高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”教學(xué)研究

專題講座高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”教學(xué)研究谷丹北京四中一、整體把握“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)內(nèi)容（一）教學(xué)內(nèi)容的知識框架（二）教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與作用由上述知識框架可知：我們將以“任意角與弧度制”、“任意角的三角函數(shù)”、“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為基本知識結(jié)構(gòu)展開各重點內(nèi)容的學(xué)習(xí)。三角函數(shù)作為高中學(xué)習(xí)的第二類基本初等函數(shù)，必然將充分體現(xiàn)其作為“函數(shù)”而言的一般性與特殊性。三角函數(shù)也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識與方法（如三角變換、向量、解析幾何、高等數(shù)學(xué)等等）的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，在諸多其他學(xué)科與實際生活中亦有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。（三）教學(xué)內(nèi)容的重點、難點分析從教學(xué)內(nèi)容來看，主要的重點是：任意角與弧度制的概念、任意角的三角函數(shù)概念和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、其重要程度，從前至后，逐個遞增：任意角與弧度制的概念，是任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)；兩者皆為引出三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)服務(wù)；而圍繞三角函數(shù)圖象與性質(zhì)展開的教學(xué)內(nèi)容（如：三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)圖象、五點法作圖、函數(shù)圖象的伸縮變換、正弦型函數(shù)圖象等等），幾乎無一例外，都兼有應(yīng)用廣泛的知識性和可推廣的方法性或思想性，同時，對學(xué)生而言，通過對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，也將使他們對前期學(xué)習(xí)的三角內(nèi)容乃至函數(shù)內(nèi)容有更為深入與全面的理解與掌握。在學(xué)習(xí)過程中的主要的教學(xué)難點是：1．直角坐標(biāo)系中的任意角：“終邊相同的角”與直角坐標(biāo)系中角的終邊所在的射線是數(shù)與形“多對一”的關(guān)系，但學(xué)生往往因為初中常用角概念的負(fù)遷移作用，對此對應(yīng)關(guān)系理解不深、使用不準(zhǔn)。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)、幫助學(xué)生自覺克服思維定式，準(zhǔn)確理解與應(yīng)用“新”概念。2．弧度制的概念：學(xué)生往往會因為對在三角函數(shù)的研究中引入弧度制的必要性認(rèn)識不夠明晰，在學(xué)習(xí)初期，盡量使用自己比較熟悉的角度制而回避弧度制，在學(xué)習(xí)后期，則僅僅限于“記住”一些常用角的表示，卻完全遺忘了弧度制的概念。在教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，設(shè)計適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，使學(xué)生理解引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切實落實常用特殊角角度制與弧度制的互化。3．三角函數(shù)線之正切線：一般來說，學(xué)生比較容易理解與掌握正弦線與余弦線，但理解與掌握正切線有一定的難度。而突破這一難點的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生充分理解“有向線段的數(shù)量”及相關(guān)概念。4．誘導(dǎo)公式：因公式繁多，學(xué)生往往視對其的記憶為畏途，在使用時亦易混用或亂用。教學(xué)中應(yīng)注意幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并落實準(zhǔn)確記憶誘導(dǎo)公式的方法。5．函數(shù)的周期性：“函數(shù)的周期性”的表述結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，給學(xué)生準(zhǔn)確、深入地理解概念帶來不小的困難。但因為“周期性”的圖象特征明顯且易把握，所以，只要適當(dāng)把握與“周期性”有關(guān)問題的難度，則對概念理解把握不夠深入透徹也不會過于影響學(xué)生對后繼課程的學(xué)習(xí)。6．函數(shù)圖象的伸縮變換：對學(xué)生而言，“伸縮變換”本身，不是很難理解，但當(dāng)“伸縮變換”與其他變換相結(jié)合構(gòu)成復(fù)合變換時，則易暴露出學(xué)生對“伸縮變換”的理解不準(zhǔn)確、不到位。教學(xué)中，可強化函數(shù)圖象復(fù)合變換的一般方法的教學(xué)，來幫助學(xué)生克服這一學(xué)習(xí)難點。二、“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)策略（一）關(guān)注“任意角”承上啟下的功能我們可以從下述幾個方面來看“任意角”的承上啟下功能。1．初、高中角的兩種常用概念的異同初中高中概念平面內(nèi)具有公共頂點的兩條射線形成的圖形。平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。圖形靜態(tài)動態(tài)角度值算數(shù)量代數(shù)量取值范圍R由上面的對比可見，高中階段角的概念是初中階段常用角的概念自然的推廣。高中階段角的概念與初中階段相比，角的形成過程由靜態(tài)到動態(tài)、角的范圍由有限擴展至全體實數(shù)，這是后一階段學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)與三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，因特別注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初、高中角的概念的不同，避免初中學(xué)習(xí)內(nèi)容的負(fù)遷移。2．任意角的表示任意角的幾何或代數(shù)表示，發(fā)展性地應(yīng)用了前期學(xué)習(xí)的一些知識和方法。對這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，將有助于學(xué)生更為準(zhǔn)確、深入地掌握后繼的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（1）坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示：直角坐標(biāo)系這一數(shù)形結(jié)合的工具，在初中和高中函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)多有運用，但前期學(xué)習(xí)過程中，通常都是“一對一”的——一組坐標(biāo)對應(yīng)一個點，一個函數(shù)解析式對應(yīng)一個圖象等等。坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示，則是“多對一”——“多”組數(shù)對應(yīng)“一”條終邊。在教學(xué)中，我們可以通過多媒體演示或制作一些小課件模型來幫助學(xué)生了解與體會“任意角”所在的直角坐標(biāo)系平面，是無限多“層”相聯(lián)相“疊合”而成的，每一個具體的角度值，都將唯一的對應(yīng)著某一“層”中的一條終邊。（2）任意角的集合表示：我們可以用集合的形式來表示終邊相同的角，如：，結(jié)合以前學(xué)過的集合確定性、無序性、互異性的知識，可以更好地了解集合A各種等價的表達形式。我們也經(jīng)常用無數(shù)個集合的并集來表示終邊落在直角坐標(biāo)系中某一區(qū)域內(nèi)的角。如，終邊在這一數(shù)形結(jié)合的工具，尋求最簡單三角函數(shù)方程解的結(jié)果的過程。無論是前一種由“形”到“數(shù)”的過程，還是后一種由“數(shù)”到“形”的過程，都可以在幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提高數(shù)形結(jié)合與自主探究的能力，也會有利于學(xué)生理解與記憶誘導(dǎo)公式。當(dāng)然，當(dāng)我們借助單位圓這一數(shù)形結(jié)合的有效工具得到三角函數(shù)圖象以后，上面所羅列的知識，幾乎都可以從三角函數(shù)圖象上體現(xiàn)出來，所以，單位圓在教學(xué)過程，不僅應(yīng)該考慮“有效果”，也應(yīng)與后繼課程的教學(xué)統(tǒng)籌考慮，避免過于拖沓、重復(fù)，力求“有效率”。