求曲線、曲面積分的方法與技巧

求曲線、曲面積分的方法和技巧一.曲線積分的計算方法和技巧計算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分和路徑無關(guān)的條件通過改變積分路徑進行計算、利用全微分公式通過求原函數(shù)進行計算等方法。例一.計算曲線積分Jydx+xdy,其中L是圓x2+y2=2x(y>0)上從原點LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。本題以下采用多種方法進行計算。^ Ix—x, 1—x解：OA的方程為｛ ,. L由O-A,x由0-2,dy=； dx.Iy—2xx-x2, J2x-x2x(1一x)]dx飛2x一x2Jydx+x(1一x)]dx飛2x一x20L=xx22x一x22一J2x(1一x)dx+J2x(1x)dx0 0個2x一x2 022x一x2=2<4一4一0=0.分析：解：是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進行計算的，選用的參變量為x.因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應注意參變量積分限的選定，應選用對應曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解2在弧OA上取B(1,1)點,TOC\o"1-5"\h\zIy―y, yOB的方程為< L由OtB,y由0t1,dx=y dy.Ix=1-#-y2, ,1-y2Iy—y, vBA的方程為\ , L由BtA,y由1T0,dx=-y dy.1x=1+\：1-y2, J1—y2Jydx+xdy=J1(,yy+1一"一y2)dy+J0(一,yy+1+x11一y2)dyL °v11一y2 1 J1一y2

二2J1?y2 dy -2JU-y2dy =2J1 ；y2 dy -2y，1-y2 1 +2J1 :yy dy0v1-y2 0 0v1-y2 0 0"-y2=-2（'口-0）=0.分析：解是選用參變量為y,利用變量參數(shù)化直接計算所求曲線積分的，在方法類型上和解相同。不同的是以y為參數(shù)時，路徑L不能用一個方程表示，因此原曲線積分需分成兩部分進行計算，在每一部分的計算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解：函的參數(shù)方程為x=1+cosO,y=sin仇L由OfB-A,9由兀-0,dx=-sin9d9,dy=cosOd9.Jydx+xdy=J0[-sin29+(1+cos9)cos9]d9=J兀[-cos9-cos29]d9兀 0L=(=(-sin9-2sin29)元=0.0解：OA的極坐標方程為r=2cos9,因此參數(shù)方程為兀x=rcos9=2cos29,dy=rsin9=2sin9cos9,L由O.B.A,9由—.0,^2dx=-4sin9cos9d9,dy=2(cos29-sin29)d9.Jydx+xdy=J0[-8sin29cos29+4cos29(cos29-sin29)]d9兀TOC\o"1-5"\h\zL 2① 1兀 31兀=4J2[3cos29+4cos49]d9=4(3?一?一一4?一?一?一)=0.0 22 422分析：解和解仍然是通過采用變量參數(shù)化直接計算的。可見一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對應曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解5添加輔助線段AO，利用格林公式求解。因eQ_ep 于是p—y,Q—x,-—-二—1-1―0,于是ex eyJydx+xdy—-JJ0dxdy,L+AO而Jydx+xdy=J00dx=0,一 2AO

