吉林省吉林市舒蘭市2022年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根2．將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位3．已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-1)B．圖象在第一、三象限C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大4．國(guó)旗上的五角星是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它需要旋轉(zhuǎn)（）后，才能與自身重合．A．36° B．45° C．60° D．72°5．一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個(gè)黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)n為（）A．20 B．24 C．28 D．306．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB=25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°二、填空題7．已知k＞0，且關(guān)于x的方程3kx2+12x+k+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k的值等于．8．如圖，直線AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，則線段A1C1的長(zhǎng)是．9．如圖,雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)與點(diǎn)B(4,),則△AOB的面積為.10．如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為．11．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的一半，則線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠ADE=∠C，四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．若DE=3，則BC的長(zhǎng)為．13．如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為3，∠C＝40°，則的長(zhǎng)為．（結(jié)果保留π）14．如圖，雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端A處恰好彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線的一部分，跳起的演員距點(diǎn)A所在y軸的水平距離為2.5米時(shí)身體離地面最高．若人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離為4米，則人梯BC的高為米．三、解答題15．解方程：x(x-1)=2．16．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5，4)、B(0，3)、(2，1)⑴畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的△；⑵畫出將△繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)17．甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有三個(gè)小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，這些小球除數(shù)字不同外其余均相同．甲先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字后放回，攪勻后乙再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一個(gè)小球．若兩次摸出的小球上數(shù)字之和是偶數(shù)則甲獲勝；若兩次摸出的小球上數(shù)字之和是奇數(shù)，則乙獲勝．用畫樹狀圖或列表的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．18．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以點(diǎn)C為圓心，線段CA的長(zhǎng)為半徑作弧AD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求出陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．19．如圖，△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后與三角形ADE重合，且點(diǎn)C恰好成為AD的中點(diǎn).（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（2）求出∠BAE的度數(shù)和AE的長(zhǎng).20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．若拋物線（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點(diǎn)，A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且CD＝AB，求拋物線的解析式．21．如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象在第一象限內(nèi)交于A(1，6)，B(3，n)兩點(diǎn)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象直接寫出kx+b﹣>0的x的取值范圍．22．如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．23．某書店銷售一批教輔書籍，每天可售出20套，每套可盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，減少庫(kù)存，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果一套書每降價(jià)1元，每天可多售出2套．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）設(shè)每套降價(jià)x元，每天盈利y元（不計(jì)其他書籍），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若書店每天想要在此教輔書上盈利1200元，每套應(yīng)降價(jià)多少元？（3）每套降價(jià)多少元時(shí)，書店每天銷售這套教輔書的盈利達(dá)到最大？盈利最大是多少元？24．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的長(zhǎng)．25．如圖：（1）【問(wèn)題探究】如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)寫出AD與BD之間的位置關(guān)系：▲；②若AC=BC=，DC=CE=，求線段AD的長(zhǎng)；（2）【拓展延伸】如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=，BC=，CD=，CE=1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，直接寫出線段AD的長(zhǎng)．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在軸上，AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根，其中BC＞AB，OA=2OB，邊CD交y軸于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)E出發(fā)沿折線段ED—DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜6）秒，設(shè)△BOP與矩形AOED重疊部分的面積為s．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△BEP為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案解析部分1．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用【解析】【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，∵9＞0，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．【分析】先計(jì)算出根的判別式△的值，根據(jù)△的值就可以判斷根的情況．2．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的幾何變換【解析】【解答】∵y＝﹣3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），y＝﹣3（x+1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），∴將拋物線y＝﹣3x2先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可得到拋物線y＝﹣3（x+1）2+2．故答案為：A．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可。3．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】解：A、x=-1，y==-1，∴圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），不符合題意；B、∵k=1＞0，∴圖象在第一、三象限，不符合題意；C、∵k=1＞0，∴圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＞1時(shí)，0＜y＜1，不符合題意；D、應(yīng)為當(dāng)x＜0時(shí)，y隨著x的增大而減小，符合題意．故答案為：D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解．4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形【解析】【解答】360°÷5=72°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念可知：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，因而國(guó)旗上的每一個(gè)正五角星繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)72°能與自身重合．故答案為：D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念求解即可。5．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；概率公式【解析】【解答】解：根據(jù)題意得=30%，解得n=30，所以這個(gè)不透明的盒子里大約有30個(gè)除顏色外其他完全相同的小球.故答案為：D.【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率的知識(shí)結(jié)合概率公式可得=30%，求解即可.6．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)【解析】【解答】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故答案為：A．【分析】根據(jù)題意先求出∠OCE＝90°，再根據(jù)∠COB＝2∠CDB＝50°，計(jì)算求解即可。7．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的方程3kx2+12x+k+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案為3【分析】所給關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即方程的判別式等于0，解方程即可求得k的值.8．【答案】9【知識(shí)點(diǎn)】平行線分線段成比例【解析】【解答】解：∵AlA∥BB1∥CC1，∴=，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3，∴A1C1=6+3=9．故答案為：9．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性質(zhì)即可得解．9．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；三角形的面積；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：如圖，作過(guò)A、B分別作x軸的垂線，