（四）突出“同角三角函數(shù)關(guān)系”中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)在初中的直角三角形學(xué)習(xí)中有所接觸，學(xué)習(xí)過程中所遇到的求值、化簡、證明等問題，與后面將要學(xué)習(xí)的三角變換相比，難度也不太大，但所涉及的方法，卻有很多是類同的。因此，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初高中研究同類方法時的異同，避免初中知識的負(fù)遷移，也應(yīng)注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，為后繼課程的學(xué)習(xí)做好鋪墊。我們可以從下列幾個方面注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用：1．程序化地思考在一些求值或化簡過程中，學(xué)生往往會因為忽略了任意角的取值范圍而出現(xiàn)錯誤，我們可以將這類問題的解決過程分解為兩步程序：（1）確定“絕對值”，（2）確定“符號”。如：已知，求。解題過程可以分解為：（1）確定；（2）據(jù)x所在象限或半軸，確定、的符號，得出正確結(jié)果。2．轉(zhuǎn)化或化歸的方法在求值與證明問題時，我們常常會用“化弦”的辦法解決問題，在遇到,齊次問題時，我們常常可將齊次關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化，即是消元思想的應(yīng)用。在處理證明問題時，我們可以用比較法，這本質(zhì)上是將變形問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的化簡問題。3．方程思想同角三角函數(shù)關(guān)系，，可以視為是關(guān)于、、這三個變元的兩個方程，所以，知其一，必可求余二。在教學(xué)過程中，不斷明確指出這些思想方法的作用，既可以幫助學(xué)生較好地完成當(dāng)下的學(xué)習(xí)任務(wù)，也會對學(xué)生更好地理解與掌握這些方法有幫助，進一步提高學(xué)生應(yīng)用這些思想方法的自覺性。4．綜合應(yīng)用的一個例子例（08重慶10)函數(shù)()的值域是（B）。（A）[-]（B）[-1,0]（C）[-]（D）[-]分析：顯然，當(dāng)時，，可排除A選項。于是問題轉(zhuǎn)化為分母應(yīng)與比大小，由可知應(yīng)選B。在此題中，同角三角函數(shù)關(guān)系起到了至關(guān)重要的作用，此公式中，“常數(shù)”與三角函數(shù)的平方項實現(xiàn)互相替換，是解決三角函數(shù)問題比較常用的方法之一。一般來說，選擇有關(guān)三角函數(shù)的綜合性試題時，應(yīng)注意：題面可以比較新穎、解題過程綜合性可以比較強，但解決問題的思路、策略，應(yīng)該能體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想方法，有利于提高學(xué)生靈活使用基本知識方法的能力。（五）全面把握正弦函數(shù)作為“函數(shù)”的一般性與特殊性三角函數(shù)作為一種應(yīng)用廣泛的“函數(shù)”而言，既具有函數(shù)的“通性”，亦具有（與以前學(xué)生接觸過的函數(shù)相比）自身的“特性”。我們可以用下列表格來表示在對三角函數(shù)的探究與應(yīng)用時，我們在對函數(shù)的探究、應(yīng)用中通常都會關(guān)心的主要問題，即所謂“一般性”，與對三角函數(shù)特別關(guān)心的問題，即“特殊性”。一般性特殊性備注定義域，解析式、值域由象限角引入的比值函數(shù)三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系：“（無窮）多”對“一”函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性，奇偶性等）周期性存在性命題函數(shù)圖象作圖利用三角函數(shù)線作圖數(shù)形結(jié)合圖象性質(zhì)與x軸交點、對稱點、對稱軸周期性出現(xiàn)。注意：“”的應(yīng)用。反函數(shù)*已知三角函數(shù)值求角。限制定義域后，才可有反函數(shù)。組合或復(fù)合函數(shù)“值域”與“換元法”，函數(shù)的周期性……關(guān)注基本模型，難度適可而止。關(guān)于上述表格的補充說明：1．關(guān)于定義域、解析式、值域由象限角引入的正弦函數(shù)，使我們面臨兩個直角坐標(biāo)系——象限角所在的直角坐標(biāo)系與的圖象所在的直角坐標(biāo)系，這兩個“系”中，此x非彼x，此y彼y，此“象限”也非彼“象限”，在教學(xué)之初，應(yīng)明確指出期間的聯(lián)系與差別，以避免學(xué)生混用。多對一的（函數(shù)）對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生并不是第一次接觸，他們最為熟悉的“多對一”函數(shù)模型，是二次函數(shù)，但二次函數(shù)之“多”，最多為兩個，與正弦函數(shù)之“無窮多”還是不能同日而語。所以，在最初教師做正弦函數(shù)圖象時，要多畫幾個周期，以幫助學(xué)生較好的建立“無窮多對一”的直觀形象記憶。正弦函數(shù)的值域為有限區(qū)間，我們在處理與值域有關(guān)的問題時，要注意引導(dǎo)學(xué)生與以前常見的值域有限制的函數(shù)（如：反比例函數(shù)、（定義域為有限區(qū)間的）二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等等）研究同類問題時的常用方法做比較，以促進前期學(xué)習(xí)內(nèi)容的正遷移。2．關(guān)于函數(shù)性質(zhì)對周期性的探究與應(yīng)用，與前期學(xué)習(xí)過的單調(diào)性、奇偶性有不少共同點：（1）函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)符號語言表述，皆為自變量的變化，導(dǎo)致因變量的變化；（2）關(guān)注由概念而可推知的定義域的特點；（3）函數(shù)性質(zhì)都有明確、明顯的圖象特征。周期性與單調(diào)性、奇偶性的不同點在于周期性的概念敘述，是“存在性”命題，一般來說，利用“存在性”來判定給定函數(shù)是否具有滿足命題的特征時，比較困難。特別的，對學(xué)生將要接觸的組合或復(fù)合型函數(shù)，要想利用周期性符號語言的概念來判定、證明其是否滿足周期性，是否存在最小正周期，有些問題將相當(dāng)困難。但是，若能通過圖象變換等方法，做出待判定的函數(shù)圖象，則判斷函數(shù)是否存在周期性、求出函數(shù)的最小正周期往往就比較容易。由此可知，我們在“周期性”的教學(xué)過程中，多強調(diào)函數(shù)性質(zhì)研究的共同性、多用數(shù)形結(jié)合作為探究與應(yīng)用的工具，適度控制應(yīng)用符號語言解決問題的難度，可能是比較適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略。3．關(guān)于函數(shù)圖象由于前期學(xué)習(xí)，在單位圓背景下學(xué)生對正弦函數(shù)的圖象有了初步的認(rèn)識，所以，與以往用“描點作圖”的方法做出函數(shù)圖象相同的是：我們會根據(jù)對定義域、函數(shù)性質(zhì)的分析選點作圖；比較特殊的是我們可以利用三角函數(shù)線這一數(shù)形結(jié)合的工具來實現(xiàn)選點、描點、連線等步驟。與前期學(xué)習(xí)一樣，我們會關(guān)注圖象的幾何特征。特別的，正弦函數(shù)的對稱點、對稱軸、平衡軸等圖象特征，將在正弦型函數(shù)圖象研究中再次起到關(guān)鍵作用，所以，我們可以在研究正弦函數(shù)圖象性質(zhì)時為后期的學(xué)習(xí)做好鋪墊。4．關(guān)于反函數(shù)*在函數(shù)研究中，特別是學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)后，關(guān)注反函數(shù)的存在與否，是很自然的。特別的，在后期利用空間向量計算立體幾何中的成角問題，也可以不回避等符號的使用。但是，為了更好地突出知識方法的主線，新課標(biāo)在三角函數(shù)這部分，刪去了關(guān)于反三角函數(shù)、反三角函數(shù)值與已知三角函數(shù)值求角等知識方法的要求。因此，我們可以根據(jù)學(xué)生的情況，對此部分做不同的教學(xué)要求。最低層次：因為正弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為“多對一”，所以，不存在反函數(shù)。中等層次：介紹符號，指導(dǎo)學(xué)生利用計算器與誘導(dǎo)公式或正弦函數(shù)圖象解決“知三角函數(shù)值求角”問題。較高層次：介紹的反函數(shù)，對此函數(shù)的圖象、性質(zhì)等等進行探究，也可以結(jié)合研究性學(xué)習(xí)等學(xué)生的探究活動，組織有興趣的學(xué)生，自行探究反三角函數(shù)。5．關(guān)于組合或復(fù)合函數(shù)關(guān)于三角函數(shù)的組合或復(fù)合函數(shù)的問題繁多，有些問題難度較大，在處理這部分問題時，可從下列幾點考慮篩選問題：1．提出問題要自然：所謂“自然”，就是可將前期學(xué)習(xí)過程中曾經(jīng)遇到過的問題，與正弦函數(shù)或其他三角函數(shù)的知識相結(jié)合，提出當(dāng)下探究的新問題。