故得Jydx+xdy=1一1=0.L L+AOAO分析:在利用格林公式JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JJ(a-^P)dxdy將所求曲線L o.xdyD積分轉(zhuǎn)化為二重積分計算時，當所求曲線積分的路徑非封閉曲線時，需添加輔助曲線采用“補路封閉法”進行計算再減去補路上的積分，但尸，Q必須在補路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)。L是D的正向邊界曲線。解中添加了輔助線段AO，使曲線L+AO為正向封閉曲線。解：由于p_y,Q_x,°Q_|P_1,于是此積分和路徑無關(guān)，故0x 0yJydx+xdy-Jydx+xdy-J(2,0)ydx+xdy-J20dx-0.OA(0,0) 0OAox oy分析：由于P,Q在閉區(qū)域Dox oy因此所求積分只和積分路徑的起點和終點有關(guān)，因此可改變在L上的積分為在OA上積分，注意O點對應L的起點。一般選用和坐標軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡化。解：由全微分公式y(tǒng)dx+xdy-d(xy),(2,0)-0.(0,0)Jydx+xdy-J(2,0)d(2,0)-0.(0,0)(0,0)L分析：此解根據(jù)被積表達式的特征，用湊全微分法直接求出。例二.計算曲線積分J(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲線Cx2+y2=1，從z軸正向往z軸負向看C的方向是順時針的。x-y+z-2,解1設(shè)2表示平面x-y+z-2上以曲線L為邊界的曲面，其中2的正側(cè)和L的正向一致，即2是下側(cè)曲面，2在xoy面上的投影區(qū)域D：x2+y2-1.由xy斯托克斯公式dydzJ(z-ydydzJ(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz-JJz-ydzdxdxdy0 00y 0zx-zx-y-iffdxdy--2ffdxdy-—2兀.Dxy解：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另cosacosPcosySSSSxSySzz-yx-zx-ydS2形式求得出dS2f(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz-ff-ff(0+0+2cosy)dS,21而平面2：x-y+z-2的法向量向下，故取n-{-1,1,-1),cos丫二^3于是上式-二ffdS-二ff*；1+(-1)2+1dxdy--2兀.<3 v:32 x2+y2<1分析：以上解和解都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積dydz分計算的。在利用斯托克斯公式JJ￡dzdx

dydz分計算的。在利用斯托克斯公式JJ￡dzdx

SdxdyPdx+Qdy+Rdz計算時且L且L的正(1)⑵首先應驗證函數(shù)P,Q,R在曲面2連同邊界L上具有一階連續(xù)的偏導數(shù)向和2的側(cè)符合右手規(guī)則。在計算空間曲線積分時，此法也是常用的。解3將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)x-cos。，y-sin0,則z-2-x+y-2-cos0+sin0,0從2兀-0.f(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dzCf0[(2-cos0)(-sin0)+(2cos0-2-sin0)cos0+2兀(cos0-sin0)(sin0+cos0)]d0f2兀[2(sin0+cos0)-2cos20-cos20]d00f2兀[2sin0-1-cos20]d0--2兀.0例三?計算f(x2+y2+22)ds，其中r為曲線1：二；-；RR

解：由于當積分變量羽yz輪換位置時，曲線方程不變，而且第一類曲線積分和弧的方向無關(guān)，故有Ix^ds-VI(X2+>2+Z2).二竺Jds.r Ix^ds-V由曲線「是球面X2+V2+Z2=R2上的大圓周曲線，其長為2兀R故I 2 4I(x2+y2)ds=-R2-2nR=-71R3.由于「關(guān)于原點對稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得Jzds=O.于是「1(x2+)2+2z)ds--k7?3.r解：利用在「上，X2+>2+Z2=氏2,2+>2+"—12+2z,)ds=R21ds」12ds+21zdsTOC\o"1-5"\h\zr rr r再由對稱性可得Jz2ds=色-2就(同解)，于是3rI、 R2 4上式=R2?2nR-——?271A+20=—訪3.3 3分析：以上解解利用對稱性，簡化了計算。在第一類曲線積分的計算中,當積分變量在曲線方程中具有輪換對稱性(即變量輪換位置，曲線方程不變)時,采用此法進行計算常常是有效的。例四.求J出匚沙，其中七為橢圓曲線￡121+#=i上在上半平面內(nèi)從LX2-hy2 9A(—2,0)-6(4,0)的弧。解：添加輔助線/為X2+#=￡2的順時針方向的上半圓周以及有向線段AC,DB,其中￡是足夠小的正數(shù)，使曲線X2+y2=￡2包含在橢圓曲線由于S/—x、dzy、 %2-y2—( )二—( )= dxX2+)2dyX2+J2(X2+)2)2由格林公式，有J+L+J+J_=o.-LACDB

