參數(shù)估計與假設(shè)檢驗

參數(shù)估計與假設(shè)檢驗第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

統(tǒng)計的發(fā)展可追溯到幾千年以前。最初它是情況的記錄和描述，如一個國家有多少人、男女比例如何等。社會的進化，尤其是科技的進步，給統(tǒng)計提出了一系列新的問題。資本主義的商業(yè)競爭，要對市場的變化作出迅速的反映，抽樣調(diào)查的理論和方法就有了很快的進展；農(nóng)業(yè)品種的改良、工業(yè)技術(shù)的更新，需要試驗、要探討變量之間的關(guān)系，回歸分析、實驗設(shè)計等也就隨之形成。

1946年克拉美出版了《統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)方法》一書，把勒貝格(HenryLebesquel875—1941)代數(shù)作為統(tǒng)計的工具，比較完整地給出了數(shù)理統(tǒng)計的全貌。數(shù)理統(tǒng)計的特點是應(yīng)用面廣,分支較多。數(shù)理統(tǒng)計是研究怎樣收集資料、如何分析、處理資料的學(xué)科。所謂資料，除了數(shù)據(jù)之外，還包括一些情況、圖表、…等原始材料。本書的內(nèi)容只限于數(shù)據(jù)的分析，不論述如何收集資料?；靖拍畹?頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

一般說來，要考察研究的對象，它們的指標可以分成以下幾類：

1.計量的。如身高、體重、溫度、濕度等，它可以取到某一區(qū)間內(nèi)各個實數(shù)的值。

2.計數(shù)的。如一個班上優(yōu)秀生的人數(shù)，一個月中下雨的天數(shù)、一批產(chǎn)品中不合件數(shù)等，它可以取整數(shù)值。

3.有序的。如醫(yī)生診斷眼睛結(jié)膜炎，常用“+”，“++”，“+++”表示，不能計量，但可以表示出輕微、中等、嚴重等不同的程度，它是有序的。

4.名義的。如不同的地區(qū)用不同的編碼表示；此時碼值大小已無意義，碼僅僅代號。一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象，研究對象的全體就是總體，總體中的每成員就是個體。然而統(tǒng)計問題所關(guān)心的只是個體的某一特性或某些特性。要了解總體的情況，常用的一個方法就是抽樣，從總體中隨機地抽取一個個體，它就是樣品。樣品與個體不同，個體是確定的，樣品是不確定的。若干個樣品就構(gòu)成一個樣本?？傮w中個體的數(shù)量一般都較多，抽取的樣品又很少，這樣第一個樣品抽取后不會改變總體的分布，第二個樣品與第一個樣品的分布相同，彼此可以認為是獨立的。一個樣品取到的值就是樣品值，一個樣本取到的值就是樣本值。統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本值，去推斷總體的情況——總體分布F(x)的性質(zhì)，樣本是聯(lián)系兩者的橋梁，總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律而可以從樣本值去推斷總體。統(tǒng)計量：不含末知參數(shù)的樣本函數(shù)。第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)是從樣本X中抽取的一個樣本樣本均值樣本方差常用統(tǒng)計量及分布第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三來自總體N(,2)的一個樣本來自正態(tài)總體N(,2)U、T統(tǒng)計量及分布第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三分布來自正態(tài)分布N(0,1)來自正態(tài)分布N(,2)卡方統(tǒng)計量及分布第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個樣本獨立概率分布的上分位點簡介F統(tǒng)計量及分布第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三，其中和例設(shè)某種燈泡壽命2未知，今隨機抽取5只燈泡，測得壽命分別為（單位：小時）：16231527128714321591求和2的估計值。矩估計第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三步驟：

(1)由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度）；（2）把樣本聯(lián)合密度中自變量看成常數(shù)，而把參數(shù)看成自變量得到似然函數(shù)；（3）求似然函數(shù)的最大值點；（4）在最大值點的表達式中用樣本值代入就得參數(shù)的估計值。最大似然估計第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

