云南省2022屆高三數(shù)學一輪復習測試：簡單幾何體

·高三數(shù)學·單元測試卷(九)第九單元[簡單幾何體]，交角與距離(時量:120分鐘150分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2022年全國Ⅰ高考題)過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有 A．18對 B．24對 C．30對 D．36對2．．(2022年全國Ⅰ高考題)一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為A．B． C． D．3．設三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PA＝QC1A．eq\f(V,6) B．eq\f(V,4) C．eq\f(V,3) D．eq\f(V,2)4．(2022年全國Ⅰ高考題)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為A． B．C． D．eq\f(3,2)5．設α、β、γ為平面，為直線，則的一個充分條件是A． B．C． D．A1CBAB1C1D1DO6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1DA1CBAB1C1D1DOA．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)7．不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有A．3個 B．4個 C．6個 D．7個8．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、C1D1的中點，則直線A1B1與平面A1A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(6),6) D．eq\f(\r(2),2)9．在空間直角坐標系O—xyz中，有一個平面多邊形，它在xOy平面的正射影的面積為8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面積都為6，則這個多邊形的面積為A．2eq\r(46) B．eq\r(46) C．2eq\r(34) D．eq\r(34)10．將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為A． B．2＋ C．4＋ D．答題卡題號12345678910答案二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在橫線上．11．正三棱錐P－ABC的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長為2eq\r(3)，則正三棱錐的底面邊長是_____________．12．如圖，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于________．13．已知球面上A、B兩點間的球面距離是1，過這兩點的球面半徑的夾角為60°，則這個球的表面積與球的體積之比是 ．14．下面是關于三棱錐的四個命題：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．④其中，真命題的編號是______________（寫出所有真命題的編號）．15．(2022年全國Ⅰ高考題)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過對角線BD1的一個平面交AA1于E，交CC1四邊形BFD1E一定是平行四邊形四邊形BFD1E有可能是正方形四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上結(jié)論正確的為（寫出所有正確結(jié)論的編號）．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大?。?7．（本題滿分12分）(2022年湖南高考題)如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別是2和6，高為eq\r(3)的等腰梯形．將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2．ABABCDOO1ABOCO1D（Ⅰ）證明AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大?。?8．（本題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2．（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；（2）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；PABCDE（3）在BC邊上是否存在一點PABCDE19．（本題滿分14分）ABCA1C1FEB1如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45°ABCA1C1FEB1⑴求證：平面A1EF⊥平面B1BCC1；⑵求直線AA1到平面B1BCC1的距離；⑶當AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等．20．(本題滿分14分)如圖直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.CBAOSyCBAOSyxz ⑵設 ① ②OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）； ③O到平面SBC的距離. ⑶設 ①. ②異面直線SC、OB的距離為.（注：⑶只要求寫出答案）21．(本題滿分14分)直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M、N分別是A1B1、AA（I）求的長；（II）求cos〈〉；（III）求證：A1B⊥C1M[簡單幾何體]，交角與距離參考答案一、選擇題題號12345678910答案CDCAABDACC二、填空題11．3；12．eq\r(3)；13．π；14．①③④15．①③④三、解答題16．證明：（Ⅰ）作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD．…………1分建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，…………2分則A（，0，0），B（，1，0），C（－，1，0），D（－，0，0），V（0，0，），∴………………3分由……4分……5分又AB∩AV＝A∴AB⊥平面VAD…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………7分設是面VDB的法向量，則……9分∴，……11分又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為…………12分17．解法一（I）證明由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB.故可以O為原點，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 如圖3，則相關各點的坐標是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）圖3 O1（0，0，）圖3 從而 所以AC⊥BO1.（II）解：因為所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設是0平面O1AC的一個法向量，由得.設二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>， 所以cos，>= 即二面角O—AC—O1的大小是ABOCO1D圖4FE解法二（I）證明由題設知OA⊥ABOCO1D圖4FE 即OA⊥OB.從而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影. 因為， 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1 由三垂線定理得AC⊥BO1.（II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC 內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由題設知OA=3，OO1=，O1C=1， 所以， 從而， 又O1E=OO1·sin30°=， 所以即二面角O—AC—O1的大小是18．解：(1)平面PDC⊥平面PAD．……5分(2)∵cos＝．………………9分(3)假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，令BG＝x，則G(1，x，0)，作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，即DQ＝1．∵2S△ADG＝S矩形ABCD，∴＝2∴＝2，又AG＝．…………14分19．解：⑴CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1………………⑵作A1H⊥EF于H，則A1H⊥面B1BCC1，∴A1H為A1到面B1BCC1的距離，在△A1EF中，A1E＝A1F＝eq\r(2)，EF＝2，∴△A1EF為等腰Rt△且EF為斜邊，∴A1H為斜邊上中線，可得A1H＝eq\f(1,2)EF＝1…………9分⑶作A1G⊥面ABC于G，連AG，則A1G就是A1到面ABC的距離，且AG是∠BAC的角平分線，A1G∵cos∠A1AG＝eq\f(cos45°,cos30°)＝\f(\r(6),3)，∴sin∠A1AG＝eq\f(\r(3),3)，∴A1A＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝1………………14分20．解：（Ⅰ）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）………4分（Ⅱ）①……………7分②，③；……………