幾類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制研究

幾類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制研究幾類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制研究

摘要：復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制是近年來網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與控制理論領(lǐng)域的重要研究方向。隨著人們對各種自然、社會和工程系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題愈演愈烈。本文分析了幾種復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制的研究方向。首先介紹了常見的復(fù)雜時滯網(wǎng)絡(luò)和多智能體網(wǎng)絡(luò)，其中詳細(xì)探討了延遲共振和事件激發(fā)同步控制方法的應(yīng)用。同時，本文還介紹了基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的同步控制方法和切換同步控制方法，以及針對冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制方法。最后，本文著重介紹了奇異復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步分析與控制的研究進(jìn)展，包括使用SlidingModeControl和AdaptiveControl的控制方法，以及使用GapMetric、LMI和半正定規(guī)劃方法的同步控制理論。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)；同步控制；延遲共振；多智能體系統(tǒng)；Lyapunov穩(wěn)定性理論；切換同步控制；冪律網(wǎng)絡(luò)；奇異復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；SlidingModeControl；AdaptiveControl；GapMetric；LMI；半正定規(guī)劃方法。

正文：

導(dǎo)言

復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)作為一種重要的描述自然界和社會工程系統(tǒng)的工具，在如今的科學(xué)研究和工程應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用。不同于傳統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析方法，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析側(cè)重于分析動態(tài)進(jìn)程，包括節(jié)點(diǎn)的演化過程及其互動。在生物學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、社會科學(xué)及工程學(xué)等多個領(lǐng)域，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型得到了廣泛的應(yīng)用。

復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步問題是一個引人注目的研究方向。同步現(xiàn)象將指的是在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點(diǎn)之間的某些狀態(tài)變量隨時間同步。自然界中，許多現(xiàn)象都會對復(fù)雜同步現(xiàn)象進(jìn)行解釋，例如心臟同步現(xiàn)象、雜音抑制、化學(xué)振蕩等。此外，社會和工程領(lǐng)域中的同步現(xiàn)象也越來越受到研究人員的關(guān)注，如車輛行駛和創(chuàng)新協(xié)作等領(lǐng)域。

本論文分析了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步問題的不同研究方向，其中包括時滯網(wǎng)絡(luò)和多智能體網(wǎng)絡(luò)同步，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的同步控制，切換同步控制以及針對冪律網(wǎng)絡(luò)和奇異網(wǎng)絡(luò)的同步控制方法。本文結(jié)合具體例子，對這些同步控制方法進(jìn)行了分析和比較。

時滯網(wǎng)絡(luò)同步

考慮以下時滯網(wǎng)絡(luò)：

$\dot{x_i}(t)=\sum_{j=1}^n{a_{ij}(t)\big(x_j(t)-x_i(t-\tau_{ij})\big)}+u_i(t),$

其中$a_{ij}(t)\in[0,1]$是一個給定的耦合矩陣、$u_i(t)$是本地控制、$\tau_{ij}$是非負(fù)的耦合時滯，和$x_i(t),i=1,2,...,n$是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)。該網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可以表示為$x(t)=[x_1^T(t),x_2^T(t),...,x_n^T(t)]^T\in\boldsymbol{R}^{nd}.$

常用的同步控制方法是基于恒等耦合的線性控制器：

$u_i(t)=-k\big(x_i(t)-\bar{x}(t)\big),$

其中$\bar{x}(t)$是網(wǎng)絡(luò)的平均值，$k>0$是一個控制增益。該線性控制器將對網(wǎng)絡(luò)的同步性進(jìn)行維護(hù)，但對于存在時滯的網(wǎng)絡(luò)來說，傳統(tǒng)的線性耦合同步控制器無法保證網(wǎng)絡(luò)的同步性。為此，許多關(guān)于時滯網(wǎng)絡(luò)控制的文獻(xiàn)提出了兩種有效的控制策略：一是“事件激發(fā)”同步控制，二是基于“延遲共振”的同步控制。

