正態(tài)分布及其經(jīng)典習(xí)題和答案

正態(tài)分布義【知識網(wǎng)絡(luò)】、取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念；、能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題；、通過實(shí)際問題，借助直觀（如實(shí)際問題的直觀圖識正態(tài)分布、曲線的特點(diǎn)及線所表示的意義。【典型例題】例1）知隨機(jī)變量X服從二項分布，且E（）=2.4VX，則二項分布的參數(shù)，p的為（）答案：。解析：

V)

。（2）正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到

的面積()。A．95%B．50%C．97.5%．不能確定（與標(biāo)準(zhǔn)差的大小有關(guān)）答案：。解析：由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知。（3）某班有名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為10理論上說在分到90分人數(shù)是（）AC8D20答案：。解析數(shù)學(xué)成績是XN(80,10)，9080(80XZZ0.3413

。（4）從1，2，4，5這個數(shù)中任取兩個，這兩個數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望。答案：。析：設(shè)兩數(shù)之積為X，X

234620∴（5）如圖，兩個正態(tài)分布曲線圖：

(x

，2為

()

，則

1

，2

1

2

（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。例：甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6，乙能答對其中的83題行測試，至少答對題算合格.（Ⅰ）求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概.答案：解）依題意，甲答試題數(shù)ξ的概率分布如下：甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望

ξ

13Eξ=

0

131301026

P

310

12

16（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，

PA)=

C

146C

=

6020120

，(B)=

C

C2C

56

因為事件A、B互獨(dú)立，方法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為

P

23

1415

145∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

PP

14445答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為方法二：∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為

4445

．P

211143151545答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

4445

例：甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y，其分布列如下：Ｘ１２３ＰａY13（1）a,b的（2）比較兩名射手的水平答案）

值；（2）

EX0.30.60.30.320.855,0.6所以說甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙穩(wěn)．例：一種賭博游戲：一布袋內(nèi)裝有個球個球，除顏色不同外個小球完全一樣每次從袋中取出球，輸贏規(guī)則為6個紅，贏得100元51白，贏得元；，贏得元白，輸?shù)?002紅4白贏得元；1紅5白贏得50；全白，贏得100元而游戲是免費(fèi)的很人認(rèn)為這種游戲非常令人心動，現(xiàn)在，請利用我們學(xué)過的概率知識解釋我們是否該“心動。答案：設(shè)取出的紅球數(shù)為X則X—H6，P(設(shè)贏得的錢數(shù)為Y，則Y的分布列為

，其中k=0,1,2,…,6X

100

—100

1462

677

75154

100231∴E)100【課內(nèi)練習(xí)】

146277

，故我們不該“心動

1ni21111452115135735．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分1ni21111452115135735A．0與1B．1與0C．0與0．11答案：A解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知。．正態(tài)分布有兩個參數(shù)，(相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A．大B．小C越大D．越答案：。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。．已在

n

個數(shù)據(jù)

xxx2

，那么ni

是指A

B．2D．2（）答案：。解析：由方差的統(tǒng)計定義知。．設(shè)

()，E

12，V

，的是。答案：4。解析：

np12

np4．對某個數(shù)學(xué)題，甲解出的概率為，解出的概率為，人獨(dú)立解題。記X為解出該題的人數(shù)，則E3（X=答案：

1712

。。解析：(,P(X(2)3444

?！郋2

。122．設(shè)隨機(jī)變量

服從正態(tài)分布

，則下列結(jié)論正確的是。(1)

(|

a(|

a

|aa(2)

Pa)2P)(3)

P

P(

a0)(4)

P

a(|

|aa答案：(1),(2),(4)。析：(|

a)

。．拋擲一顆骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)為X則V（）=

。答案：。析：P(),126

，按定義計算得E(X)V(。212．有甲乙兩個單位都想聘任你，你能獲得的相應(yīng)的職位的工資及可能性如下表所示甲單位

1200

1400

1600

1800概率乙單位

1000

1400

1800

2200概率根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位并說明理由。答案：由于（甲）（（甲）<V乙選擇甲單位。解析：E（甲）（=1400V甲），（乙）。．5元，可以加一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個其中有8個標(biāo)1元，個標(biāo)元錢

1摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他得獎勵是所抽球的數(shù)之和（設(shè)為獎獲利的數(shù)學(xué)望。答案：解：因為抽到的2球錢數(shù)之和，則能取的值為2，6，10.1P

2)

C，6)82C24510

，

P(

C1C

281618454545設(shè)為獎?wù)攉@利的可能值，則18(E5

，抽獎?wù)攉@利的數(shù)學(xué)期望為故，抽獎人獲利的期望為-

75

。．甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，甲或乙解出的概率為.92.（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概；（2）求解出該題的人數(shù)數(shù)期望和方.答案：解）甲、乙分別解出此題的事件記為、B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P，為P則P（A）=P=0.6,P(AB)PA)P)(1P)PP0.9212110.6PP22則P0.32即P分)22(2)(

