴AB=DF∵AB=AC∴，∵，∴，∵∠DEC=∠AEF=90°∴△是腰直角三角形，∴AF=AE（2）如圖②中，結(jié)論AE．理由：連接，DF交BC于K．∵四邊形ABFD平行四邊形，∴AB∥DF∴∠DKE=∠ABC=45°，13

∴﹣，∵∠ADE=180°∠﹣，∴∠EKF=ADE∵∠DKC=∠∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD在EKFEDA中

，∴△≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED∴∠FEA=BED=90°，∴△是腰直角三角形，∴AF=AE（3）如圖③中，結(jié)論不變．理由：連接，延長FD交AC于K∵∠EDF=180°∠KDC﹣﹣∠KDC∠ACE=（90°∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠∠ACE∵DF=AB，AB=AC∴DF=AC在EDFECA中

，∴△≌△ECA，14

∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°∴△是腰直角三角形，．如圖①CDE是等腰直角三角形，直角邊ACCD在同一條直線上，點(diǎn)MN分別是斜邊、DE中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的點(diǎn)，連接AE、．（1）猜想PM與數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中CDE繞點(diǎn)C順針旋轉(zhuǎn)α（＜＜），得到圖②AE與、BD分別交點(diǎn)GH請判斷）中的結(jié)論是否成立？若立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成角三角形，使BC=kACCD=kCE如圖③，寫出PM與PN數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【案（），⊥PN，理由見解析；2）理由見解析；）PM=kPN理由見解析【析（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易ACE≌△BCD由此可得AE=BD再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN（））中的結(jié)論仍舊成立，由）中的證明思路即可證明；PM=kPN由已知條件可證BCD∽△，所以可得BD=kAE，因?yàn)辄c(diǎn)PMN分為、AB、DE中點(diǎn)，所以PM=BDPN=AE，進(jìn)而可證明PM=kPN．【解答】（1），PM⊥，由如下：∵△ACBECD是腰直角三角形，∴AC=BCEC=CDACB=．15

在中，△ACE△（SAS，∴∠EAC=，∵點(diǎn)M、分是斜邊、的中點(diǎn)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)，∴PM=，PN=AE∴，∵NPD=∠EAC∠MPN=∠，∠EAC+∠，∴MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°即PMPN；（2）∵△ACB是腰直角三角形，∴EC=CD∠ACB=∠．∴∠ACB+∠∠．∠∠BCD．∴ACE△．∴AE=BDCAE=CBD又∵∠AOC=BOE，∠∠，∴∠BHO=∠．∵點(diǎn)、、分為、AB、的中點(diǎn)，∴PM=BD，∥BDAE，∥．∴PM=PN∴MGE+∠BHA=180°．∴．∴MPN=90°．∴⊥．（3PM=kPN∵ECD是角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°∴ACB+BCE=∠．∴∠ACE=．∵，，∴∵點(diǎn)、、分為、AB、的中點(diǎn)，∴PM=

=k．∴BCD∽△ACE．∴BD=kAEBD，PN=AE．PM=kPN．16

．如圖，中∠ABC=90°AB=BC點(diǎn)E直線上一點(diǎn)，連接AE過點(diǎn)C作CFAE于，連接BF如圖①，當(dāng)點(diǎn)在上，證﹣CF=（需證明），點(diǎn)在CB的長線上，如圖②：點(diǎn)E在BC的長線上