第八章習(xí)題課多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第— 多例1

已知fxyxyx2y2

f(x,解解所以

f(xy,xy)(xy)22f(x,y)x22-1 求函數(shù)z章

ln(x2y2xxy

x2y24

x2y2 x2y y

y x 法

x其 D{(x,其

x2y24,x2y0,x-2第例 章 limsin章元 元數(shù)函 k數(shù)

limsinxy

法 limsinxylimy法 其

sin

|xy||y|y0 k 0

|xlimsinxy

limsinxy -3lim第

x2y2

2章 當(dāng)x0,y0章 0

其

x2 x2

121 x

應(yīng) lim

x2-41lim(1xy)xy 章 1章 lim(1xy)x

1(yx分 lim(1xy)分法法

lim(xy [lim(1 e0-5第 章x2多元x0x多元函

4y2 取路徑y(tǒng)kx2,則x0y微分

x2

用應(yīng)用

x0x4k2x2

1kx0與k有關(guān)，所以x0

y2

-6

x0x 取路徑y(tǒng)xkx2 則x0y八 多yxkx多

xy

x(xkx2kx2

kx0x數(shù) 與x0x數(shù) x2

x0x 應(yīng)

(x 取路徑y(tǒng) y2 則x0y-7 zfx第章 z為固定y對(duì)x求章元 元數(shù) y為固定x對(duì)y求數(shù) dz dx 及 及-8 1）設(shè)zexsin(x2y2),求z,z

e

)e

ex(2xcos(x2y2)sin(x2y2元數(shù) zexcos(x2y2)(2數(shù) 分及 2yexcos(x2y2及應(yīng) dzex(2xcos(x2y2)sin(x2y2應(yīng)用2yexcos(x2y2-9 第

zex2,求

x2y 解 e解

(2y)

e 數(shù) zex2數(shù)

e 分及 及

1 1 2 2 應(yīng) xx2yy應(yīng)用

ex2

e -10x

2z

2z3）設(shè)zarctan1xy,求第 (1xy)y(x

元 x元分 2z分

(11(xy12

1及 (1x2及其 2z -11uz

x,

2u2u2u第

1 u x22多函 函

1(y 2

2微 微法 法

(x2y2

(x2y2 u應(yīng) 應(yīng)用

1(x1y

xzx2y2

2u

2(x2y2uarctanx

2u

2u

2u

2u

-12

八 1）函數(shù)zf(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存 連八 典型例元 元

x2y2數(shù) f(x,y) 數(shù)分 x2y2分法其及fx(0,0fy(0,0)0,但fxy)在(0,0其-13例6

x2f(x,x2

x2y2八 x2y2八章在原點(diǎn)處連續(xù)，但fx(0,0) 解函 0|f(x,y)||x|解函微 limf(x,y)0f微 及所以函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)。用 limf(x,0)f(0,0)用

(x)2

x0|x|

x0|x

fx -142）函數(shù)fxy)可微 連八 偏導(dǎo)數(shù)存 連函微 微法

x2y2x2其 f(x,x2其0 0

x2y2-15 x2

章 例章

設(shè)z(x2y2

求 ,dz. x 令ux2y2,v多 z z

zuev 函 微

v

(ev u

ev)(2x)u( 2)evy e e

x2

x2

x2

(x4y42x3y)y

x2

(y4x42xy3)-16 zxf(2x3y)g(xy,x

y2

2z

2z 解八 zf2xfyg12解八

求x

2z函 函數(shù)

2f2f4xf2x(yg212xg22

(

2

)2g22微2 4

4xf

y2g114

4x2及 2z及應(yīng) 應(yīng)

g1y(xg11

2x(xg212yg223f6xfg1xyg112(x2y24-17例9設(shè)ufxxyxyz)求

2u 2u 第

x2,xy,xz 解 2u

yf2

yzf3元

f11yf12yzf13y(f21yf22yzf23微 yz(微

yzf33其及2u其應(yīng)用

y2f22xyz2f332 2 2y2 xf12xzf13f2y(f22xzf23)yz(xf32xzf33f2zf3xf12yf222xyzf23xyz2-18例10

z

y )x1)ylnx, yx22zx八 八

y22z

(x1)f zfx(y)fylnx(x1) 數(shù)分 2z數(shù)分

(y

)f y

fxy

(y

)fy f

2z 22應(yīng) yx22應(yīng)

f(x1)ln

yx2 y2

xyy

f (x1)

-19 例11zzxy)是由2sin(x2y3z)x2y第八所確定的隱函數(shù)，求dz,

z

視方程中的z為x,y的函數(shù)分別對(duì)x,y求元數(shù) 2cos(x2y3z)(13z)13數(shù)

z 分

法 2cos(x2y3z)(2

z)23

z應(yīng) 應(yīng)用

dzdx zz1 -20例 設(shè)

.2xzy0,求2. 視方程中的z為x,y的函數(shù)分別對(duì)x,y求八 3z2z2z2xz z 3z22x函 3z2z2xz1函

z 3z22x微 zz 2z 2z及 及其

y

3z

2

2x

xy 用2z

(2

2(3z

2

3z22

-21

(3z22例 設(shè)zz(x,y)是由方程F(cxaz,cybz)azbzc,其中F(u,v) 章八章解z為xyxy解多元

(caxx

)

(b

z)

z

aF微 微分

(az)

(cbz) z 2 2其

aF1 a b -22例14八第八

x22y23z2xyz

(

( 視方程中的y,z為 2x4yy6zz

x數(shù) 1yz數(shù)微及 y2x