多元線性回歸模型

多元線性回歸模型第1頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四“多元”回歸模型在現(xiàn)實的計量經濟分析中，事實上影響被解釋變量的因素不止一個，通常會有多個影響因素。即使我們的分析目的是考察某一個因素對被解釋變量的影響，但為了得到該因素對被解釋變量的“凈影響”，也需要將其他影響因素作為“控制變量”，使其以顯性形式出現(xiàn)在模型中，以提高模型估計精度。因此，需要建立包含兩個及以上解釋變量的多元回歸模型。第2頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四基本內容第一節(jié)多元線性回歸模型的概念（重點）第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計（掌握）第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗（掌握）第四節(jié)非線性回歸模型（重點）第五節(jié)案例生產函數(shù)的應用第3頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四本章要點多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗非線性回歸模型第4頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)多元線性回歸模型的概念重點：

1.對多元線性回歸模型參數(shù)意義的理解

2.對無多重共線性假定的理解第5頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第6頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

多元：含有兩個以上解釋變量線性：對參數(shù)而言線性如果總體回歸函數(shù)描述了一個被解釋變量與多個解釋變量之間的線性關系，由此而設定的回歸模型就稱為多元線性回歸模型。一、總體線性回歸模型第7頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四假定被解釋變量Y與K個解釋變量X1，X2，……Xk存在線性相關關系:

（i=1,2,…，n）稱為總體線性回歸模型。一、總體線性回歸模型第8頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四其中:

為截距項，代表排除在模型之外的所有因素對被解釋變量Y的平均影響；（j=1,2…k）為偏回歸系數(shù)，反映了在其它解釋變量保持不變的情況下，解釋變量Xj變化一個單位時，對被解釋變量Y的影響程度。ui為隨機擾動項，因此，對應于解釋變量的每一組觀察值（X1i，X2i…，Xki），被解釋變量Yi的值是隨機的。

第9頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

多元線性回歸模型的參數(shù)與一元線性回歸模型的參數(shù)有重要區(qū)別。在多元線性回歸模型中，解釋變量對應的參數(shù)是偏回歸系數(shù)，表達的是控制其他解釋變量不變的條件下，該解釋變量的單位變動對被解釋變量平均值的“凈影響”。這個獨特性質使多元回歸中不但能夠引入多個解釋變量，而且能夠“分離”出每個解釋變量對被解釋變量的影響。注意：第10頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四總體線性回歸函數(shù)

把被解釋變量Yi的總體條件期望與解釋變量X1，X2，…，Xk存在的線性關系式:E（Y/X1i，X2i…，Xki）=

稱為K元線性總體回歸函數(shù)。特別的，當K=2時，二元線性總體回歸模型的形式為：二元線性總體回歸函數(shù)形式為：

第11頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第12頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二、樣本線性回歸模型

K元線性樣本回歸函數(shù)表達式為：

其中，是總體均值的估計多元線性樣本回歸模型表達式為：其中，殘差項ei是隨機擾動項ui的估計。第13頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二、樣本線性回歸模型特別地，當K=2時，二元線性樣本回歸函數(shù)為二元線性樣本回歸模型為：

第14頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二元線性樣本回歸函數(shù)幾何圖形表示

回歸平面示意圖第15頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第16頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、多元線性回歸模型的基本假定假定1：線性回歸模型，或模型是參數(shù)的線性函數(shù)。假定2：X值固定或獨立于誤差項。這意味著隨機擾動項和每個X變量之間的協(xié)方差為0。假定3：零均值假定，即干擾項均值為0。

E（ui）=0（i=1，2，…，n）假定4：同方差假定，即干擾項的方差保持不變。

i=1,2,…,n第17頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、多元線性回歸模型的基本假定假定5：無自相關假定，干擾項之間無自相關或序列相關。

cov(ui,uj)=0，(i≠j;i,j=1,2,…n)假定6：觀測次數(shù)n必須大于待估計參數(shù)個數(shù)。假定7：X變量值必須存在變異。第18頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、多元線性回歸模型的基本假定另外兩個要求假定8：無設定偏誤，模型被正確地設定。假定9：解釋變量之間不存在完全共線性，沒有精確的線性關系。第19頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