1.“事件激發(fā)”同步控制

事件激發(fā)策略指當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到一定的誤差范圍時，網(wǎng)絡(luò)將觸發(fā)控制器。常用的事件激發(fā)規(guī)則通常具有低復(fù)雜度、簡單易實(shí)現(xiàn)等顯著優(yōu)點(diǎn)，而且可以通過選擇適當(dāng)?shù)臅r刻來減小控制器的計(jì)算代價(jià)。

基本的事件激發(fā)規(guī)則可以寫成:

$\tau_i(k)=\big\{t|t_k<t<t_k+d_i(t_k)\big\},$

其中$t_k$是上一次控制觸發(fā)的時刻，$d_i(t_k)$是由$i$節(jié)點(diǎn)引發(fā)的事件周期,即

$d_i(t_k)=\sup\{\tau_{ij}(t)|i,j=1,2,...,n\}.$

網(wǎng)絡(luò)的同步控制效果可以得到保證，且該方法可以適用于各種耦合時滯情況。

2.基于“延遲共振”的同步控制

“延遲共振”是一種非線性動力學(xué)現(xiàn)象，指在耦合時滯間隔為約周期倍數(shù)的多個非線性系統(tǒng)之間可能達(dá)成一種周期性的同步狀態(tài)。延遲共振現(xiàn)象的出現(xiàn)是由于兩個與時滯相差一個固定的周期的耦合系統(tǒng)的蛛絲馬跡共振現(xiàn)象，可以近似地看作是時間滯后一定時間的信號當(dāng)作加成實(shí)現(xiàn)的。

考慮一個自主節(jié)點(diǎn)$i$，它與其他節(jié)點(diǎn)之間存在時滯耦合，且其耦合強(qiáng)度$\alpha_i$可以根據(jù)輸入$i$節(jié)點(diǎn)與整個網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度$\beta(t)$的函數(shù)調(diào)整，即

$u_i(t)=-\alpha_i\big(x_i(t)-\bar{x}(t)\big)+\beta(t)\sum_{j=1}^na_{ij}(t)\big(x_j(t-\tau_{ij})-x_i(t)\big),$

其中$\bar{x}(t)$是網(wǎng)絡(luò)的平均值。可以證明，通過適當(dāng)選取$\alpha_i$，延遲共振現(xiàn)象可以被激發(fā)，從而實(shí)現(xiàn)同步控制。

多智能體網(wǎng)絡(luò)同步

多智能體網(wǎng)絡(luò)是一組相互聯(lián)系、相互作用并協(xié)同完成任務(wù)的智能體。多智能體系統(tǒng)采用協(xié)作的方式來實(shí)現(xiàn)對共同任務(wù)的求解，能夠在各種領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，如機(jī)器人技術(shù)、智能交通系統(tǒng)等。

考慮以下$n$個具有$N$個維度的多智能體系統(tǒng)

$\dot{x_i}(t)=f_i\big(x_i(t)\big)+\sum_{j=1}^na_{ij}\big(\|x_i(t)-x_j(t)\|\big)\big(x_j(t)-x_i(t)\big)+u_i(t),$

其中$x_i(t)\in\boldsymbol{R}^N$是第$i$個智能體系統(tǒng)的狀態(tài)，$f_i(\cdot):\boldsymbol{R}^N\rightarrow\boldsymbol{R}^N$是第$i$個系統(tǒng)的固有動力學(xué)。$a_{ij}\big(\|x_i(t)-x_j(t)\|\big)$是代表第$i$個系統(tǒng)與第$j$個系統(tǒng)之間的耦合強(qiáng)度，$\sum_{j=1}^na_{ij}\big(\|x_i(t)-x_j(t)\|\big)\big(x_j(t)-x_i(t)\big)$表示第$i$個系統(tǒng)與鄰居交互，$u_i(t)$是控制輸入。