由題意得k=xy=2×2=4，

∴4=4m,

∴m=1,

∴B（4,1），

S△AOB=S△AOD+S四邊形ADEB-S△BOE，

∵S△AOB=△BOE，

∴S△AOB=S四邊形ADEB=（AD+BE）×DE÷2

=(2+1)x(4-2)÷2=3.

，故答案為：3.

【分析】先由A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式求出k值，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求，然后用分割法求面積，推得△AOB的面積和四邊形ADEB的面積相等，于是求得四邊形ADEB的面積則△AOB的面積可知.10．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴，即．∴．【分析】先求出∠DAB=∠EDC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可。11．【答案】（2，）【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；位似變換【解析】【解答】解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），∴AC的中點(diǎn)是（4，3），∵將△ABC縮小為原來(lái)的一半，∴線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，）．故答案為：（2，）．【分析】位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，根據(jù)此題是線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．12．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴，∵四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．∴，∴，∵DE=3，∴BC=6．故答案為：6【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖片計(jì)算求解即可。13．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算【解析】【解答】解：如圖，連接OD．由切線的性質(zhì)可知，∴．∴．∴故答案為：．【分析】連接OD．由切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出，再由圓周角定理即可求出，最后由弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．14．【答案】3.4【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的其他應(yīng)用【解析】【解答】解：∵跳起的演員距點(diǎn)A所在y軸的水平距離為2.5米時(shí)身體離地面最高．∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝2.5，∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，∴拋物線為y＝，∵人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，則yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．故答案為：3.4．【分析】根據(jù)題意可得拋物線的對(duì)稱軸為x＝2.5，可求得b的值，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，代入后可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，繼而得出人梯高BC的長(zhǎng)度．15．【答案】解：，，，或，故．【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。16．【答案】⑴如圖所示，為所求．⑵如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣5，2)．【知識(shí)點(diǎn)】中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形；作圖﹣旋轉(zhuǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可。17．【答案】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能結(jié)果，其中和為偶數(shù)的情況有5種，和為奇數(shù)的情況有4種∴P(甲獲勝)=，P(乙獲勝)=∵≠，∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．【知識(shí)點(diǎn)】列表法與樹狀圖法【解析】【分析】畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到和為奇數(shù)和偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式分別求出兩人獲勝的概率，從而得出答案．18．【答案】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∠C＝∠BAC＝45°，∴﹣×2×2＝π﹣2，故陰影面積為π﹣2．【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法【解析】【分析】利用勾股定理，扇形面積公式和三角形面積公式計(jì)算求解即可。19．【答案】（1）解：∵△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，A為頂點(diǎn)，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=150°，∴旋轉(zhuǎn)角度是150°（2）解：由（1）可知：∠BAE=360°-150°×2=60°，由旋轉(zhuǎn)可知：△ABC≌△ADE，∴AB=AD，AC=AE，又C為AD中點(diǎn)，∴AC=AE=AB=×4=2cm【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)可求解；

