2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中是虛數(shù)單位，則___________．【答案】－3【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求解.【詳解】由可得：，所以，故答案為：.2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m=___________.【答案】-1【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案．【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，解?故答案為：-1.3．命題“如果，，，，且與不重合，那么”是______命題．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】由，，，可得兩平面不平行，又題干中與不重合，故可得與相交，交線為AB.【詳解】因?yàn)榕c不重合，又，，，，故與不平行，則與相交，交線為AB，從而，所以此命題是真命題.故答案為：真4．已知直線，和平面滿(mǎn)足，，則與的位置關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】異面或平行【分析】，，則與沒(méi)有公共點(diǎn)，所以與異面或平行【詳解】如圖所示，，則則與沒(méi)有公共點(diǎn)，所以與異面或平行故答案為：異面或平行5．已知，，則滿(mǎn)足條件的x=______(結(jié)果用反三角記號(hào)表示)【答案】【分析】由反余弦函數(shù)直接求解.【詳解】依題意可得.故答案為：.6．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則______．【答案】2【分析】由題得，兩邊取?？傻媒Y(jié)果.【詳解】由得，兩邊取模得，即，所以.故答案為：2.7．在空間中，三個(gè)平面最多能把空間分成______部分．【答案】8【分析】根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，從而可得到結(jié)果．【詳解】三個(gè)平面兩兩平行時(shí)，可以把空間分成4部分，如圖1；三個(gè)平面中恰有兩個(gè)平面平行時(shí)，可把空間分成6部分，如圖2；三個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，可以把空間分成6部分，如圖3；三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線互相平行時(shí)，可以把空間分成7部分，如圖4；三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可以把空間分成8部分，如圖5，所以空間中的三個(gè)平面最多能把空間分成8部分．故答案為：8．8．設(shè)，若是關(guān)于的方程的一個(gè)虛根，則的取值范圍是____.【答案】【分析】設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個(gè)虛根，由方程有虛根可知，判別式為負(fù)數(shù)，據(jù)此可求出m的范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個(gè)虛根，z是關(guān)于x的方程x2+mx+m2?1=0的一個(gè)虛根，可得，即，則由根與系數(shù)的關(guān)系，，則，所以的取值范圍是：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，以及復(fù)數(shù)的模的求解，屬中檔題.9．函數(shù)滿(mǎn)足，則______【答案】5【分析】依題意可得，代入，利用誘導(dǎo)公式求出．【詳解】解：函數(shù)滿(mǎn)足，，，則．故答案為：5．10．如圖，在三角形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則______．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)得出和的關(guān)系，再利用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】解：以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，則，，，，，，，，整理得：，．故答案為：．11．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)．在區(qū)間上至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小正整數(shù)值為_(kāi)_____．【答案】10【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)得，然后由可得，同時(shí)為函數(shù)的最小或同時(shí)為函數(shù)的最大值，再由題意可得，從而可求出的范圍，進(jìn)而可求得答案【詳解】解：，因?yàn)椋瑒t，同時(shí)為函數(shù)的最小或同時(shí)為函數(shù)的最大值，因?yàn)樵趨^(qū)間上至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以，故，所以，則的最小正整整數(shù)為10．故答案為：10．12．向量集合，對(duì)于任意、，以及任意，都有，則稱(chēng)集合是“凸集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：①集合是“凸集”；②集合是“凸集；③若、都是“凸集”，則也一定是“凸集”；④若、都是“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”；⑤若集合是“凸集”，則一定不是“凸集”．其中，所有正確的命題的序號(hào)是__．【答案】①④⑤．【分析】根據(jù)題目中“凸集”的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算，證明命題的正確性；利用舉反例的方法，證明命題的錯(cuò)誤，可得答案.【詳解】由題意得，若對(duì)于任意、，線段上任意一點(diǎn)，都有，則集合是“凸集”，由此對(duì)結(jié)論逐一分析：對(duì)于①，，若對(duì)于任意，滿(mǎn)足，，則、，由函數(shù)的圖象得對(duì)線段上任意一點(diǎn)，都有，即，故為“凸集”，①正確；對(duì)于②，取，則線段上的點(diǎn)，不滿(mǎn)足，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，可舉反例，若，，易得、都是“凸集”，而不是“凸集”，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若、都是“凸集”，則對(duì)于任意、，任意，則，且，故，故也是“凸集”，故④正確．對(duì)于⑤，根據(jù)補(bǔ)集的概念知，顯然正確；故答案為：①④⑤．二、單選題13．工人師傅在檢測(cè)椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩條相交直線確定一個(gè)平面B．