同步在多智能體系統(tǒng)中的表現(xiàn)通常是指系統(tǒng)中所有智能體達(dá)到一致狀態(tài)。在同步問題中，主要存在的挑戰(zhàn)是如何設(shè)計(jì)分布式控制器，使得所有智能體最終趨向于一致狀態(tài)，且控制器只依賴于每個智能體的聯(lián)合狀態(tài)。近年來，許多研究工作致力于多智能體同步問題的理論分析和控制設(shè)計(jì)，主要可以分為事件激發(fā)同步控制、切換同步控制和基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的同步控制。

1.事件激發(fā)同步控制

類似于時滯網(wǎng)絡(luò)同步中的事件激發(fā)控制器，多智能體網(wǎng)絡(luò)的事件激發(fā)同步控制器具有低復(fù)雜度、簡單易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)?；镜氖录ぐl(fā)規(guī)則也可以使用在多智能體系統(tǒng)的同步控制中。較為常用的事件激發(fā)規(guī)則是基于“自適應(yīng)隨機(jī)點(diǎn)觸發(fā)”的方法，即由網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)觸發(fā)事件。在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用隨機(jī)列舉法，在某一時刻從候選點(diǎn)集合中隨機(jī)選取一個點(diǎn)觸發(fā)事件。

2.切換同步控制

切換同步控制是指在某些情況下，智能體系統(tǒng)需要更改控制輸入，以達(dá)到同步控制的目標(biāo)。在多智能體網(wǎng)絡(luò)中，通?？梢酝ㄟ^自適應(yīng)陣列方法或經(jīng)過設(shè)計(jì)的開關(guān)系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)控制輸入的切換。自適應(yīng)陣列方法可以在每個時間步長內(nèi)自適應(yīng)調(diào)整其陣列的權(quán)重，從而使其能夠?qū)崿F(xiàn)同步控制。而切換自適應(yīng)控制器則通常是基于軌跡跟蹤的方法，通過調(diào)整智能體控制器并在每個子系統(tǒng)之間進(jìn)行切換，從而實(shí)現(xiàn)同步控制。

3.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的同步控制

Lyapunov穩(wěn)定性理論可以用于多智能體網(wǎng)絡(luò)的同步控制，針對多智能體網(wǎng)絡(luò)的同步控制，通常使用Lyapunov穩(wěn)定性理論來證明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為。對于多智能體系統(tǒng)同步問題，常常采用基于誤差系統(tǒng)的方法，將誤差定義為:

$e_i(t)=x_i(t)-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nx_j(t),$

然后通過設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？梢宰C明，在某些假設(shè)條件下，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的同步控制器可以實(shí)現(xiàn)整個智能體網(wǎng)絡(luò)的同步控制。

冪律網(wǎng)絡(luò)同步

4.冪律網(wǎng)絡(luò)同步

冪律網(wǎng)絡(luò)是一種特殊的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布呈冪律分布。在冪律網(wǎng)絡(luò)中，存在一些高度中心化的節(jié)點(diǎn)，它們對整個網(wǎng)絡(luò)的同步具有重要影響。因此，如何實(shí)現(xiàn)冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制是一個重要的問題。

針對冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制，通常采用基于隨機(jī)重構(gòu)的方法。具體來說，可以通過隨機(jī)選擇一些節(jié)點(diǎn)，將它們與其他節(jié)點(diǎn)建立新的邊，從而改變網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種隨機(jī)重構(gòu)的方法可以提高冪律網(wǎng)絡(luò)的同步性能，并且在一定程度上可以避免高度中心化節(jié)點(diǎn)對同步性能的負(fù)面影響。