（2）由（1）的結(jié)論可求得∠BAE=360°-2×∠CAE的值；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△ADE，于是AB=AD，AC=AE，則由線段中點(diǎn)的定義得AC=AE=AB可求解.20．【答案】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），∴AB＝4，又A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴h＝2，∵拋物線y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點(diǎn)，∴CD＝AB＝2，∴則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），（或點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）），代入解析式，∴2＝﹣+k，解得，k＝．∴所求拋物線解析式為【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【解析】【分析】先求出AB＝4，再求出k＝，最后求函數(shù)解析式即可。21．【答案】（1）解：∵反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象在第一象限交于A(1，6)，B(3，n)兩點(diǎn)，∴將A(1，6)代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，m=1×6=6，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=，把B(3，n)代入得n=2，∴B(3，2)，將A、B代入y＝kx+b中得∴，∴反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式分別為y＝，y＝﹣2x+8（2）解：由圖象可得：當(dāng)kx+b﹣>0時(shí)，1＜x＜3或．【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可。22．【答案】（1）解：連接OA，OB，OC，作OD⊥AB于點(diǎn)D．則AD=AB，∵BA=CA，OA=OA，OB=OC，∴△BAO≌△CAO，∴∠BAO=∠CAO，∵∠BAC=60°，∴∠BAO=30°，∵圓的直徑為4，∴OA=2，∴OD=1，DA==，∴AB=2DA=2；∴剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑為2（2）解：則扇形（即陰影部分）的弧長(zhǎng)是：，根據(jù)題意得：，解得：r=．答：此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑為．【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；弧長(zhǎng)的計(jì)算【解析】【分析】（1）先求出△BAO≌△CAO，再求出OD=1，DA==，最后求解即可；

（2）根據(jù)題意先求出，再求解即可。23．【答案】（1）解：根據(jù)題意有：，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：（2）解：令y=1200，則有方程：，整理，得：，解得，，∵要減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷售，∴x=20，答：每套要降價(jià)20元（3）解：將函數(shù)關(guān)系式變形為：，∵，∴當(dāng)x=15時(shí)，y值最大，且最大值為y=1250，即：當(dāng)每套降價(jià)15元時(shí)，盈利最大為1250元．【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問(wèn)題【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可作答；

（2）根據(jù)書店每天想要在此教輔書上盈利1200元，列方程求解即可；

（3）先求出，再求解即可。24．【答案】（1）證明：如圖1，連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°，∴AD∥OC，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，則AC平分∠DAB（2）解：法1：如圖2，連接OE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，∴AC=2CD=4，在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，∴AB===8，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=OA=AB=4；法2：如圖3，連接CE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，CD=2，∴AD===6，∵四邊形ABCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，又∵∠DEC=∠B=60°，在Rt△CDE中，CD=2，∴DE===2，∴AE=AD﹣DE=4．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到∠2=∠3，等量代換可得出∠1=∠3，即AC為角平分線；（2）法1：由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ACD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，在直角三角形ABC中，根據(jù)cos30°及AC的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出半徑OE的長(zhǎng)，由∠EAO為60°，及OE=OA，得到三角形AEO為等邊三角形，可得出AE=OA=OE，即可確定出AE的長(zhǎng)；法2：連接EC，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長(zhǎng)，由∠DEC為圓內(nèi)接四邊形ABCE的外角，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度數(shù)求出∠DEC的度數(shù)為60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的長(zhǎng)，求出DE的長(zhǎng)，最后由AD﹣ED即可求出AE的長(zhǎng)．25．【答案】（1）解：①垂直；②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=，∴DF=CF=1，∴AF==3，∴AD=AF+DF=4；（2）解：或【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形