無多重共線性假定：各解釋變量之間不存在嚴格的線性關系，或者說各解釋變量之間線性無關；亦即解釋變量之間不存在精確的線性關系，即是說不存在一列不全為0的數(shù)，能使下式成立：反之，如果僅當，上式才成立，就說變量是線性無關的。三、多元線性回歸模型的基本假定第20頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四注意：無多重共線性假定是針對解釋變量之間的關系而設定，根本目的是保證模型可以估計。如果解釋變量之間存在完全多重共線性，會造成數(shù)據觀測矩陣X非列滿秩，模型參數(shù)將無法估計。在實際做計量經濟分析時，很多經濟變量雖然不存在完全的線性關系，卻通常都存在一定的相關性，不一定滿足多重共線性的假定，模型的估計可能會受到影響。三、多元線性回歸模型的基本假定第21頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四假定10：正態(tài)性進行假設檢驗時，干擾項服從均值為0，方差為的正態(tài)分布。三、多元線性回歸模型的基本假定第22頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四本章要點多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗非線性回歸模型第23頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計重點：

1.多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計

2.參數(shù)最小二乘估計式的數(shù)值性質

3.參數(shù)最小二乘估計式的統(tǒng)計性質第24頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計二、最小二乘估計量的數(shù)值性質三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間第25頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

總體線性回歸模型樣本線性回歸模型

OLS方法是要選擇未知參數(shù)值，使殘差平方和盡可能小一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計第26頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四以二元線性回歸模型為例

做最小二乘估計：一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計第27頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四OLS要求回歸平面能使

Y與該平面的離差平方和為最小第28頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四1.先對三個未知參數(shù)求偏導數(shù)，并令所得結果為零，即得3個方程的方程組：

第29頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四2.化簡得正規(guī)方程第30頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四3.如果觀測次數(shù)不少于3次，而X1和X2之間不存在線性關系，則由此正規(guī)方程組，可解得參數(shù)的OLS估計式如下：第31頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四4.按照用小寫字母表示對樣本均值離差的慣例，我們導出以下公式：第32頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計二、最小二乘估計量的數(shù)值性質三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間第33頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二、最小二乘估計量的數(shù)值性質1.樣本均值點在樣本平面上，即2.剩余項（殘差）ei的均值為零，即3.Y的估計值的均值等于Y的觀測值均值，即4.解釋變量與剩余項不相關，即cov(Xji,ei)=05.剩余ei與估計量不相關，即cov(ei,)=0第34頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計二、最小二乘估計量的數(shù)值性質三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間第35頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質在古典線性回歸模型的基本假定下，一元線性回歸模型的OLS估計量是最優(yōu)線性無偏估計量，這個性質對于多元線性回歸同樣成立。

第36頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質

第37頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計二、最小二乘估計量的數(shù)值性質三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間第38頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間

根據矩陣相等的意義，矩陣相等即對應位置的元素相等，回歸參數(shù)估計量的方差、標準差，協(xié)方差其中為矩陣中第i行和第j列元素。特別地，對二元回歸模型而言：第39頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四1．參數(shù)的估計誤差

可證明

由此得：令即因此，

稱為方程的估計標準誤差。

第40頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四2．參數(shù)的置信區(qū)間

～N（，Cj+1，j+1

）

進行標準化標準化得：由數(shù)理統(tǒng)計定理可知：所以，對于給定的置信度1-，由分布表可查得臨界值使得第41頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四即：偏回歸參數(shù)的100（1-）%的置信區(qū)間為：即以100(1-)％的概率保證回歸參數(shù)屬于該區(qū)間內。第42頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四由于偏回歸系數(shù)都是與變量的原有單位有直接的聯(lián)系，計量單位不同，彼此不能直接比較計量單位不同的解釋變量對被解釋變量的影響大小。為此，在比較被解釋變量對各個解釋變量的敏感性時，可以將偏回歸系數(shù)轉換為Beta系數(shù)，其定義如下：3.標準化系數(shù)(Beta系數(shù))第43頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四特別的對二元回歸模型：兩邊減去得到：變形：進行變量的標準化變換，因為所以則

