三角形輔助線的添加方法和經(jīng)典習(xí)題和答案

三角形輔助線的添加方法和經(jīng)典習(xí)題和答案1-5- 龍文教育·教育 一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∵∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＝NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）∴∠3＋∠2=90°即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD＝CD（中線定義）在△ACD和△EBD中∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。六、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB－AC＞PB－PC。分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。證明：（截長法）在AB上截取AN＝AC連接PN,在△APN和△APC中∵∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP－PC＜AB－AC證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，在△ABP和△AMP中∵∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB－AC＞PB－PC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點(diǎn)，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）在△DBE與△CAE中∵∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在△ABC與△CDA中∵∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長于E。求證：BD＝2CE分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BA，CE交于點(diǎn)F?！連E⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，∵∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。證明：連接BC，在△ABC和△DCB中∵∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對應(yīng)邊相等)十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)