另外，基于冪律網(wǎng)絡(luò)的特殊結(jié)構(gòu)，還可以利用分簇同步的思想來實(shí)現(xiàn)同步控制。具體來說，可以將網(wǎng)絡(luò)劃分為若干個子集，每個子集內(nèi)部實(shí)現(xiàn)同步控制，而不同子集之間不需要實(shí)現(xiàn)同步。通過這種方式，可以有效地提高網(wǎng)絡(luò)的同步性能，使得整個冪律網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)同步控制。

總之，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制是一個具有挑戰(zhàn)性的問題，在實(shí)際應(yīng)用中有重要的意義。研究者們可以結(jié)合實(shí)際問題，采用相應(yīng)的控制策略和方法，實(shí)現(xiàn)冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制，從而推動智能體系統(tǒng)的發(fā)展和應(yīng)用除了基于隨機(jī)重構(gòu)和分簇同步的方法外，還有其他一些方法可以實(shí)現(xiàn)冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制。例如，可以基于中心度來設(shè)計(jì)穩(wěn)定的同步控制算法。由于高度中心化節(jié)點(diǎn)在冪律網(wǎng)絡(luò)中具有較大的中心度，因此這種方法可以有效地控制這些節(jié)點(diǎn)的影響，實(shí)現(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)的同步控制。

另外，還可以利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)特性來實(shí)現(xiàn)同步控制。例如，可以通過構(gòu)造一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)耗散系統(tǒng)，使得網(wǎng)絡(luò)的自然演化趨向于同步狀態(tài)。這種方法可以利用網(wǎng)絡(luò)自身的動力學(xué)特性，實(shí)現(xiàn)同步控制而無需外界干預(yù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制有許多潛在的應(yīng)用。例如，在社交網(wǎng)絡(luò)中，可以通過控制核心節(jié)點(diǎn)的同步行為，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中信息的快速傳播和社交活動的組織。在物聯(lián)網(wǎng)中，可以通過控制關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的同步行為，實(shí)現(xiàn)對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的穩(wěn)定控制和協(xié)同工作。在智能制造中，可以通過控制生產(chǎn)線中關(guān)鍵設(shè)備的同步行為，實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)效率和品質(zhì)的提高。

需要注意的是，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制還存在一些挑戰(zhàn)和問題。例如，在高度中心化的冪律網(wǎng)絡(luò)中，存在一些難以控制的節(jié)點(diǎn)，需要采用較為復(fù)雜的控制方法來處理。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動態(tài)演化特性可能會發(fā)生變化，對同步控制算法的穩(wěn)定性和魯棒性提出了更高的要求。

綜上所述，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制是一個具有挑戰(zhàn)性和重要性的研究問題。通過采用合理的控制策略和方法，可以實(shí)現(xiàn)冪律網(wǎng)絡(luò)的同步控制，并在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮重要的作用。研究者們應(yīng)不斷探索和改進(jìn)不同的控制方法和算法，促進(jìn)冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用除了上文提到的應(yīng)用場景外，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制還可以用于一些其他領(lǐng)域。例如，在大氣污染監(jiān)測中，可以通過控制傳感器節(jié)點(diǎn)的同步行為，實(shí)現(xiàn)對污染源的準(zhǔn)確定位和污染程度的評估。在金融風(fēng)險(xiǎn)控制中，可以通過控制關(guān)鍵機(jī)構(gòu)的同步行為，實(shí)現(xiàn)金融系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警。在交通流量控制中，可以通過控制關(guān)鍵路口的同步行為，實(shí)現(xiàn)交通擁堵的緩解和出行時間的縮短。在醫(yī)療健康管理中，可以通過控制重要疾病的傳播節(jié)點(diǎn)的同步行為，實(shí)現(xiàn)疾病的預(yù)防和控制。

同時，冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制的研究也可以拓展到更為復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性上。例如，可以研究具有時滯或非線性關(guān)系的冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制問題，挑戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)同步控制算法的穩(wěn)定性和實(shí)用性。此外，還可以研究冪律網(wǎng)絡(luò)同步控制在異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)、多智能