第44頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四1.如果將一個變量在減去其均值后再除以其標準差，我們就說把這個變量標準化了。標準化變量其均值總是0，標準差總是1。2.對標準化的回歸子和回歸元做回歸，截距項總是0，是一個過原點的回歸。3.標準化變量的回歸系數(shù)Beta系數(shù)可解釋為，如果標準化回歸元增加一個單位的標準差，則標準化回歸子平均增加單位個標準差。度量變量影響以其標準差作為單位。注意：第45頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四5.標準化回歸模型的優(yōu)點在于我們可以用beta系數(shù)作為各個回歸元相對解釋力的一種度量，通過將回歸元標準化，可以將其放在同等地位并直接進行比較。如果一個標準化回歸元的系數(shù)比模型中另一個標準化回歸元的系數(shù)大，那么前者就能比后者更多地解釋回歸子。注意：第46頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四本章要點多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗非線性回歸模型第47頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗重點：

1.為什么要對可決系數(shù)加以修正

2.個別參數(shù)顯著性t檢驗與模型整體顯著性F檢驗的關系

3.F檢驗與擬合優(yōu)度之間的關系第48頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、模型的擬合優(yōu)度檢驗二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗三、模型總體線性顯著性檢驗第49頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四一、模型的擬合優(yōu)度檢驗

設估計的多元樣本線性回歸函數(shù)為

則帶殘差項的多元樣本線性回歸模型為

則1．總離差平方和分解第50頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四總離差平方和

由最小二乘法知因此

第51頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四回歸平方和與殘差平方和

記成TSS=RSS+ESS總離差平方和

回歸平方和殘差平方和

第52頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四2．判定系數(shù)

用回歸平方和（ESS）占總平方和（TSS）的比重作為衡量模型對樣本擬合優(yōu)度的指標，稱為多元判定系數(shù)，用符號R2表示：顯然，，并且當越接近于1時，越接近于0；因此，R2的值越接近1，則表明模型對樣本數(shù)據的擬合優(yōu)度越高。

第53頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四回歸平方和分解用式：減式：得：由于于是因此第54頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四在多元回歸中R2是模型中解釋變量個數(shù)的非減函數(shù)，也就是說，隨著模型中解釋變量個數(shù)的增加，的值通常都會變大。為了得到擬合優(yōu)度較高的模型，似乎加入更多解釋變量是合理選擇，但是在建立計量經濟模型時，隨著解釋變量個數(shù)的增加，待估計的參數(shù)也會增多，由此造成樣本自由度減少，模型參數(shù)估計的準確性下降。注意：第55頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四因此，在多元回歸模型中，僅僅依據R2對模型作比較和選擇會產生問題，在增加新的解釋變量時，必須對由其帶來的模型自由度下降這一“負面影響”而做出“懲罰”，因此，需要對R2作出相應的修正。注意：第56頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四3.校正判定系數(shù):在一元回歸中判定系數(shù)為由于于是第57頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四校正的辦法

將中的第二項乘一個不小于1的因子，若方程中解釋變量個數(shù)k大，所乘因子也大；在樣本容量一定的情況下，由于RSS的自由度n-k-1隨著解釋變量個數(shù)k的增大而減少。如果用自由度去校正所計算的變差平方和，就可以克服因為解釋變量個數(shù)不同而引起的判定系數(shù)對比的困難。因此定義

為校正判定系數(shù)。

第58頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四的聯(lián)系

由于是k＞0

n-k-1＞01-R2≥0所以即：校正的判定系數(shù)不大于一般判定系數(shù)第59頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四調整后的判定系數(shù)受哪些因素的影響第60頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四校正判定系數(shù)的特點

因為，若，則由所以，當時，，

這時就取。

第61頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四R2K變量個數(shù)K變量個數(shù)第62頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

4.赤池信息準則和施瓦茨準則

為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有:

赤池信息準則（Akaikeinformationcriterion,AIC）施瓦茨準則（Schwarzcriterion，SC）

這兩準則均要求僅當所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時才在原模型中增加該解釋變量。

第63頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、模型的擬合優(yōu)度檢驗二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗三、模型總體線性顯著性檢驗第64頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗1.提出假設：2.構造統(tǒng)計量：在H0成立的條件下，3.計算原假設成立時tj統(tǒng)計量的值。4.在給定顯著性水平的條件下，查t分布表，得臨界值。H0：j=0

（j=1,2…k）

H1：j0

第65頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四5．判斷：則拒絕

接受

這是因為接受H0的概率保證程度很大，也就是說,接受H1犯錯誤的概率很??；說明所對應的解釋變量對被解釋變量Y有顯著的線性影響。若則不能拒絕即與0的差異不顯著，這種情況，只有接受H0，犯錯誤的概率才會??；說明對應的解釋變量對被解釋變量Y線性作用不顯著。若第66頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、模型的擬合優(yōu)度檢驗二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗三、模型總體線性顯著性檢驗第67頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、模型總體線性顯著性檢驗由于Yi的總變差可以分解為兩部分顯然，模型的總顯著性越強,說明模型中所有解釋變量對被解釋變量Y的聯(lián)合影響程度越大，ESS在TSS中所占比重就越大,故利用比值對總體線性關系進行推斷。由于對不同的樣本，這個比值可能不同，因此對給定的樣本，利用這個比值進行推斷，必須在統(tǒng)計假設檢驗的基礎上作出。第68頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四總體線性顯著性檢驗的步驟

至少有一個不為01.提出關于K個總體參數(shù)的假設。2.構造統(tǒng)計量：可以證明：在k元線性回歸的條件下，和分別服從自由度為k和n-k-1的分布。即根據數(shù)理統(tǒng)計中的定理可知，因此，利用F統(tǒng)計量進行總體線性顯著性檢驗第69頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四F檢驗

3.在原假設成立的條件下，計算F統(tǒng)計量的值；

4.給定顯著性水平，查F分布表得臨界值；

5.若，則拒絕，即回歸模型是顯著成立，這說明回歸模型中的解釋變量對被解釋變量是有共同影響，也就是說，回歸總體是顯著線性的。若，則不拒絕，即回歸模型不顯著成立，說明解釋變量對被解釋變量是沒有顯著的線性影響關系。第70頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四F檢驗和判定系數(shù)R2關系

可以看出，F(xiàn)與R2同向變化,當時，當R2越大時，F(xiàn)值越大，當R2趨向于1時，F(xiàn)趨向于。因此，用來判斷估計的回歸方程聯(lián)合顯著性的F檢驗，實際也就是對判定系數(shù)的顯著性檢驗。亦即，檢驗原假設，等價于檢驗這一虛擬假設。第71頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四本章要點多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗非線性回歸模型第72頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

被解釋變量和解釋變量之間的線性關系，包括參數(shù)線性和解釋變量線性兩種。嚴格意義上來講，OLS是針對參數(shù)、變量均線性的模型進行估計，為什么基本假定只要求相對參數(shù)線性即可？

第四節(jié)非線性回歸模型第73頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

即使在參數(shù)線性回歸模型的約束下，回歸模型也可以有多種形式：倒數(shù)模型雙對數(shù)模型半對數(shù)模型多項式模型所有這些模型的一個重要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，或者通過簡單的代數(shù)處理轉化成參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。

第74頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

轉換技巧：直接代換法間接代換法級數(shù)展開法應用研究中經常出現(xiàn)的函數(shù)形式的變形和推廣。第75頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)非線性回歸模型重點：

1.雙對數(shù)線性模型參數(shù)的經濟含義

2.半對數(shù)線性模型參數(shù)的經濟含義

3.級數(shù)展開法的基本思想第76頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級數(shù)展開法第77頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四對于參數(shù)線性的模型，可以采用變量的直接代換，轉化為參數(shù)、變量均為線性的形式進行估計。1.倒數(shù)模型函數(shù)形式為下式的稱為倒數(shù)模型：