兩條平行直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面【答案】A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】解：由于連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A14．函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】C【分析】首先利用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用周期公式和奇偶函數(shù)的定義判斷即可求解.【詳解】由余弦的二倍角公式可得：，所以周期為：，且，所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)，故選：C.15．動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足（），動(dòng)點(diǎn)P一定會(huì)過(guò)ΔABC的（

）A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．外心【答案】C【分析】取中點(diǎn)，做出簡(jiǎn)圖，由化簡(jiǎn)得，根據(jù)得、、三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)一定會(huì)通過(guò)重心.【詳解】取中點(diǎn)，做出示意圖如下圖所示：由圖可知，故，因?yàn)?，所以、、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在的中線所在直線上，所以點(diǎn)一定會(huì)過(guò)的重心。故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算及其應(yīng)用，關(guān)鍵在于利用向量的加法法則將已知條件化簡(jiǎn)成三個(gè)共起點(diǎn)的向量的關(guān)系，利用三點(diǎn)共線的判定條件判斷三點(diǎn)共線，屬于中檔題.16．設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方，表示出集合，再把選項(xiàng)中的值分別代入計(jì)算得到集合，一一判斷即可求解.【詳解】由，得，即，故，0，1，2，4，5，因此集合.當(dāng)時(shí)，同理得，此時(shí)不存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，同理可知，時(shí)，也不滿(mǎn)足題意，故ACD錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，故B正確.故選B.三、解答題17．如圖所示，在正方體中，分別是和的中點(diǎn)，求證：四邊形為平面圖形．【答案】見(jiàn)解析【分析】證明線線平行，從而得到四點(diǎn)共面，則四邊形為平面圖形.【詳解】證明：連接EF，，．由E，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)，可得．由正方體的性質(zhì)知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，則，故E，C，，F(xiàn)四點(diǎn)共面．則四邊形為平面圖形.18．已知復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）．（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）13.【分析】（1）由復(fù)數(shù)的減法求，根據(jù)其所在的象限可得，即可求的范圍；（2）由是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則也是它的根，進(jìn)而可知，即可求.【詳解】（1）．∵在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，∴，解得：．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）∵虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，．∴也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，∴，可得.∴的值為13.19．如圖所示，甲船在距離港口24海里，并在南偏西20°方向的處駐留等候進(jìn)港，乙船在港口南偏東40°方向的處沿直線行駛?cè)敫?，甲、乙兩船距離為31海里．（1）求的大?。唬?）當(dāng)乙船行駛20海里到達(dá)處，接到港口指令，前往救援忽然發(fā)生火災(zāi)的甲船，此時(shí)甲、乙兩船之間的距離為多少？【答案】（1）；（2）21海里．【分析】（1）由正弦定理可得結(jié)果；（2）由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意知，，，，在中，由正弦定理得，，解得，由，知為銳角，所以．（2）由（1）得，在中，由余弦定理得，（海里），所以，此時(shí)甲、乙兩船之聞的距離為21海里．20．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸同方向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．(1)若，求．(2)若，求在上的投影向量斜坐標(biāo)．(3)若，，，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由題可得，利用向量共線的條件即得；（2）由題可知，進(jìn)而可得，，然后利用投影向量為的概念即得；（3）由題可得，然后利用向量夾角公式可得，再結(jié)合條件及函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】（1）∵，∴，∴，即；（2）∵，∴，∴，，，∴在上的投影向量為，即在上的投影向量斜坐標(biāo)為；（3）∵，∴，，∴，又，，∴，，，∴，令，則，，又，在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為.21．設(shè)復(fù)平面中向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，給定某個(gè)非零實(shí)數(shù)，稱(chēng)向量為的向量.(1)已知，求；(2)設(shè)的向量分別為，已知，求的坐標(biāo)(結(jié)果用表示)；(3)若對(duì)于滿(mǎn)足的所有能取到的最小值為8，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念分析運(yùn)算；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論求的坐標(biāo)，結(jié)合題意分析運(yùn)算；（3）由（1）可得，根據(jù)面積公式和向量的相關(guān)運(yùn)算整理得，結(jié)合基本不等式和正弦函數(shù)的有界