2．重點模型要落實：所謂“重點模型”，主要是指前期、當(dāng)下、后繼的學(xué)習(xí)過程中都可能研究的問題。3．問題難度要適當(dāng)：有些很“自然”的問題，解決起來未必很容易，則可以“提而不做”指出研究的“難度”，鼓勵有興趣的學(xué)生進一步探究，但不要求全體學(xué)生皆理解、落實解決問題的途徑與方法。如：要求學(xué)生研究函數(shù)的值域，是比較適當(dāng)?shù)膯栴}，但要求全體學(xué)生研究該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就不甚適當(dāng)。再如：要求學(xué)生判斷是否周期函數(shù)，是比較適當(dāng)?shù)膯栴}，但要求全體學(xué)生掌握證明其不是周期函數(shù)的方法，就不甚適當(dāng)。對于余弦函數(shù)、正切函數(shù)的教學(xué)策略，我們?nèi)匀豢梢耘c正弦函數(shù)類同，以“函數(shù)”研究作為主線展開；同時，我們也應(yīng)關(guān)注這兩個基本三角函數(shù)研究與應(yīng)用中與正弦函數(shù)的關(guān)聯(lián)和不盡相同的特點。對這些“同”與“不同”之處的處理，可以進一步體現(xiàn)研究函數(shù)問題的一般思路和特殊的解決辦法。（六）適當(dāng)選擇、使用兩種數(shù)形結(jié)合的工具探究正弦型函數(shù)我們通常會用兩個工具來描繪正弦型函數(shù)的圖象，并探究其函數(shù)性質(zhì)與圖象性質(zhì)。1．五點法作圖五點法作圖，從本質(zhì)上看，是用復(fù)合函數(shù)的觀點結(jié)合換元法（令）來解決作圖問題，于是，在數(shù)學(xué)必修一學(xué)習(xí)的關(guān)于復(fù)合函數(shù)與換元法的思想皆可在這個工具下有所體現(xiàn)。進一步，我們也可以利用換元法的思想來考慮函數(shù)圖象的幾何特點。例（08遼寧理16）已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則。分析：令，則，于是“在區(qū)間有最小值，無最大值”這一條件可等價為“在區(qū)間有最小值無最大值”，則有①：，②：，可據(jù)此解得。此題目也可以根據(jù)“五點法作圖”大致描出的圖像，再根據(jù)題目條件推理判斷出條件①、②，最后解決問題。2．伸縮變換圖象的伸縮變換，也可以用來解決正弦型函數(shù)的作圖與性質(zhì)討論等問題。但是，在學(xué)習(xí)過程中，可能有兩個難點：（1）由坐標(biāo)變換的觀點看等參數(shù)對圖象形狀的影響，一般來說，可以用多媒體輔助教學(xué)等方法幫助學(xué)生了解這些參數(shù)的作用，比較有效地利用幾何直觀幫助學(xué)生記憶結(jié)論；（2）伸縮變換與以前學(xué)過的其他變換（如平移、對稱等等）結(jié)合，構(gòu)成復(fù)合變換時，學(xué)生比較容易出錯。一般來講，可以用逐步分解、規(guī)范表達復(fù)合過程的方法來幫助學(xué)生正確處理復(fù)合變換問題。例（08全國一（理）8）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（A）。A．向左平移個長度單位B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位分析：這類問題，可以程序化地分解為如下程序：（1）據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（2）用平移變換的代數(shù)表達寫出變換后解析式；（3）再求出平移參數(shù)應(yīng)滿足的方程；（4）最后確定正確選項。例如，例5的解題過程為：（1）化同名：；（2）寫變換：；（3）列方程：據(jù)（1）、（2）可知（*）；（4）得結(jié)論：據(jù)（*）式與選項，知應(yīng)選A。對具體題目而言，比較規(guī)范的解題程序，不一定是最“好”的解題辦法，但因為每一步都易理解、好操作，且皆回歸最基本的數(shù)學(xué)知識方法，所以往往是比較“保險”的方法。3．例說兩種方法的使用與比較我們用一個例子來說明兩種方法的使用與比較：例：求的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)圖象的對稱軸。由“五點法作圖”的方法來看：令，則是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，特別地，因為內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，所以，必當(dāng)外層函數(shù)為遞增區(qū)間時，是關(guān)于x的單減區(qū)間。由于當(dāng)y取最值的時候，函數(shù)圖象上的對應(yīng)點在對稱軸上，所以，令，可解得圖象對稱軸方程。由“圖象（復(fù)合）變換”的方法來看：我們可以通過逐次變換的方法，先作圖，后從圖上讀出結(jié)論?？梢砸韵铝蟹绞奖磉_作圖過程中的變換：也可以以另一種順序變換作圖：如果我們要求學(xué)生在做復(fù)合變換題目時，都能如上逐步寫出符號表達，并逐步畫出對應(yīng)的變換前后圖象，就有可能有效減少學(xué)生在做此類題目時出現(xiàn)的錯誤。特別地，這種方法，對解決各類復(fù)合變換作圖問題，皆可使用。由上兩種處理問題的方法可知，“五點法作圖”所用的復(fù)合函數(shù)與換元法思想，比較簡捷，在解決函數(shù)問題時，也更具有一般性和廣泛性。三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求課程標(biāo)準(zhǔn)對“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求可分為三個層次，其中：1．層次A（了解）：對所列知識內(nèi)容有初步的認(rèn)識，會在有關(guān)問題中進行識別與直接應(yīng)用。2．層次B（理解）：對所列知識內(nèi)容有理性的認(rèn)識，能夠解釋、舉例或變形、推斷，并能利用所列的知識解決簡單問題。3．層次C（掌握）：對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識，形成技能，并能利用所列知識解決有關(guān)問題。其中高一級的知識要求包含低一級的要求。我們可以從下表來看各知識內(nèi)容的要求：知識內(nèi)容要求層次ABC1任意角的概念與弧度制√2弧度與角度互化√3任意角的正弦、余弦、正切的定義√4用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)√5誘導(dǎo)公式√6同角三角函數(shù)基本關(guān)系√7周期函數(shù)定義、三角函數(shù)的周期性√8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)√9正弦型函數(shù)的圖象√10用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題√在高考中，對3、6、7、9等知識內(nèi)容皆可能提出更高一級的要求。7、8、9等知識內(nèi)容也可能在綜合性較強的題目中有所應(yīng)用。（二）典型題目的檢測分析在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，我們可以選用一些典型的題目來測驗學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的掌握程度。我們可以以隨堂測試、階段性練習(xí)、模塊考試等等不同形式的筆試方法對學(xué)生進行形成性檢測，主要了解教學(xué)內(nèi)容中知識與技能是否為學(xué)生所掌握；我們也可以通過課上提問或課下輔導(dǎo)、課后探究性作業(yè)等等方式對學(xué)生進行過程性檢測，在檢測中盡可能使學(xué)生暴露思維過程，同時通過有針對性的師生、生生等交流形式幫助教師與學(xué)生調(diào)整教與學(xué)的方式，突破學(xué)習(xí)難點，有效提高學(xué)習(xí)能力。在形成性測試時，同類題目，我們可以根據(jù)不同的學(xué)習(xí)階段或?qū)W生學(xué)習(xí)水平，選擇不同的問題，以便更準(zhǔn)確地了解學(xué)生不同的認(rèn)知層次。我們可以通過下面幾個問題，例說題目的選擇與檢測分析。例1已知是第二象限角，（1）圖示角的終邊所在區(qū)域M；（2）圖示角的終邊所在區(qū)域N；終邊在區(qū)域N中的角的范圍與角的取值范圍一樣嗎？為什么？；（3）你能表達圖示的終邊所在區(qū)域的一般規(guī)律嗎？簡答：（1）（2）圖如右示；不一樣，終邊在區(qū)域N中的角的范圍為；角的取值范圍是；（3）均勻分布的n個區(qū)域（答案不唯一）。例1中的第（1）問，在形成性檢測或過程性檢測時皆可用，在形成性檢驗中，學(xué)生的常見錯誤是：（a）只畫了第一象限的部分。導(dǎo)致這樣錯誤的可能性很多，但大多數(shù)學(xué)生的錯誤原因可能是：誤將“是第二象限角”與“”等價，得到的錯誤結(jié)論，這主要是不能很好理解任意角與終邊的“多對一”關(guān)系所致；或者先將第二象限角作出，將其所在區(qū)域或“邊界”“折半”，這往往是因為數(shù)形結(jié)合方法使用不當(dāng)造成的。這些錯誤都可以通過要求學(xué)生理解、落實規(guī)范的解決問題程序加以矯正。即要求學(xué)生：i）用不等式或區(qū)間形式準(zhǔn)確表達的取值范圍，特別應(yīng)注意邊界值的多對一關(guān)系；ii）通過計算得到的取值范圍，特別注意應(yīng)對邊界值中的“”亦進行相應(yīng)的運算；iii）畫出的終邊所在區(qū)域，特別注意，可以結(jié)合試K的取值得到所有滿足條件的區(qū)域。