(A)(B)0.2P(P(

1)P()()P(A()0.60.40.44()B)0.8

的概率分布為:

012

P0.440.440.961.4

，V(

)0.480.15680.07040.4

，或利用

)E

?！咀鳂I(yè)本】

．甲、乙兩名射擊運(yùn)動員，甲射擊一次命中10環(huán)概率為0.5，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們獨(dú)立的射擊兩次，設(shè)乙命中環(huán)的次數(shù)為X則EX=分布列及期望.

43

，甲與乙命中10環(huán)的差的絕對.求s的及Y的答案：解：由已知可得

X)

，故

EX2

4,所以s3

．有Y的值可以是，，甲、乙兩人命中環(huán)的次數(shù)都是0次概率是

111())23

，甲、乙兩人命中環(huán)的次數(shù)都是1次概率是甲、乙兩人命中環(huán)的次數(shù)都是2次概率是

11112112()()22233331122()()2239

，所以

1213Y369

；甲命中10環(huán)次數(shù)是2且乙命中10環(huán)次數(shù)是0的概率是

111()2)23

，甲命中10環(huán)次數(shù)是0且命中環(huán)次數(shù)是次的概率是

1121()()2239所以

Y

111，故YPY0)P(Y362所以Y的分布列是Y

3113236所以Y的望是（Y）

79

。

536．一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投0萬，開發(fā)成功的概率為，開發(fā)不成功，則只能收回0萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否功都需要花10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8若發(fā)布成功則可以銷售100萬，否則起到負(fù)面作用只能銷售60元，而不召開新聞發(fā)布會則可能銷售75萬（1求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概.（2求開發(fā)商盈利的最大期望值.答案：解）A=“件開發(fā)成功“聞發(fā)布會召開成功”軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2）不召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是

(751

(萬元)；E2故開發(fā)商應(yīng)該召開新聞發(fā)布會，且盈利的最大期望是萬..

（萬元）

．某公司咨詢熱線電話共有路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)10點(diǎn)段時間，外線同時使用情況如下表所示：電話同時打入次數(shù)X概率

2356

若這段時間內(nèi)，公司只安排接線員（一個接線員只能接一部電話（1求至少一路電話號不能一次接通的概率；（）在一周五個工作日中，如果有三個工作日的這一時間至少一路電話不能一次接通，那么公司形將受到損害，現(xiàn)在至少一路電話不能一次接通的概率表示公司的“損害度”，，求這種情況下公司形象“損害度”；（3求一周五個工作日的時間內(nèi)，同時打入電話數(shù)X的學(xué)期望.答案：解：（1只安排位接線員則至少一路電話號不能一次接通的概率是；（2害度”

35

1()4

3

3()4

2

45512

；（3）一個工作日內(nèi)這一時間內(nèi)同時打入電話的期望是4.87，所以一周內(nèi)5個作日打入電話數(shù)的期望是24.35..．一批電池（一節(jié)）用于手電筒的壽命服從均值為35.6小時標(biāo)準(zhǔn)差為4.4小時正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于40小的概率是多少？答案：解：電池的使用壽命X)則

(X40)(

35.64035.6(1)(Z0.15874.4即這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時的概率是。

《正態(tài)分布》學(xué)設(shè)計教材]人教版高中學(xué)第三選修Ⅱ課題]正態(tài)分布教材分析1.教學(xué)內(nèi)容地位，作用意義正態(tài)分布是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一是統(tǒng)計中的重要內(nèi)容一方面它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了總體分布后給出的一種自然界最常見的一種分布學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用正態(tài)分布解決實(shí)際問題的理論依據(jù)因此它起著承上啟下的橋梁作用一方面正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)許多分布都可以用正態(tài)分布來近似描述因此在理論研究中，正態(tài)分布占有很重要的地位。2.教學(xué)重難：本節(jié)課是概念課教學(xué)應(yīng)該有一個讓學(xué)生參與討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律總結(jié)特點(diǎn)并給出定義、歸納方法的探索認(rèn)識過程，特確定：重點(diǎn)：正態(tài)分布的概念、正態(tài)曲線的性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些簡單計算。難點(diǎn)：正態(tài)分布的意義和性質(zhì)。［目標(biāo)析］1.知識目標(biāo)理解并掌握（標(biāo)準(zhǔn)）正態(tài)分布和正態(tài)曲線的概念、意義及性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用。2.能力目標(biāo)能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機(jī)變量分布的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察并探究規(guī)律，提高分析問題，解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。3.情感目標(biāo)通過教學(xué)中一系列的探究過程使學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識和科學(xué)精神。［教法析］1.教學(xué)手段用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2.教學(xué)方法按照建構(gòu)主義觀點(diǎn)，教學(xué)不只是知識的傳遞，更應(yīng)該是知識的處理和轉(zhuǎn)換。因此，本節(jié)課主要采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)”與“討論探究”等方