-LACDB設(shè)y=esin0,x=ecos0,有e2jydx-xdy_j—e2sin20-e2cos204°_e2l 兀再由jydx-xdy=0,jydx-xdy=0.于是x2+y2 _x2+y2AC DBjydx-xdy_jydx-xdy_兀x2+y2 x2+y2Ll分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在(0,0)點附近P_ ,Q_無定義，于是采用在橢圓內(nèi)部：0,0)附近挖去一個小圓，x2+y2 x2+y2使被積函數(shù)在相應的區(qū)域上滿足格林公式條件這。種采用挖去一個小圓的方法是常用的，當然在內(nèi)部挖去一個小橢圓也是可行的。同時在用格林公式時，也必須注意邊界曲線取正向。例五.求八分之一的球面x2+y2+z2_R2,x>0,y>0,z>0的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度p=1.解：設(shè)邊界曲線L在三個坐標面內(nèi)的弧段分別為L,L,L,則L的質(zhì)量為1232兀R 3_〃m_Jpds_ds_3- _—兀R.4 2LLmmL L1__jxds_—jRx,1+(mm0L1設(shè)邊界曲線l的重心為(x,y,z),mmL L1__jxds_—jRx,1+(mm0L1LL

23-x-)2dx\R2-x2_2jRx「dx_3,R，m0RR2-x2m2R2_2R2_4R丁一瓦.24R由對稱性可知x_y_z_ .3兀分析：這是一個第一類曲線積分的使用題。在計算上要注意將曲線L分成三個部分：L:J=0,0<x<R,z=r22—x2,L:z-0,0<x<R,y=rR2—x2,1 2L:x-0,0<y<R,z=、；R2干.另一方面由曲線關(guān)于坐標系的對稱性，利用可3 tx-y-z簡化計算。二.曲面積分的計算方法和技巧計算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。例六.計算曲面積分J!zdS,其中2為錐面z-4穴區(qū)在柱體x2+y2<2x內(nèi)2的部分。解：2在xOy平面上的投影區(qū)域為D:x2+y2<2x，曲面2的方程為z-xx2+y2,(x,y)eD.因此JJzdS1+(z')2+(z')2dxdy-*2JJ.、：x2+y2dxdy., x x y因此2D D對區(qū)域D作極坐標變換J-1rcos0,則該變換將區(qū)域D變成(r,9)坐標系中的區(qū)Iy-sin0,.冗一冗 一一.一域D :-1<0<1,0<r<2cos0,因此TOC\o"1-5"\h\z(r,0) 2 2JJqx2+y2dxdy-J2d0J2cos0r2dr--J2cos30d0-—.. -i 0 3-i 9D2 2分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計算的。“一投”是指將積分曲面2投向使投影面積不為零的坐標面?！岸笔侵笇?的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達式?！叭龘Q”是指將dS換成投影面上用直角坐標系中面積元素表示87 87 9y 合yTOC\o"1-5"\h\z的曲面面積元素，即dS=,1+(一)2+(一)2dxdy,或dS-；1+(―)2+(―)2dzdx,8x 8y \ 8x 8z8x 8x或dS-、：1+(Wy)2+(￡)2dxdz.上解中的投影區(qū)域在xOy平面上，因此用代換\ 8x 8z

故變換成極坐標計算。dS=：1+(包)2+(包)2dxdy,由于投影區(qū)域是圓域，ax ay故變換成極坐標計算。例七.設(shè)半徑為R的球面2的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，問R為何值時，球面2在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?TOC\o"1-5"\h\z解：不妨設(shè)2的球心為(0,0,a)，那么2的方程為x2+y2+(z-a)2=R2,它和定球面的交線為卜2+y2+z2=a2， 即[X2+y2+(z一a)2=R2,‘ R2(4a2-R2)x2+y2=—— ,4a21R2z=a———.[ 2a設(shè)含在定球面內(nèi)部的2上那部分球面21在xOy面上的投影區(qū)域為D，那么D:x2+y2<R2(4a2—R2),且這部分球面的方程為4a2z=a-RR2一x2一y2,(x,y)eD.則2的面積為111dS=111+(z')2+(z')2dxdy=xy2DR11一dxdR11一dxddRR2-x2-y2=R12兀do12a4a2-R2 .rrlr0 0RR2-r2R.J~~~=2兀R(-JR2-r2)2a4a2-R202a-R=2兀R2- 2a以下只需求函數(shù)S(R)=2兀R2?2a二R在[0,2a]上的最大值。2a由令S'(R)=2兀(2R-3R2)=0,得唯一駐點R=4a,且S〃(4a)=-4兀<0.由問2a 3 3題的實際意義知S(R)在R=4a處取得最大值。即R=丑時，2的面積最大，為3 3 132a2兀.27分析：本題是第一類曲面積分的使用題，在計算中關(guān)鍵是利用了球面的對稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的2上那部分球面A1在xOy面上的投影區(qū)域D。