倒數(shù)模型的一個顯著特征是，隨著X的無限增大，趨于零，Y接近漸近值。一、直接代換法第78頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四曲線形狀第79頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕忉屪兞康挠^測值，計算出X*i的之后進行OLS估計，得到：因此可得到原模型的估計方程：如何轉換？第80頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四倒數(shù)變換模型特點

隨著X的無限增大，Yi將非線性遞減（Y將接近于零），逐漸接近極限值，即有一個漸近下限或漸近上限。由于這種模型的曲線形狀呈現(xiàn)雙曲線的變化規(guī)律，又稱其為雙曲線模型。在現(xiàn)實中，平均固定成本曲線，恩格爾消費曲線，菲利普斯曲線恰好有類似的變動規(guī)律，因此，可以用倒數(shù)變換模型進行描述。第81頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四平均固定成本曲線在短期：總固定成本為一條水平線，平均固定成本曲線等于從原點到總成本曲線上相應產量點連線的斜率。隨著產出的不斷增加，AFC將逐漸降低，最終接近臨界值。第82頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四恩格爾消費曲線

恩格爾曲線表示消費者在每一收入水平下對某種商品的需求量。恩格爾曲線的形狀取決于特定商品的性質、消費者的偏好以及保持不變的價格水平。正常商品的消費量隨著收入的增加而增加，但其增長率是遞減的。高檔商品的消費量是隨收入增加而遞增的，且其增長速度也是遞增的。

第83頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四恩格爾消費曲線

正常商品高檔商品第84頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四恩格爾消費曲線

若用X表示消費者總收入，Y表示消費數(shù)量，則正常商品的恩格爾曲線具有如下特征：1.收入有一個臨界值，在此之下，不能購買商品。2.消費有一個滿足水平，在此水平之上，不會再有任何消費。第85頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四中國2006-2011年恩格爾系數(shù)第86頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第87頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四菲利普斯曲線

菲利普斯根據英國貨幣工資變化的百分比Y與失業(yè)率X的數(shù)據，得到菲利普斯曲線。工資的變化隨失業(yè)水平的變化是不對稱的：當失業(yè)率低于自然失業(yè)率u0時，工資隨失業(yè)率單位變化而上升比在失業(yè)率高于自然失業(yè)率u0時工資隨失業(yè)率單位變化而下降得要快。第88頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四菲利普斯曲線第89頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四2.雙對數(shù)模型（不變彈性模型）模型

令可變?yōu)榫€性回歸模型

根據解釋變量的觀測值，計算出Y*i和X*i的之后用最小二乘法對參數(shù)進行估計，得到：和分別是和的最佳線性無偏估計式。第90頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四雙對數(shù)模型的假設檢驗

線性模型與雙對數(shù)模型的假設檢驗并沒有什么不同，在隨機擾動項服從正態(tài)分布的假設下，估計的回歸系數(shù)服從正態(tài)分布。

第91頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四雙對數(shù)線性模型的特點

對數(shù)結構方程兩邊微分得：雙對數(shù)線性模型的回歸系數(shù)恰好就是被解釋變量關于解釋變量的彈性。第92頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三個變量的對數(shù)線性回歸模型：令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕忉屪兞康挠^測值，進行OLS估計，得到：因此可得到原模型的估計方程：第93頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三個變量的對數(shù)線性回歸模型：注意：模型中的偏回歸系數(shù)又稱為偏彈性系數(shù)，每一個偏回歸系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，被解釋變量Y對某一解釋變量的偏彈性。第94頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四3.半對數(shù)模型

僅有一個變量以對數(shù)形式出現(xiàn)的回歸模型稱為半對數(shù)模型。對數(shù)-線性模型：被解釋變量為對數(shù)形式的模型線性-對數(shù)模型：解釋變量為對數(shù)形式的模型第95頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四3.半對數(shù)模型

根據解釋變量的觀測值，進行OLS估計，得到：因此可得到原模型的估計方程：分別令：

或第96頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四半對數(shù)線性模型參數(shù)的意義