（b）區(qū)域邊界為實線。這些學(xué)生，基本掌握了解決問題的方法，但因注意更為準(zhǔn)確地將“不等號”中是否包涵“相等”關(guān)系與“邊界”的虛實建立正確對應(yīng)關(guān)系。在過程性檢測時，將更為側(cè)重學(xué)生是否會有意識地先解決角“數(shù)”的表達形式，再將轉(zhuǎn)化為“形“的表達，觀察學(xué)生的做題過程，我們可以比較清晰地了解，學(xué)生是否有使用數(shù)形結(jié)合方法的意識，使用過程是否準(zhǔn)確，學(xué)生是否了解任意角與終邊的“多對一”的關(guān)系，等等。第（2）問的第一小問難度不大，但第二小問常常會導(dǎo)致一些學(xué)生的困惑。這道題比較適合在過程性檢驗中使用，能更好地幫助教師了解學(xué)生對任意角與終邊“多對一”關(guān)系的各層含義的了解程度。第（3）問，不僅需要學(xué)生對任意角與終邊“多對一”關(guān)系有比較準(zhǔn)確的理解，也需要學(xué)生對“周期性”的概念有一定的體悟，同時具備一定的歸納能力，因此，比較適合作為課后探究類的題目請學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)意愿與能力自主完成，教師可據(jù)其完成時探究的主動性與完成的質(zhì)量檢測學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與學(xué)習(xí)能力。例1中的（1）、（2）、（3）皆可加“寫出（或等）的取值范圍”這一要求，這樣可以更準(zhǔn)確地診斷學(xué)生出錯的原因，但加這一問，有可能會降低題目的難度，所以教師可以根據(jù)測試的目標(biāo)與學(xué)生的狀況選擇設(shè)問方式。例2已知函數(shù)。（1）求的值域；（2）當(dāng)時，求的值域。簡答：（1）；（2）。例2第（1）問主要檢測學(xué)生是否能注意到通過令可以將函數(shù)表示為關(guān)于新元的二次函數(shù)在有限域上求值域問題，從而可以檢測學(xué)生對“換元法求函數(shù)值域”和“正弦函數(shù)的值域”等知識方法的掌握情況。如：有些學(xué)生將值域錯求為，這通常是因為學(xué)生沒有“換元”的意識，而是僅僅將的值域簡單疊加而成；有些學(xué)生將值域錯求為，這些學(xué)生基本掌握了“換元法求值域”的想法，但未意識到正弦函數(shù)的值域?qū)π伦冊x域的影響。第（2）問除兼有第（2）問檢測的內(nèi)容外，還可以檢測學(xué)生對正弦函數(shù)單調(diào)性的理解程度。如，有些學(xué)生將值域錯解為，未注意當(dāng)時是非單調(diào)函數(shù)。例2中的兩問，作為過程性檢測或形成性檢測題目皆比較適宜。上述兩道例題，分別是在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，“學(xué)習(xí)新知”與“新舊結(jié)合”類檢測題目的示例，教師們可以根據(jù)我們教學(xué)的重點和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，選擇、改編、開發(fā)出更多有助于我們了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況、幫助我們落實教學(xué)要求、幫助學(xué)生矯正、深化對學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知的題目?；訉υ挕緟⑴c人員】谷丹：北京四中趙菁：北京四中紀(jì)榮強：北京四中【話題】1．如何指導(dǎo)學(xué)生更快更準(zhǔn)地記住三角函數(shù)部分的概念與公式？2．單位圓與三角函數(shù)圖象，哪個更重要？3．五點法作圖與伸縮變換，哪個更重要？4．談?wù)労瘮?shù)的周期性。5．如何在教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想？互動話題.ppt案例評析【案例信息】案例名稱：《三角函數(shù)線》授課教師：程國紅（北京四中）評析教師：谷丹（北京四中）教材版本：人教版B教材必修4【課堂實錄】【案例評析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強調(diào)學(xué)生為提供更為開闊的思維空間和發(fā)展空間，這就需要我們在教學(xué)中給予學(xué)生適度的思考時間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過程的機會，而課程的設(shè)置，往往會使得教師們感到教學(xué)進度比以往“緊”了不少，如何在具體的教學(xué)過程中克服這一矛盾，是新課程實施過程中每個教師都必須認(rèn)真對待的課題。程國紅老師在這節(jié)課上比較好的展現(xiàn)了她對這個問題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的基本思想與方法，從而使得教學(xué)過程重點突出，簡約流暢。在教學(xué)過程中，程國紅老師有幾個地方處理得很好：1．探究的途徑突出、鮮明：程老師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)“簡約”為“一個變量”的想法，進而順利實現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”表達三角函數(shù)這一主線，其中“最簡化”、“統(tǒng)一”的要求，在教學(xué)過程中被反復(fù)強調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能體現(xiàn)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2．探究的過程有一定的層次性：可以看到，在探究過程中，“引入單位圓”、“確定正弦函數(shù)線”、“確定正切函數(shù)線”這三個環(huán)節(jié)中各有各的難點，程老師在處理這些難點時也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比較難以想到解決問題的方法，程老師更多的是通過自己的講解，將引進“單位圓”的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來；對正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如“有向線段”、“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的概念，程老師就隨時補充這些概念的說法，同時將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確定“三角函數(shù)線”的形成過程與基本方法，在這個階段，程老師給學(xué)生提供了更為開闊一些的空間；到研究“正切函數(shù)線”時，學(xué)生則自覺或不自覺地在用探究“正弦函數(shù)線”的方法，解決新的問題，程老師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點撥，而且“點撥”的重點，也僅僅是突出基本思想方法，重申“最簡”與“統(tǒng)一”的原則而已。3．探究過程中，對學(xué)生的評價比較得當(dāng)、適度：教師在課堂上對學(xué)生探究過程評價，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國紅老師比較注意挖掘與肯定學(xué)生在回答問題的過程中比較有價值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過障礙搭橋墊磚，使得課堂氣氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對話、交流能順暢地進行。在本節(jié)課教學(xué)過程中，也有一些遺憾。比如，在最開始提出能否“用一個量來刻畫正弦值”，問題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來解決問題（盡管似乎此路不通）時，程老師可能對學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否定。這一師生溝通不夠順暢的片斷，實際上正是反應(yīng)了我們在課堂上經(jīng)常會遇到的問題：如何提高一個問題的“引導(dǎo)性”價值，盡可能降低“誤導(dǎo)性”或“誤解性”？在與學(xué)生交流的時候，教師由于對所教的知識方法很熟練，很明確，所以往往會自覺不自覺地以是否接近教師所期待的答案來評價學(xué)生回答問題的方向或價值，而那些“正確”與“謬誤”混雜的、比較出乎意料的答案，往往比較容易因我們對學(xué)生的想法不能明了而受到一定的忽視或否定。因此，這也向我們提出了一個值得教師們關(guān)注與深入探究的問題：在實施新課標(biāo)課程的過程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時溝通的能力，以進一步提高課堂教學(xué)的效益。思考與活動1．思考“周期性”這一概念，與單調(diào)性、奇偶性概念的異同，與同校的物理老師交流，周期性在物理學(xué)科中的應(yīng)用與教學(xué)過程。2．思考或在教學(xué)實踐中觀察整理，下述問題的解題過程中，學(xué)生比較容易想到的解題方法是哪些？容易出現(xiàn)哪些錯誤？如何強化有效的解題策略，矯正思維錯誤？已知：則的取值范圍是。參考答案：3．