在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。例八.計算曲面積分U(2x+z)dydz+zdxdy,其中S為有向曲面Sz=x2+y2(0<z<1),其法向量和Z軸正向的夾角為銳角。設(shè)D,D分別表示S在yoz平面，yzxyxoy平面上的投影區(qū)域，則，x+z)dydz設(shè)D,D分別表示S在yoz平面，yzxyxoy平面上的投影區(qū)域，則，x+z)dydz+zdxdyDyzz-y2+z)(一dydz)+JJ(一2弋z-y2+z)dydz+JJ(x2+y2)dxdyDyzD

xy-4JJA；z-y2dydz+JJ(x2+y2)dxdy.D

yzD

xy其中JJ\；'z-y2dydz=J1dyJ1yz-y2dz=Dyz-1y24 2-J1(1-y2)3dy30令y=sintJJ『dydz二4J' 3<7 431兀COS4tdt=—34224'D

yz又所以r2.rdr=-2JJ(x2+y2)dxdy=J又所以r2.rdr=-2D

xy兀兀(2x+z)dydz+zdxdy=-4?—+—=分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號”法則將各單一型化為二重積分這里的“一投”是指將積分曲面2投向單一型中已指定的坐標面?！岸笔侵笇?的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達式。“三定號”是指依曲面2的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號，當2的定側(cè)向量指向坐標面的上(右，前)方時，二重積分前面取“+”，反之取解利用dS=dydz=ddx=dd化組合型為單一型cosacosPcosyJJ(2x+z)JJ(2x+z)dydz+zdxdy=JJ[(2x+z)cosacosy+z]dxdy.因S的法向量和z軸正向的夾角為銳角取n={-2x,-2y,1},故有Cosa=-2x,cosy于是

原式=11[(2x+z)(-2x)+z]dxdyS11[-4x2一2x(x2+y2)+(x2+y2)]dxdy.x2+y2<1因為11-2x(x2+y2)dxdy=0,所^以x2+y2<1上式=11[-4x2+(x2+y2)]dxdyx2+y2<1=412Kd。11(-4r2cos20+r2)rdr=--0 0 2分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式dzdxdxdydS=分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式dzdxdxdydS=祗。cosa cosPcosy,先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，解3解3以S表示法向量指向Z軸負向的有向平面Z=1(x2+y2<1)，D為S在1xoy平面上的投影區(qū)域，則11(2x+z)dydz+zdxdy=11(-dxdy)=-兀.TOC\o"1-5"\h\zS1 D設(shè)Q表示由S和S所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得111(2x+z)dydz+zdxdy=-111(2+1)dvS+S1 Q=-312兀d。11rdr11dz=-6k11(r-r3)dr0 0 r2 0因此11(2x+z)dydz+zdxdy=-，-(-兀)=-gS因此分析：利用高斯公式11Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=111(―+Q++—)dxdydz，dx dy &可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足尸,Q,R在閉區(qū)域Q上有一階連續(xù)的偏導數(shù)，2是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面S不是封閉曲面，故添加了S1，使SUS為封閉曲面，并使SUS的側(cè)符合高斯公式對邊界曲面的要求。例九：計算曲面積分I=JJx(8y+1)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中2是由2曲線卜=ty-1,1<y<3,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量和y軸正向的lx=0夾角恒大于三解：設(shè)21dxz2<2,表示y=3上和y軸正向同側(cè)的曲面，由2和21所圍立體記為Q.由高斯公式得JJx(8y+1)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy=JJJdxdydz,2+21)dzdx一4yzdxdy.因止匕I=JJJdxdydz一JJx(8y+1)dydz+)dz