數(shù)列的概念與簡單表示-練習題

數(shù)列的概念與簡單表示[A級基礎題——基穩(wěn)才能樓高]1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，則a4的值為()A．31 B．30C．15 D．63解析：選C由題意，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，故選C.2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2019＝()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2解析：選A由a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，得a2＝eq\f(1,1－a1)＝2，a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1，a4＝eq\f(1,1－a3)＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(1,1－a4)＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2018＝a3×672＋3＝a3＝－1.3．數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝(－1)n·n2C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n·(n＋1)2解析：選B易知數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項公式為an＝(－1)n·n2，故選B.4．在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于()A．256 B．510C．512 D．1024解析：選C在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.5．設數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．(－∞，3) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：選C因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.[B級保分題——準做快做達標]1．(2019·福建四校聯(lián)考)若數(shù)列的前4項分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，則此數(shù)列的一個通項公式為()A.eq\f(－1n＋1,n＋1) B．eq\f(－1n,n＋1)C.eq\f(－1n,n) D．eq\f(－1n－1,n)解析：選A由于數(shù)列的前4項分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，可得奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，第n項的絕對值等于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)))，故此數(shù)列的一個通項公式為eq\f(－1n＋1,n＋1).故選A.2．(2019·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝()A．2n－1 B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))n－1C．n D．n2解析：選C由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))為常數(shù)列，即eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝1，故an＝n.故選C.3．(2019·北京西城區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，則a3＝()A．－1 B．－2C．－4 D．－8解析：選D∵數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故選D.4．(2019·桂林四地六校聯(lián)考)數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100項是()A．10 B．12C．13 D．14解析：選D1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)，由eq\f(1,2)n(n＋1)≤100，得n的最大值為13，易知最后一個13是已知數(shù)列的第91項，又已知數(shù)列中14共有14項，所以第100項應為14.故選D.5．(2019·兗州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2，n<4，,6－an－a，n≥4，))若對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(1,4) B．(2,5)C．(1,6) D．(4,6)解析：選A因為對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a，,6－a>0，,a<6－a×4－a，))解得1<a<4，故選A.6．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\r(5n－1)(n∈N*)，將數(shù)列{an}中的整數(shù)項按原來的順序組成新數(shù)列{bn}，則b2019的末位數(shù)字為()A．8 B．2C．3 D．7解析：選D由an＝eq\r(5n－1)(n∈N*)，可得此數(shù)列為eq\r(4)，eq\r(9)，eq\r(14)，eq\r(19)，eq\r(24)，eq\r(29)，eq\r(34)，eq\r(39)，eq\r(44)，eq\r(49)，eq\r(54)，eq\r(59)，eq\r(64)，…，{an}中的整數(shù)項為eq\r(4)，eq\r(9)，eq\r(49)，eq\r(64)，eq\r(144)，eq\r(169)，…，∴數(shù)列{bn}的各項依次為2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位數(shù)字分別是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2019＝4×504＋3，故b2019的末位數(shù)字為7.故選D.7．(2018·長沙調(diào)研)已知數(shù)列{an}，則“an＋1>an－1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B由題意，若“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，則an＋1>an>an－1，但an＋1>an－1不能推出an＋1>an，如an＝1，an＋1＝1，{an}為常數(shù)列，則不能推出“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，所以“an＋1>an－1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選B.8．(2019·長春模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an等于()A.eq\f(1,3n－1) B．eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(6,n＋1n＋2) D．eq\f(5－2n,3)解析：選B由題意知，Sn＋nan＝2，當n≥2時，(n＋1)an＝(n－1)an－1，從而eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－1,n＋1)，有an＝eq\f(2,nn＋1)，當n＝1時上式成立，所以an＝eq\f(2,nn＋1).9．(2019·蘭州診斷)已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝eq\f(1,nn＋1)，當n≥2時，有bn＝bn－1＋an－1，則b501＝________.解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1×n)，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1×n)＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,n)＝eq\f(n－1,n)，又b1＝0，所以bn＝eq\f(n－1,n)，所以b501＝eq\f(500,501).答案：eq\f(500,501)10．(2019·河南八市重點高中測評)已知數(shù)列{an}滿足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝eq\f(1,3)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴兩邊同除以an·an＋1，得eq\f(21－an＋1,an＋1)－eq\f(21－an,an)＝eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＋1，整理，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝eq\f(1,n＋2).答案：eq\f(1,n＋2)11．(2019·寶雞質(zhì)檢)若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋eq\r(a3)＋…＋eq\r(an)＝n2＋n，則a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝________.解析：由題意得當n≥2時，eq\r(an)＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又n＝1，eq\r(a1)＝2，∴a1＝4，∴eq\f(an,n)＝4n，∴a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝eq\f(1,2)n(4＋4n)＝2n2＋2n.答案：2n2＋2n12．(2019·深圳期中)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,32)＋…＋eq\f(an,n2)＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解析：由a1＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,32)＋…＋eq\f(an,n2)＝an(n∈N*)知，當n≥2時，a1＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,32)＋…＋eq\f(an－1,n－12)＝an－1，∴eq\f(an,n2)＝an－an－1，即eq\f(n＋1,n)an＝eq\f(n,n－1)an－1，∴eq\f(n＋1,n)an＝…＝2a1＝2，∴an＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)13．(2019·衡陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3.(1)寫出該數(shù)列的前4項，并歸納出數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝4.解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因為a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1.(2)證明：因為an＋1＝4an＋3，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(4an＋3＋1,an＋1)＝eq\f(4an＋1,an＋1)＝4.14．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因為n∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為a2，a3.因為an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，解得k>－3.所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．15．(2019·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}中，bn＝eq\f(2,an＋1)，且其前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性．解：(1)∵a1＝S1＝2，