任選教材中一節(jié)，搜集整理十個學(xué)生的錯誤，分析錯誤原因，擬定矯正策略，并在教學(xué)中實施，以考察或各別談話的方式了解矯正策略的作用。參考資料【相關(guān)資源】1.三角函數(shù)線教學(xué)課堂實錄2.初等函數(shù)（2）教材分析3.以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)4.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)探討.pdf5.“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計.pdf6.單位圓與三角函數(shù)線在教學(xué)中的幾點應(yīng)用.pdf7.巧設(shè)問題情境_凸現(xiàn)人文數(shù)學(xué)“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”的課例與評析.pdf【參考文獻】1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2009年1-2(中旬)期：《由一道作業(yè)題的訂正引發(fā)的探索與反思》；2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2008年6(上半月)期：《數(shù)學(xué)講評課應(yīng)如何設(shè)計更科學(xué)合理》；3./p-21644564.html#documentinfo課題：三角函數(shù)線案例撰寫：程國紅北京第四中學(xué)評析：谷丹北京第四中學(xué)教材版本：人教版B教材必修4【教學(xué)設(shè)計】本節(jié)課在整個三角函數(shù)一章中，起著一個貫穿始終的作用。課標(biāo)明確提出利用單位圓這種幾何直觀去認(rèn)識三角函數(shù)。對四中這樣一個較為理想的學(xué)生群體來說，若能通過這節(jié)課充分挖掘其價值，對后續(xù)內(nèi)容如三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)將會產(chǎn)生較大的影響。一是研究問題的思路和工具有了很好的拓展；二是體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在整章的貫穿；三是能更好地提高課堂效益。在本節(jié)課的設(shè)計過程中，力圖遵循并突出新課標(biāo)的理念，具體來說，在以下幾個方面作了一些考慮：（1）從任意角三角函數(shù)的概念引入，進一步尋找表示三角函數(shù)線的最簡潔方式，在尋找中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，突出數(shù)學(xué)的最簡化思想。（2）考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對三角函數(shù)線概念的形成，不要求一步到位。由，通過令，得，由代數(shù)表示再過渡到幾何表示——有向線段，再規(guī)定其數(shù)量一步步完善。（3）通過展示三角函數(shù)線隨角變化的規(guī)律，從幾何直觀的角度為后繼的三角函數(shù)圖象和性質(zhì)做鋪墊，力圖體現(xiàn)整章知識的一體化；也希望在課時緊張的情況下，提高課堂效益。（4）充分利用從特殊到一般、由猜想到推證、類比等認(rèn)知特點，給學(xué)生設(shè)計有梯度的問題，使學(xué)生能夠由正弦線的分析去探究余弦線和正切線；注意同時在不同階段探索中對學(xué)生要求的層次性不同。（5）在教學(xué)手段上，除板書之外，輔助以幾何畫板，能很好地展現(xiàn)三角函數(shù)線的動態(tài)變化。在教學(xué)方法上，采用啟發(fā)講授與自主探究相結(jié)合的方式。【教學(xué)實錄】（一）復(fù)習(xí)（老師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了上次課所學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義，作為這節(jié)課的出發(fā)點，從而引出這節(jié)課要解決的問題。畫圖1-1）師：我們知道通過任意角三角函數(shù)的定義，就可以判斷不同象限角的三角函數(shù)值的符號，都是什么？怎么把這個結(jié)論記下來呢？六種三角函數(shù)值，四個象限，你們看，非常公平，第一象限全為正，第二象限兩個為正，第三、第四象限都是兩個為正。再看，第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限正割為正。剩下的根據(jù)倒數(shù)關(guān)系，是不是就可以判斷了？數(shù)學(xué)當(dāng)中到處存在著這種均衡的美，是吧？（部分學(xué)生臉上有驚嘆的表情，顯然沒深入考慮這里的規(guī)律性。挖掘數(shù)學(xué)中的美，不僅是數(shù)學(xué)教育的一部分，也有很好的實用性。）（二）探究新問題1.單位圓師：一些特殊的軸上角的三角函數(shù)值，又分別是什么？有沒有一種辦法，能夠讓我們把這些東西非常直觀地表示出來呢？一眼就能看出，它是正是負(fù)，甚至能看出是多少。我們現(xiàn)在用點的縱坐標(biāo)來除以——表示終邊上我們?nèi)〉狞c到原點的距離——的比值來刻劃正弦，能不能只用一個量就能來刻劃正弦呢？生B：用自變量來代替這兩個值，代表和。師：能代表和嗎？生B：因為一個角的終邊相當(dāng)于一個函數(shù)圖象,肯定有一個函數(shù)解析式滿足這個圖象。師：哪個解析式？生B：可以用來代替,就是角的終邊所在的直線。師：用角的終邊所在的直線，這么一個圖形去刻劃正弦值是嗎？生B：我覺得是，我是這么想的。（當(dāng)時我對該生的回答有理解上的偏差：我認(rèn)為他是要用射線的不同位置來表示不同角的正弦，因此沒有讓他繼續(xù)回答。其實他的想法是用射線方程和來表示正弦，他能想到利用函數(shù)思想來轉(zhuǎn)化很值得肯定，但由于是兩個變量，顯然不能滿足要求。如果我能當(dāng)場讓他暴露自己思維中不夠準(zhǔn)確的地方，就更好了。）師：好，請坐。一旦一個角給定了，這個角的終邊是不是就確定了，角的正弦值也就確定了？拿終邊這么一個圖形，去刻劃正弦行不行？行。那余弦怎么刻劃呢？還拿射線這個圖形嗎？我們找的這個量不僅要能刻劃出角的正弦，同時還應(yīng)該能夠區(qū)別于余弦和正切。因為一個角的終邊位置是確定的，一個角的正余弦、正余切通常是不相等的，對嗎？大家再考慮考慮。（等待了約有半分鐘，學(xué)生在交頭接耳，莫衷一是，看來這個問題還是有難度，我想可能是“一個量”的說法他們并不理解。這里提出的問題應(yīng)該指向性更明確一些，如“能否用一個點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來刻劃”。）師：大家可能覺得這個問題比較困難。我們現(xiàn)在是拿兩個量的比值去刻劃正弦值，那我們能不能把兩個量優(yōu)化為一個量呢？如果分母為1的話，會有什么結(jié)果？既然點是在終邊上任取，我們完全可以讓這個點到原點的距離是1，在這種情況下，那角的正弦值是不是就等于？那么，我們就可以拿這個點的縱坐標(biāo)去刻劃正弦，對嗎？那我們可以得出一個什么結(jié)論？生：角的正弦可以拿終邊上到原點距離為1的那個點的縱坐標(biāo)來表示。（由于學(xué)生對正弦線完全未知，這時的探究起點設(shè)計要放低，一定要引導(dǎo)到位。必要的情況下，需要推學(xué)生一把。學(xué)生在這里的回答最開始有點斷斷續(xù)續(xù)，不夠準(zhǔn)確和完整，在教師的一步步設(shè)問下，越來越清晰和肯定。）師：那如果是不同的角呢？我們都讓它到原點的距離為1，行嗎？為了方便起見，咱們干脆畫一個圓，什么樣的圓？（引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識由特殊過渡到一般。）生：半徑為1的圓。師：好。（板書單位圓定義，畫圖1-2）師：畫一個圓心在原點，半徑為1的圓。那么我們?nèi)我饨o出一個角，角的終邊就和這個單位圓有一個交點，那么這個點到原點的距離，必然是1。就是我們定義當(dāng)中的r，對吧？它的縱坐標(biāo)y，就能表示這個角的正弦了。師：余弦呢？生：橫坐標(biāo)。2.正弦函數(shù)線師：非常好，我們可以拿交點的橫坐標(biāo)去表示一個角的余弦了。按照數(shù)學(xué)的最簡化思想，我們就可以分別拿一個量去表示一個角的正弦和余弦。那接下來我們再看看，現(xiàn)在圖中，畫了一個第二象限角，縱坐標(biāo)在圖當(dāng)中怎么去體現(xiàn)呢？是指這個線段的長嗎？（這里之所以直接過渡到了正弦線，而沒有延續(xù)過去的用坐標(biāo)來表示正切，是希望將正弦的研究貫穿到底，再留給學(xué)生探究的空間類比正弦考慮余弦和正切。這樣課堂的容量能大一些，效率能高一些。）生：不是。師：為什么不是？這個長度是正的，是吧？但是我們這個縱坐標(biāo)，在第二象限也是正的，沒問題。但是角要換到第三象限呢？行嗎？如果給一個第三象限角，終邊上有一點。我們看看如果照樣做一條垂線的話，這個長度能表示縱坐標(biāo)嗎？生：不行，這個時候縱坐標(biāo)是負(fù)的。（從坐標(biāo)過渡到有向線段，對學(xué)生來說是一個難點。這時教師提出的問題要引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，使學(xué)生通過觀察和探索，體驗知識的形成過程。）師：就是說，我們發(fā)現(xiàn)了這條線段和縱坐標(biāo)是有密切關(guān)系的。至少二者的絕對值，是應(yīng)該相同的，但是符號會有問題。如果我們能給出這條線段的正負(fù)來就好了，它就能刻劃正弦?，F(xiàn)在，我們需要給出有向線段的概念。（板書：規(guī)定了方向的線段，我們叫有向線段。）