3.學(xué)法指導(dǎo)

法組織教學(xué)，凸現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓教師成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者合作者，讓學(xué)生通過函數(shù)觀點(diǎn)主動建構(gòu)出正態(tài)分布、正態(tài)曲線和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會和運(yùn)用由特殊到一般的辯證規(guī)律,教給學(xué)生類比觀察、分析、歸納等學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生自己的學(xué)習(xí)過程成為在教師指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。［過程析］一.數(shù)學(xué)建模，創(chuàng)情境：收集數(shù)據(jù)作出2007年湖北省高考成績的頻率分布直方圖。設(shè)想樣本容量無限增大分組的組距無限縮小么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線（總體密度曲線），總體密度曲線反映了總體分布。[計意圖］：通過一個貼近生活的實(shí)例，使學(xué)生領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又要回歸到實(shí)踐中去”，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。在上例的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步指出，在社會實(shí)踐中，質(zhì)檢廠對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查時是如何對產(chǎn)品質(zhì)量作出估計的?告訴同學(xué)們這樣一些實(shí)際問題的解決，在我們學(xué)習(xí)正態(tài)分布以后都會明確，從而引入課題，明確本節(jié)內(nèi)容的目標(biāo)并使學(xué)生體會到生活的事實(shí)是科學(xué)研究中觸發(fā)思維的源泉。二.觀察抽象，形概念：1.觀察圖象表示的函數(shù)的值域是由正實(shí)數(shù)組成函數(shù)圖象具有左右對稱性。2.聯(lián)想：圖象表示的函數(shù)可以由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合以后再擬合。3.形成定義[計意圖］：用學(xué)過的知識來探究新問題，引導(dǎo)學(xué)生參與概念形成的全過程，驅(qū)動學(xué)生思維的自覺性和主動性，讓學(xué)生親身感受知識的發(fā)生過程，既反映了數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，又符合學(xué)生的思維特征和認(rèn)知規(guī)律。三.實(shí)例演練，鞏概念：[一：面給出三個正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ．

1(x1(x（1f()

12

2（2f(x)2

（3f()

1

e

（答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝，σ＝0．5）[計意圖］：完成了概念部分的教學(xué)，心理學(xué)認(rèn)為，概念一旦形成，必須及時加以鞏固通過對例題的解答進(jìn)一步加深對定義的認(rèn)識而且學(xué)生容易觀察到本例中第一小題給出的函數(shù)表示式在形式上和圖象上比較起來更特殊是很自然地引出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義。四.觀察圖象，探性質(zhì)：把學(xué)生分成若干小組由具體到一般勵學(xué)生大膽猜測并分組討論探究正態(tài)曲線的性質(zhì)由各組組長負(fù)責(zé)記錄探究結(jié)果并展示結(jié)果探究過程中指導(dǎo)學(xué)生明確圖象性質(zhì)主要包括“位置”與“形狀”兩大內(nèi)容，接下來結(jié)合幾何畫板課件的演示幫助學(xué)生整理并提煉出曲線性質(zhì)指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的思想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。探究過程：教師：設(shè)問啟發(fā)→個別指導(dǎo)→組織討論學(xué)生：類比猜想→自主探究→展示交流設(shè)計意圖：在曲線性質(zhì)的推導(dǎo)過程中，不僅鍛煉了學(xué)生觀察、猜測、歸納的能力，而且通過分組討論展示交流培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識和探索精神同時，每次猜想之后必須的數(shù)學(xué)證明更使學(xué)生強(qiáng)化了猜想不可取代證明的嚴(yán)謹(jǐn)思維意識形成了“用數(shù)學(xué)思維學(xué)數(shù)學(xué)”的行為習(xí)慣。五.實(shí)際應(yīng)用，計探究：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些簡單計算問題的處理啟發(fā)學(xué)生在理解相應(yīng)于x的(x)意義的基礎(chǔ)上讓學(xué)生0觀察圖象，教師給予必要的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生得出公式：（1）x，()值，可())出0000（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)(,)取值的概率：P)x)122設(shè)計意圖：讓學(xué)生參與公式的推導(dǎo)過程,加深對公式的理解應(yīng)用起來更加得心應(yīng)手。

三三性質(zhì)說六.講練結(jié)合，計鞏固：[二]:由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間-2,1)內(nèi)取值的概率設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主完成，體會公