多目標優(yōu)化方法及實例解析

多目標優(yōu)化方法及實例解析1第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四多目標規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經(jīng)濟、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計等領(lǐng)域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較，而這些目標有時不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國經(jīng)濟學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四求解多目標規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標化為比較容易求解的單目標或雙目標，如主要目標法、線性加權(quán)法、理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目標按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標最優(yōu)解集內(nèi)求下一個目標最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標決策與分析方法，對于目標結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實用。

第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

多目標規(guī)劃模型（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：

一多目標規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四縮寫形式：有n個決策變量，k個目標函數(shù)，m個約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

對于線性多目標規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示：

式中：

X

為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四多目標規(guī)劃的非劣解

多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標。對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個目標函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2

目標值比②大，但其目標值f1

比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標達到法目標規(guī)劃模型二多目標規(guī)劃求解技術(shù)簡介

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四是與各目標函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問題的各個目標函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：

第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權(quán)值

i

來反映原問題中各目標函數(shù)在總體目標中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四方法二罰款模型（理想點法）

思想:規(guī)劃決策者對每一個目標函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi

與期望值fi*

之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個目標函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題：方法三約束模型（極大極小法）

第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四方法四目標達到法

首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在求解之前，先設(shè)計與目標函數(shù)相應(yīng)的一組目標值理想化的期望目標fi*(i=1,2,…,k),每一個目標對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標規(guī)劃問題就轉(zhuǎn)化為：第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四方法五目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個目標的期望值fi*

，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標，L個優(yōu)先級(L≤K)，目標規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四式中：

di+

和di－分別表示與fi

相應(yīng)的、與fi*

相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量；

pl表示第l個優(yōu)先級；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級pl中，不同目標的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)。第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四三目標規(guī)劃方法

通過前面的介紹和討論，我們知道，目標規(guī)劃方法是解決多目標規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進一步給出了求解目標規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。目標規(guī)劃模型目標規(guī)劃的圖解法求解目標規(guī)劃的單純形方法第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

目標規(guī)劃模型

給定若干目標以及實現(xiàn)這些目標的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標值的偏差最小。1.基本思想：2.目標規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8萬元和10萬元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺時和2單位臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10單位臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

由于決策者所追求的唯一目標是使總產(chǎn)值達到最大，這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問題化為標準后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為:（萬元）。

甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺時)1210單件利潤810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：②超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達到并超過計劃產(chǎn)值指標56萬元。

這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標決策問題，這一問題可以運用目標規(guī)劃方法進行求解。①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四假定有L個目標，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+

、kl-

，則多目標規(guī)劃問題可以表示為：

目標規(guī)劃模型的一般形式目標函數(shù)目標約束絕對約束非負約束第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在以上各式中，kl+

、kl-

、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k

個目標的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)，

gk為第k個目標的預(yù)期值，

xj為決策變量，

dk+

、dk-

、分別為第k個目標的正、負偏差變量，目標函數(shù)目標約束絕對約束非負約束第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量

在目標規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量d+、d-

。其中，正偏差變量表示決策值超過目標值的部分，負偏差變量表示決策值未達到目標值的部分。因為決策值不可能既超過目標值同時又未達到目標值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對約束和目標約束

絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

目標約束，目標規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標值，在達到此目標值時允許發(fā)生正的或負的偏差，可加入正負偏差變量，是軟約束。

線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)，在給定目標值和加入正、負偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標約束。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子p1

，次位的目標賦予優(yōu)先因子p2

，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl

比pl+1

有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1

級目標的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現(xiàn)p1

級目標的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl

的目標的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子p1

，次位的目標賦予優(yōu)先因子p2

，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl

比pl+1

有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1

級目標的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現(xiàn)p1

級目標的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四(4)目標函數(shù)

目標規(guī)劃的目標函數(shù)（準則函數(shù)）是按照各目標約束的正、負偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當每一目標確定后，盡可能縮小與目標值的偏離。因此，目標規(guī)劃的目標函數(shù)只能是：a)要求恰好達到目標值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。分析:題目有三個目標層次，包含三個目標值。第一目標：p1d1+;即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。第二目標：p2(d2++d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；第三目標：p3d3-

;即產(chǎn)值不小于56萬元；第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標規(guī)劃模型是第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？12070單件利潤3000103設(shè)備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲

單位產(chǎn)品資源消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品:x1

，乙產(chǎn)品:x2,(1)第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

若在例3中提出下列要求：

1、完成或超額完成利潤指標50000元；

2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；

3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。試建立目標規(guī)劃模型。分析：題目有三個目標層次，包含四個目標值。第一目標：p1d1-

第二目標：有兩個要求即甲d2+

，乙d3-

，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡為7:12。第三目標：第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四所以目標規(guī)劃模型為：第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

圖解法同樣適用兩個變量的目標規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下：

1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量）在坐標平面上表示出來；

2、在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向；

目標規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級目標的解；

4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標的前提下，求出該優(yōu)先等級目標的解；

5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級的目標都已審查完畢為止；

6、確定最優(yōu)解和滿意解。第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例4、用圖解法求解目標規(guī)劃問題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-