師：我們再來看看這個第二象限角的終邊，怎么去規(guī)定線段的方向是比較合理的？規(guī)定的原則是什么？我們希望無論角在第幾象限，規(guī)定的方向，應(yīng)該有正方向，還有負(fù)方向。這樣才能表現(xiàn)出不同象限角正弦的正負(fù)。這是我們的第一個原則；第二個原則就是它必須要和正弦的符號一致，只有這樣，才能很好地刻劃正弦。生：。（讓學(xué)生探索思考的問題應(yīng)有充分的鋪墊，應(yīng)屬于“跳一跳，夠得著”的范圍。同時也讓學(xué)生逐步體會，數(shù)學(xué)上的概念、結(jié)論都是怎么發(fā)現(xiàn)的。）（板書：有向線段的數(shù)量）師：一個任意角的正弦，不僅可以表示成它的終邊和單位圓交點的縱坐標(biāo)，還可以表示成一個對應(yīng)的有向線段的數(shù)量。那也就是說，我們就可以把這條有向線段，作為正弦的幾何表示，或者說圖形表示。我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)這種對象，它有兩方面的特征，一個是代數(shù)特征，一個是幾何特征，我們也在不斷地體會這種數(shù)形結(jié)合的思想。有了這種圖形特征，我們討論一些三角函數(shù)值的變化問題的時候，就更直觀了。這也解決了我們開始提出來的問題：對一些特殊角的三角函數(shù)值怎么去記，怎么樣讓我們一眼能看出來它的值。（不斷強化數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時前后呼應(yīng)，為下一步教學(xué)安排做準(zhǔn)備。）師：在平面直角坐標(biāo)系里，我們把正弦線給標(biāo)示出來了。在角變化的過程中，正弦線如何變化？正弦線的變化當(dāng)然意味著正弦值的變化。（教師通過幾何畫板展示角在的范圍內(nèi)，正弦值的變化，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的直觀感受。多媒體手段的應(yīng)用有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、有利于突破教學(xué)難點，動態(tài)地顯示正弦的變化規(guī)律。）師：對任意的一個角來說，它的正弦值是不是惟一確定的？那么這就建立了一個映射關(guān)系，當(dāng)然也是函數(shù)關(guān)系。我們可以把角看成是一個自變量，那它的正弦值就是角對應(yīng)的函數(shù)值。那我們在討論這樣一個三角函數(shù)的時候，按照我們剛剛學(xué)過的必修一模塊，研究一般函數(shù)的路線，是什么？（關(guān)注模塊與模塊的相互聯(lián)系，尤其是一些研究問題的方法是普遍適用的。）生：定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性。師：好。那通過我們剛才的演示，的取值范圍用弧度表示的話，可以看成是R吧。值域呢？生：-1到1。師：-1到1，必須是閉區(qū)間。單調(diào)性，剛才有體會嗎？生：從零到，角在變大，正弦值變大，函數(shù)遞增。那么從到，遞減。從到，遞減，從到，遞增。師：那角從到呢？繼續(xù)變化下去呢？生：和剛才一樣。師：終邊相同，所以角的正弦值變化規(guī)律和剛才一樣，是吧？生：對。師：隨著角的變化，正弦值重復(fù)性地出現(xiàn)，我們把這種性質(zhì)叫做周期性，我們以后還會深入考慮。奇偶性呢？首先定義域是不是關(guān)于原點對稱？生：是。師；其次我們考慮和的關(guān)系。你可以先拿個特殊角試一試，然后猜測一下。比如說和有什么關(guān)系？看正弦線，它們互為相反數(shù)。那你猜測這個函數(shù)會不會有奇偶性？由特殊到一般，它可能是一個什么函數(shù)？生：可能是一個奇函數(shù)。（鼓勵大膽猜想，嚴(yán)密求證）師：好，我們把這個作為一個思考題，對于任意角，是不是都滿足呢？我們今天的第二個思考題，同學(xué)們?nèi)タ疾橛媚臈l有向線段去做余弦線比較合適。注意我們剛才強調(diào)的兩個原則。（類比正弦線，余弦線應(yīng)該不難。）（由正弦線到余弦線，教師的引導(dǎo)作用逐漸淡出，這正是教學(xué)設(shè)計目標(biāo)之一。）3.正切函數(shù)線師：正切能不能也用一個量去表示呢？生：令X等于1。師：取哪個點橫坐標(biāo)等于1？圖怎么畫？生：過點（1，0）做切線。師：怎么規(guī)定正切線？我們先看一個第一象限角，如果讓，那這個時候角的正切值就是橫坐標(biāo)為1的那個點的縱坐標(biāo)，而且還要在角的終邊上。那應(yīng)該找哪個點？生：切線和角終邊的交點。（大概是鋪墊得較為充分，通過正弦線的探究，學(xué)生對正切線的尋找比我預(yù)想的要輕松得多。不由感嘆學(xué)生舉一反三的能力是很強的。）師：那要是第二象限角呢？拿哪個點的縱坐標(biāo)去表示正切值呢？生D：可不可以做過點（-1，0）的切線。（學(xué)生在這里暴露出的想法正是教師所希望看到的。）師：好，那么它就會和終邊有一個交點了。這種想法很不錯，然后我們來看看，橫坐標(biāo)是1嗎？不是。那現(xiàn)在就不能等于了，而是。這樣規(guī)定行嗎？生：行。師：如果我們要這么規(guī)定的話，不同象限的角就有不同的結(jié)論了，但是我們希望結(jié)論是最簡化的。能不能也拿一個點的縱坐標(biāo)去表示？而不是縱坐標(biāo)的相反數(shù)，這樣不就統(tǒng)一起來了嗎？（要敢于讓學(xué)生走彎路。不輕易否定學(xué)生的想法，肯定其中的合理性，但指出進一步完善的方向。）生D：做終邊的反向延長線。因為這兩個交點關(guān)于原點對稱，所以反向延長線與單位圓交點的縱坐標(biāo)就是。師：非常好。他調(diào)整了一下思路，找了一個橋梁，把它轉(zhuǎn)化成在不同象限角的情況，能夠有一個共同的結(jié)論。驗證一下其它象限的角是否也符合。和剛才一樣，除了這種用比值、坐標(biāo)去刻劃正切之外，能不能找一條正切線？生：。師：和剛才一樣，我們把正切作為一個函數(shù)來考查的話，就可以通過正切線——這個非常直觀的載體來實現(xiàn)了。我們來看正切線的變化。（展示正切線的課件。）師：那我們今天的第三個思考題就是研究一下正切線的變化規(guī)律，考察正切函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)性，奇偶性，周期性。（三）小結(jié)師：今天我們從“數(shù)”和“形”兩個不同的角度研究了三角函數(shù)的表示，還用它們作為工具探討了三角函數(shù)的基本性質(zhì)。三角函數(shù)線是三角函數(shù)這一章中非常精彩的內(nèi)容，希望大家也能有精彩的收獲。請大家下課后認(rèn)真考慮三個思考題?！咀晕曳此肌繉Α芭f”教材內(nèi)容（與大綱教材基本一致的內(nèi)容）的處理，如何從重難點把握、課堂設(shè)計、教法等方面體現(xiàn)新課標(biāo)的要求，本節(jié)課做了一些嘗試。對學(xué)生而言，由比值到再到正弦線的幾步跨越都是難點，因此本節(jié)課在此處盡可能清晰再現(xiàn)知識的建構(gòu)過程，使學(xué)生明確原則的把握以及概念的形成。通過充分的鋪墊，學(xué)生對余弦線的把握應(yīng)該是水到渠成了，從課后效果來看，的確如此。正切線的探索亦是一個挑戰(zhàn)。本以為學(xué)生在這里思維會受阻，意外的是學(xué)生在遇到障礙時，能靈活尋找橋梁，調(diào)整方向，給了我一個驚喜。看來，只要前面準(zhǔn)備工作做得充分，學(xué)生的思維就能調(diào)動起來。信息技術(shù)雖不能代替概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)，但恰當(dāng)?shù)乩盟妮o助作用，能起到事半功倍的效果。幾點不足：（1）課堂容量稍大。由于北京市必修教材的使用順序是14523，因此有向線段的數(shù)量概念需要另外介紹，在課堂上短時間內(nèi)學(xué)生掌握這個概念并利用這個概念去表示三角函數(shù)顯得有點困難。如果能在上節(jié)課就將其處理掉，這節(jié)課只重點討論用有向線段數(shù)量來表示三角函數(shù)就會顯得更從容，給學(xué)生討論和思考的時間和空間也能更大一些。（2）對課上學(xué)生出現(xiàn)的問題估計不足。當(dāng)教師提出問題：前面我們是用兩個量的比值如來表示角的正弦，可否簡化為一個量來表示？從現(xiàn)場學(xué)生反應(yīng)來看，部分學(xué)生不理解什么叫一個量。教師提出的問題如果能更具體化，更有指向性，也許學(xué)生的思維會更清晰，反應(yīng)也會更活躍。教師在課堂上的應(yīng)變能力還需加強。（3）在給出正弦函數(shù)時，沒有強調(diào)這里的與前面的點的橫縱坐標(biāo)的不同。課后有部分聽課老師指出了這點。不過從課堂反應(yīng)來看，學(xué)生還是比較清楚的?！緦＜以u析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強調(diào)學(xué)生為提供更為開闊的思維空間和發(fā)展空間，這就需要我們在教學(xué)中給予學(xué)生適度的思考時間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過程的機會，而課程的設(shè)置，往往會使得教師們感到教學(xué)進度比以往“緊”了不少，如何在具體的教學(xué)過程中克服這一矛盾，是新課程實施過程中每個教師都必須認(rèn)真對待的課題。程國紅老師在這節(jié)課上比較好的展現(xiàn)了她對這個問題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的基本思想與方法，從而使得教學(xué)過程重點突出，簡約流暢。