例設(shè)來自正態(tài)總體，求和2的最大似然估計。解的密度函數(shù)為

聯(lián)合密度為第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三便于求導(dǎo)第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三如果參數(shù)的估計值滿足則稱為參數(shù)的無偏估計。有效性若1，2都是的無偏估計，而且D(1)D(2),則稱1比2有效。無偏估計第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三步驟：明確問題，參數(shù)相應(yīng)的點估計量，由它導(dǎo)出與參數(shù)有關(guān)的分布，利用這個分布給出區(qū)間估計。為置信度，置信區(qū)間為區(qū)間估計第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三2已知2未知第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三從正態(tài)分布N(,1)中抽取容量為4的樣本，樣本均值為13.2，求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解例1第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三用某儀器測量溫度,重復(fù)5次,測得1250,1265,

1245,1260,1275,設(shè)測得數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,試求溫度真值所在得范圍（=0.005）。解例2第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

(1)將實際問題用統(tǒng)計的術(shù)語敘述成一個假設(shè)檢驗的問題；明確原假設(shè)H0和對立假設(shè)H1的內(nèi)容和它們的實際意義，要注意正確選用H0;

(2)尋找與命題H0有關(guān)的統(tǒng)計量;

通常用t(x1,x2,···,xn)表示，說明它是由樣本x1,x2,···,xn確定的函數(shù)

(3)求得在H0成立時，t(x1,x2,···,xn)的分布

假設(shè)檢驗步驟第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

(4)確定顯著性水平，對給定的,去查統(tǒng)計量t相應(yīng)的分位點的值，這個值就是判斷H0是否成立的臨界值。

(5)由樣本值去計算統(tǒng)計量t的數(shù)值、將它與臨界值比較，從而作出判斷。這五個步驟中，(2)與(3)是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)者們研究解決的，它涉及較多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，實際工作者只需注意(1)、(4)、(5)這三步，把問題提清楚，在書上找到有關(guān)的統(tǒng)計量及相應(yīng)的表，查表后對給定的顯著性水平確定臨界值，再計算統(tǒng)計量的值來判斷H0是否成立。第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三判別滿足則接受H0，拒絕H1第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三例已知某鋼鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從N(4.55,0.1102),現(xiàn)測得9爐鐵水，其含碳量分別為：4.274.324.524.444.514.554.354.284.45，如果標準差沒有改變，總體均值是否有顯著變化？解（1）建立零假設(shè)H0和對立假設(shè)H1(2)選擇統(tǒng)計量U檢驗法第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（3）選擇顯著性水平，查臨界值1-/2(4)判斷得出結(jié)論含碳量與原來相比有顯著差異。第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三例由于工業(yè)排水引起附近水質(zhì)污染，測得魚的蛋白質(zhì)中含汞的濃度（p.p.m）為:0.370.2660.1350.0950.1010.2130.2280.1670.7660.054,從過去大量的資料判斷,魚的蛋白質(zhì)中含汞的濃度服從正態(tài)分布,并且從工藝過程分析可以推算出理論上含汞的濃度為0.10,問從這組數(shù)據(jù)來看,實測值與理論值是否符合?T檢驗法第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三解實測值與理論值是相等的。第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三例某車間生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向比較穩(wěn)定，今從產(chǎn)品中任意抽取10根檢查折斷力，得數(shù)據(jù)如下(單位：kg)：578572570568572570572596584570，問：是否可相信該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為64？2檢驗第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三解可相信該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為64第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三否定域臨界值統(tǒng)計量問題第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三說明：（1）假設(shè)檢驗的依據(jù)是小概率原理（在一次試驗中可以認為基本上不可能發(fā)生），如果在一次試驗中，小概率事件沒有發(fā)生，則接受零假設(shè)H0；否則，就拒絕零假設(shè)H0（2）檢驗要檢驗假設(shè)H0

是否正確，是根據(jù)一次試驗得到的樣本作出的判斷，因此無論拒絕H0還是接受H1，都要承擔風(fēng)