2021-2022學(xué)年安徽省安慶市太湖樸初中學(xué)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省安慶市太湖樸初中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.2．兩圓和的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】A【分析】計(jì)算出圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓圓心距為，則，因此，兩圓和內(nèi)切.故選：A.3．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及法則求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，所以，所以，故BC錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.6．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的極限式進(jìn)行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式．7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列可能是常數(shù)數(shù)列【答案】B【分析】可根據(jù)已知條件，設(shè)出公差為，選項(xiàng)A，可借助等比數(shù)列的定義使用數(shù)列是等差數(shù)列，來(lái)進(jìn)行判定；選項(xiàng)B，數(shù)列，可以取，即可判斷；選項(xiàng)C，可設(shè)，表示出再進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D，可采用換元，令，求得的關(guān)系即可判斷.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時(shí)，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項(xiàng)正確.故選：B.8．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以．故選：A．9．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫c(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A10．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切線的方程，求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)為，可得，的方程組，解方程可得．【詳解】解：曲線的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，則切線的方程為，設(shè)直線與相切的切點(diǎn)為，由的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，則，，解得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．已知直線與曲線切于點(diǎn)，則b的值為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】A【分析】因?yàn)槭侵本€與曲線的交點(diǎn),所以把代入直線方程即可求出斜率k的值,然后利用求導(dǎo)法則求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù),把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率,讓斜率等于k列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切點(diǎn)坐標(biāo)和a的值代入曲線方程,即可求出b的值.【詳解】把代入直線中,得到,求導(dǎo)得：,所以,解得,把及代入曲線方程得：,則b的值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率,是一道基礎(chǔ)題.12．已知直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進(jìn)而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當(dāng)時(shí)，，即直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故選：A.二、填空題13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，并求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并在定義域內(nèi)解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，?因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在求出導(dǎo)數(shù)不等式后，得出的解集應(yīng)與定義域取交集可得出函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14．設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是___________.【答案】【分析】根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系，分類(lèi)討論求解即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，綜上的解集為故答案為：15．過(guò)點(diǎn)，且與曲線相切的直線方程為_(kāi)__________.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線，根據(jù)點(diǎn)A在切線上得到關(guān)于m的方程求m的值，即可得切線方程.【詳解】由，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以切線方程為，又在切線上，則，所以，解得或，當(dāng)，切線為，整理為；當(dāng)，切線為，整理為；故答案為：或16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，，再結(jié)合，即可求出各邊，從而求出的面積．【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為．故答案為：．三、解答題17．已知函數(shù)在處有極值.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)；(2)最大值為-1，最值為-5.【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意：，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處有極值，所以.（2）由(1)知：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.18．如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明，（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量求解【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.（2），設(shè)平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.19．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結(jié)果.（2）根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并比較的極值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式，還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，屬基礎(chǔ)題.20．已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出．【詳解】（1）由題意：，即，又∵，∴，∴，∴，.（2）因?yàn)?，?21．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，的單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【詳解】試題分析：（1）先對(duì)求導(dǎo)，則切線斜率為，再利用點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）分三種情況：，，，，分別利用求出各自的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解?①當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間和上；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.③當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，的單調(diào)遞減區(qū)間是.④當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【解析】1、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.22．已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為6【分析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條