在教學(xué)過程中，程國紅老師有幾個地方處理得很好：1.探究的途徑突出、鮮明：程老師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)“簡約”為“一個變量”的想法，進而順利實現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”表達三角函數(shù)這一主線，其中“最簡化”、“統(tǒng)一”的要求，在教學(xué)過程中被反復(fù)強調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能體現(xiàn)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2.探究的過程有一定的層次性：可以看到，在探究過程中，“引入單位圓”、“確定正弦函數(shù)線”、“確定正切函數(shù)線”這三個環(huán)節(jié)中各有各的難點，程老師在處理這些難點時也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比較難以想到解決問題的方法，程老師更多的是通過自己的講解，將引進“單位圓”的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來；對正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如“有向線段”、“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的概念，程老師就隨時補充這些概念的說法，同時將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確定“三角函數(shù)線”的形成過程與基本方法，在這個階段，程老師給學(xué)生提供了更為開闊一些的空間；到研究“正切函數(shù)線”時，學(xué)生則自覺或不自覺地在用探究“正弦函數(shù)線”的方法，解決新的問題，程老師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點撥，而且“點撥”的重點，也僅僅是突出基本思想方法，重申“最簡”與“統(tǒng)一”的原則而已。3.探究過程中，對學(xué)生的評價比較得當(dāng)、適度：教師在課堂上對學(xué)生探究過程評價，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國紅老師比較注意挖掘與肯定學(xué)生在回答問題的過程中比較有價值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過障礙搭橋墊磚，使得課堂氣氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對話、交流能順暢地進行。在本節(jié)課教學(xué)過程中，也有一些遺憾。比如，在最開始提出能否“用一個量來刻畫正弦值”，問題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來解決問題（盡管似乎此路不通）時，程老師可能對學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否定。這一師生溝通不夠順暢的片斷，實際上正是反應(yīng)了我們在課堂上經(jīng)常會遇到的問題：如何提高一個問題的“引導(dǎo)性”價值，盡可能降低“誤導(dǎo)性”或“誤解性”？在與學(xué)生交流的時候，教師由于對所教的知識方法很熟練，很明確，所以往往會自覺不自覺地以是否接近教師所期待的答案來評價學(xué)生回答問題的方向或價值，而那些“正確”與“謬誤”混雜的、比較出乎意料的答案，往往比較容易因我們對學(xué)生的想法不能明了而受到一定的忽視或否定。因此，這也向我們提出了一個值得教師們關(guān)注與深入探究的問題：在實施新課標(biāo)課程的過程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時溝通的能力，以進一步提高課堂教學(xué)的效益。必修4第一章基本初等函數(shù)（2）教材分析北師大實驗中學(xué)李桂春一、本章知識結(jié)構(gòu)二、本章教學(xué)內(nèi)容在模塊體系中的地位和作用三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓、相似形的有關(guān)知識，在數(shù)學(xué)1中建立的函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究方法。主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何和代數(shù)聯(lián)系起來了。本章所介紹的知識，既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型之一，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強有力的數(shù)學(xué)工具。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其它學(xué)科（特別是物理學(xué)、天文學(xué)）聯(lián)系緊密。三、本章教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo)，新舊教材差異內(nèi)容《標(biāo)準(zhǔn)》目標(biāo)表述《大綱》目標(biāo)表述區(qū)別任意角和弧度制了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化。理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。課標(biāo)明確提出了任意角的概念；由理解變?yōu)榱私?，要求略有下降三角函?shù)①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（的正弦、余弦、正切），能畫出，的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，。⑤結(jié)合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin（ωx+φ）的圖象，觀察參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響。⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義；了解奇偶函數(shù)的定義；并通過它們的圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)以及簡化這些函數(shù)圖象的繪制過程；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。課標(biāo)特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和能力的形成，特別重視讓學(xué)生參與三角函數(shù)概念、公式、圖象和性質(zhì)等知識的產(chǎn)生和推導(dǎo)的全過程，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣，學(xué)會觀察、探索、分析的方法。對任意角的三角函數(shù)定義，課標(biāo)刪去大綱中余切、正割、余割的定義；對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，課標(biāo)把大綱中的三個減少為兩個，減少了內(nèi)容；同時，把大綱中三角函數(shù)的和、差、倍、半角公式從本章抽出來，單獨列為一章。課標(biāo)刪除了大綱中“已知三角函數(shù)值求角”、“反三角函數(shù)”的內(nèi)容，降低了“給角求值”、“證明三角恒等式”的難度要求，新增了“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”，增強了數(shù)學(xué)應(yīng)用功能的教學(xué)要求。1.課標(biāo)要求但大綱不要求1）課標(biāo)特別強調(diào)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，而大綱在這方面不作要求2）課標(biāo)強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，而大綱在這方面基本不作要求3）課標(biāo)強調(diào)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識去分析、解決生活中的實際問題的方法，對一些較復(fù)雜的實際問題也不回避，為此還專門新增了“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”一節(jié)；而大綱對此要求較低，原教材對較復(fù)雜的實際問題的數(shù)學(xué)建模解法則干脆不作要求。2.大綱要求但課標(biāo)不要求1）大綱中的三角函數(shù)包括六種三角函數(shù)，原教材中專門給出了余切、正割、余割函數(shù)的定義，還給出了與它們有關(guān)的同角關(guān)系式；而課標(biāo)中三角函數(shù)只有三種三角函數(shù)，新教材中不僅刪去了余切、正割、余割函數(shù)的定義，還刪去了與之有關(guān)的公式和計算。2）大綱對化簡三角函數(shù)和證明三角恒等式及給值求值、解三角不等式等三角運算的技能要求都較高，而課標(biāo)只要求學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，對三角運算的解題技巧和難度上要求都較低。