取最小，所以，（2）線可向上移動，故B，C線段上的點是該問題的最優(yōu)解。第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

例5、已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為

其中目標函數(shù)為總利潤，x1,x2

為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標：

1、要求總利潤必須超過2500

元；

2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，

A、B的生產(chǎn)量不超過60件和100件；

3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標規(guī)劃模型，并用圖解法求解。第36頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模型如下：第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD

結(jié)論：C(60,58.3)為所求的滿意解。第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-

＝0

；d3+＝d3-

＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+

＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2

＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝58.3<100

由上可知：若A、B的計劃產(chǎn)量為60件和58.3件時，所需甲資源數(shù)量將超過現(xiàn)有庫存。在現(xiàn)有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，由原來的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生產(chǎn)方案（60，58.3）成為可行方案。第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

求解目標規(guī)則的單純形方法

目標規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數(shù)為：②因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于P1的系數(shù)

1j

的正負，若1j

=0，則檢驗數(shù)的正、負就決定于p2的系數(shù)2j

的正負，第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于p1的系數(shù)1j

的正、負，若1j=0，則檢驗數(shù)的正、負就決定于p2的系數(shù)2j

的正、負，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進行基變換運算，建立新的計算表，返回②。⑤當l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。第42頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例4：試用單純形法求解例2所描述的目標規(guī)劃問題.解：首先將這一問題化為如下標準形式：第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取l=1，檢查檢驗數(shù)的p1

行，因該行無負檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因為l=1<L=3，置l=l+1=2，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗數(shù)p2行中有-1，-2，因為有min{-1,-2}=-2，所以x2為換入變量，轉(zhuǎn)入③。

第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

③按規(guī)則計算：，所以d2-

為換出變量，轉(zhuǎn)入④。

④進行換基運算，得表3。以此類推，直至得到最終單純形表4為止。第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四表2第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢驗數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量d3+的檢驗數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四表4

在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換出變量，經(jīng)迭代得到表4。

從表4可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是該問題的滿意解。第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

用目標達到法求解多目標規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，如下:多目標規(guī)劃的Matlab求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在MATLAB中，多目標問題的標準形式為:其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對應(yīng)的目標函數(shù)與用戶定義的目標函數(shù)值的接近程度；goal為用戶設(shè)計的與目標函數(shù)相應(yīng)的目標函數(shù)值向量；為一個松弛因子標量；F(x)為多目標規(guī)劃中的目標函數(shù)向量。第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個等級，甲級單價2元/kg,乙級單價1元/kg，現(xiàn)要求總費用不超過200元，購得原料總量不少于100kg,其中甲級原料不少于50kg，問如何確定最好的采購方案。分析:列出方程

x1≥50;2x1+x2≤200;x1+x2≥100;x1,x2≥0化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥0第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),-x(1)]';a=[21;-1-1;-10];b=[200-100-20]';goal=[200,-100,-50];weight=goal;x0=[55,55];lb=[0,0]';[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,[],[],lb,[])

化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥0第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*options.TolX

andmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):

lower

upper

ineqlin

ineqnonlin

2

2

3x=

50.0000

50.0000fval=

150.0000-100.0000

-50.0000attainfactor=

-1.4476e-024exitflag=

4

第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、土地利用問題二、生產(chǎn)計劃問題三、投資問題四多目標規(guī)劃應(yīng)用實例

第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四大豆一、土地利用問題例:

某農(nóng)場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2、300hm2和200hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如下表所示。若三種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大？

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

取xij

決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標，那么，目標函數(shù)包括：②追求總產(chǎn)值最大①追求總產(chǎn)量最大

第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)題意，約束方程包括：

非負約束

對上述多目標規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。耕地面積約束最低收獲量約束第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四1.用線性加權(quán)方法取1=2=0.5,重新構(gòu)造目標函數(shù)：這樣，就將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標線性規(guī)劃。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標函數(shù)的最大取值為6445600。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2.目標規(guī)劃方法

實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標規(guī)劃方法求解上述多目標規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量f1(X)和總產(chǎn)值f1(X)，分別提出一個期望目標值（kg）（元）并將兩個目標視為相同的優(yōu)先級。第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

如果d1+、d1-分別表示對應(yīng)第一個目標期望值的正、負偏差變量，d2+、d2-分別表示對應(yīng)于第二個目標期望值的正、負偏差變量，而且將每一個目標的正、負偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)為：對應(yīng)的兩個目標約束為：即：

第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

除了目標約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負約束，不但包括決策變量的非負約束式，還包括正、負偏差變量的非負約束：解上述目標規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表:在此非劣解方案下，兩個目標的正、負偏差變量分別為，，，。第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四二、生產(chǎn)計劃問題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達到最大?分析:該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用x1

和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求x1

和x2，使：第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四分析:該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用x1

和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求x1

和x2，使：而且滿足：第64頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四

對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達到或超過45000元；（3）兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：而且滿足：第65頁，共73頁，2023年，2月20日，星