3）大綱中明確要求學(xué)生掌握已知三角函數(shù)值求角這種最簡單的三角方程的技能，并要求學(xué)生理解相關(guān)的反三角函數(shù)的知識，課標(biāo)對這些內(nèi)容不要求。教材中最后講解了已知三角函數(shù)值求角，給出一般記號arcsinx,arccosx,arctanx，但不出現(xiàn)反三角函數(shù)的名稱。四、本章學(xué)時建議本章教學(xué)時間約為16課時，具體分配如下（僅供參考）：1.1任意角的概念與弧度制1.1.1角的概念的推廣1課時1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算1課時1.2任意角的三角函數(shù)1.2.1三角函數(shù)的定義2課時1.2.2單位圓與三角函數(shù)線1課時1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1課時1.2.4誘導(dǎo)公式3課時1.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)3課時1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)2課時1.3.3已知三角函數(shù)值求角1課時本章小結(jié)1課時五、本章學(xué)法指導(dǎo)1.1任意角的概念和弧度制1．要注意在學(xué)生已有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過較豐富的實例展示角擴充的必要性。2．學(xué)習(xí)角的概念,首先應(yīng)抓住用運動的觀點理解概念這個根本,其次應(yīng)理解各種角的現(xiàn)實意義,為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。3．要揭示引入實數(shù)度量角的必要性，首先要明白弧度制與角度制一樣都是表示角的一種單位制，但進位規(guī)則不同，前者是十進制，后者是六十進制，我們更多使用弧度制表示一個角的大小；有了弧度制后，弧長的公式和扇形的面積公式又出現(xiàn)了新的形式，弧長公式和扇形面積計算公式只需要會做簡單應(yīng)用。4．本節(jié)內(nèi)容涉及概念較多，在教學(xué)方法上建議：先由教師提出一些問題,讓學(xué)生自學(xué)。在此基礎(chǔ)上，可以通過講授再現(xiàn)概念，通過練習(xí)理解概念，完成教學(xué)。1.2任意角的三角函數(shù)1．在直角坐標(biāo)系中,通過計算機輔助，突出三對比值與終邊上點的位置無關(guān)，與角的終邊有關(guān)．2．引入單位圓,借助幾何支持，用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)．△邊之比→坐標(biāo)之比3．在進行本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)時，應(yīng)充分做好初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接工作。1.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．函數(shù)的周期性可以從生活中的周期現(xiàn)象談起，如“離離原上草，一歲一枯榮，”如章頭圖的觀纜車上任意一點轉(zhuǎn)動一周又回到原來的位置等等，同時，運用具體的實例展示三角函數(shù)具有的特征，使學(xué)生理解周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)。2．教學(xué)中提倡用計算機輔助研究函數(shù)y=Asin（ωx+j）圖象，給學(xué)生研究參數(shù)對函數(shù)圖象變化產(chǎn)生的影響提供機會。六、幾點教學(xué)建議1．充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)問題情景。2．利用相關(guān)知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，加強教學(xué)的“思想性”3．充分利用幾何直觀，加強數(shù)形結(jié)合思想方法的運用4．提醒學(xué)生重視學(xué)科之間的聯(lián)系與綜合5．在教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)使用信息技術(shù)手段探索和解決問題6．把握教材要求，不搞復(fù)雜的、技巧性強的三角變換訓(xùn)練以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)北京四中呂寶珠年月的更替，晝夜的輪回，月亮的圓缺，太陽的起落，乃至生命的“迭”代、事物的興衰、物價的消漲、朝代的更遞，真是花開又花落，雁去雁又回，讓我們見慣不驚的周期世界也真使人驚奇。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。而正弦式交變電流是學(xué)習(xí)周期函數(shù)的現(xiàn)實模型，可以為正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)提供思維支撐。交流電的產(chǎn)生，實驗基礎(chǔ)是以發(fā)電機模型中閉合線框在勻強磁場中繞垂直于磁感線的軸勻速轉(zhuǎn)動，演示電流表的指針隨著線圈的轉(zhuǎn)動而擺動，線圈每轉(zhuǎn)動一周指針左右擺動一次．表明電流強度的大小和方向都做周期性的變化，這種電流叫交變流電?，F(xiàn)在我們分析一個周期內(nèi)矩形線圈在勻強磁場中勻速轉(zhuǎn)動的四個過程．分析：線圈、始終在平行磁感線的平面轉(zhuǎn)動，因而不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。（1）線圈平面垂直于磁感線（甲圖），、邊此時速度方向與磁感線平行，線圈中沒有感應(yīng)電動勢，沒有感應(yīng)電流．這時線圈平面所處的位置叫中性面．中性面的特點：線圈平面與磁感線垂直，磁通量最大，感應(yīng)電動勢最小為零，感應(yīng)電流為零．（2）當(dāng)線圈平面逆時針轉(zhuǎn)過時（乙圖），即線圈平面與磁感線平行時，、邊的線速度方向都跟磁感線垂直，即兩邊都垂直切割磁感線，這時感應(yīng)電動勢最大，線圈中的感應(yīng)電流也最大．（3）再轉(zhuǎn)過時（丙圖），線圈又處于中性面位置，線圈中沒有感應(yīng)電動勢．（4）當(dāng)線圈再轉(zhuǎn)過時，處于圖（丁）位置，、邊的瞬時速度方向，跟線圈經(jīng)過圖（乙）位置時的速度方向相反，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向也跟在（圖乙）位置相反．（5）再轉(zhuǎn)過線圈處于起始位置（戊圖），與（甲）圖位置相同，線圈中沒有感應(yīng)電動勢．矩形線圈旋轉(zhuǎn)時，在磁場中作周期性切割磁感線運動，產(chǎn)生交變電流。每經(jīng)過一次中性面，感應(yīng)電流的方向就改變一次。線圈每轉(zhuǎn)動一周，感應(yīng)電流方向改變兩次。下面我們依托交流電這一物理模型，假定讀者具備初中在直角三角形中定義銳角三角函數(shù)的知識，來談?wù)劯咧腥呛瘮?shù)，特別是正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)。一、怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意角？根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可推知：導(dǎo)體切割磁力線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小，跟磁感應(yīng)強度，導(dǎo)線長度，運動速度以及運動方向和磁感線方向的夾角有關(guān)。在前面的發(fā)電機模型中，磁感應(yīng)強度，導(dǎo)線長度均為定值?，F(xiàn)在假定矩形線圈繞中軸逆時針勻速轉(zhuǎn)動的角速度為，那么線圈轉(zhuǎn)動的線速度為也為定值。于是影響感應(yīng)電動勢的大小的因素只有導(dǎo)線運動方向和磁力線方向的夾角。根據(jù)前面對一個周期內(nèi)矩形線圈在勻強磁場中勻速轉(zhuǎn)動的四個過程的分析，我們知道交變電流是時間的函數(shù)。我們規(guī)定從中性面開始計時，如果經(jīng)過時間．那么導(dǎo)線轉(zhuǎn)過的角度為，此時邊線速度以磁感線的夾角也等于。當(dāng)然當(dāng)時很好理解。但當(dāng)隨著時間的不斷增加，的范圍就會大于，所以我們最好的辦法是把角的的大小拓廣到任意大小（此時還不包括負(fù)角）。下面我們改變矩形線圈繞中軸勻速轉(zhuǎn)動的角速度為的方向為順時針，根據(jù)右手定則可以判定感生電流的方向發(fā)生了改變，由于感生電動勢現(xiàn)在只與導(dǎo)線運動方向和磁力線方向的夾角有關(guān)，所以為了體現(xiàn)這種關(guān)系，我們必須區(qū)分角的旋轉(zhuǎn)方向。我們把逆時針旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，順時針旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。這樣我們就得到了任意角的概念。二、任意角的正弦函數(shù)的定義感生電動勢的大小為，感生電動勢的方向由右手定則判定。一個周期內(nèi)矩形線圈在勻強磁場中勻速轉(zhuǎn)動的位置分為如圖所示的0、1、2、3、4、5、6