兩邊求微分得：對線性－對數(shù)模型：

從而，

對于對數(shù)－線性模型：

兩邊求微分得：

則第97頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四住房價格與空氣污染

第98頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四住房價格與空氣污染

第99頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四住房價格與空氣污染

第100頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四廣泛使用對數(shù)模型的原因：1.使用自然對數(shù)使得對系數(shù)的解釋頗具吸引力，而且由于斜率系數(shù)不隨測度單位而變化，所以我們可以忽略以對數(shù)形式出現(xiàn)的變量的度量單位。

2.當Y>0時，使用lnY作為被解釋變量的模型，通常比使用Y的水平值作為被解釋變量的模型更接近CLM假定。嚴格為正的變量，其條件分布常常具有異方差性或偏態(tài)性，取對數(shù)后，即使不能消除這兩方面的問題，也可以使之有所緩和。第101頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四廣泛使用對數(shù)模型的原因：

3.使用自然對數(shù)通常會縮小變量的取值范圍，在某些情況下還相當可觀。這就使得估計值對被解釋變量或解釋變量的異常（或極端）觀測不是那么敏感。

第102頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四線性模型與對數(shù)模型的比較在線性模型、對數(shù)模型選擇過程中，有如下經驗規(guī)律：

1.雙變量下，做散點圖。

2.多變量下，依據理論基礎、統(tǒng)計顯著性等標準進行綜合判斷。

3.可決系數(shù)不是重要標準。因為線性模型的可決系數(shù)度量了X對Y變動解釋的比例，而雙對數(shù)模型的可決系數(shù)度量了lnX對lnY變動解釋的比例。Y的變動與lnY的變動從概念上看是不同的。第103頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四線性模型與對數(shù)模型的比較

4.具有大正整數(shù)特征的變量通?？梢匀?shù)，如國內生產總值、物質資本存量、就業(yè)人員數(shù)、人口、工資等變量。以年度量的變量通常以原有形式出現(xiàn)，如受教育年數(shù)、年齡等變量。比例或百分比變量盡管存在使用其水平值的趨勢，但我們既可以使用原有形式，也可以使用其對數(shù)形式。這是因為任何原變量的回歸系數(shù)，都具有一種百分點變化的解釋，如失業(yè)率、投資率、消費率等變量。第104頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四線性模型與對數(shù)模型的比較

注意：使用對數(shù)模型所受到的一個限制是，變量不能取零或負值。但在Y非負又可等于零的情形中，有時采用ln(1+Y)。除了從Y=0開始的變化外，通常的百分比變化幾乎完全保留了其解釋。一般而言，當Y的數(shù)據包含相對較少的零時，使用ln(1+Y)，并把估計值作為變量為lnY時的解釋，通常是可以接受的。第105頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四對數(shù)模型的缺陷

使用對數(shù)形式的被解釋變量有一個缺陷，即更難預測原變量的值。原模型使我們能預測lnY，而不是Y。不過，把對lnY的預測轉變成對Y的預測也是相當容易的。一個相關的問題是，將Y作為被解釋變量的模型與lnY作為被解釋變量的模型進行可決系數(shù)的比較是不合邏輯的。它們解釋的是不同變量的變異。第106頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四4.多項式模型

令變量，模型轉化成多元線性回歸模型從而最小二乘法進行參數(shù)估計以及進一步的檢驗。這個模型在生產與成本函數(shù)中被廣泛使用。模型的函數(shù)為：解釋變量以不同次冪進入模型。第107頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四總成本(TC)、邊際成本（MC）和平均成本AC與產出的關系曲線：

第108頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四污染對住房價格的影響

第109頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四污染對住房價格的影響

第110頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四污染對住房價格的影響

第111頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級數(shù)展開法第112頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四二、間接代換法

在某些經濟問題中，經濟變量之間的非線性關系，不能象前面那樣直接代換轉化為線性形式，需要先通過函數(shù)變換（通常是對方程兩邊取對數(shù)），然后進行變量代換，使其轉化線性形式，再進行參數(shù)估計。因此，稱為間接代換法。第113頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四1.冪函數(shù)模型：若被解釋變量Y和解釋變量X之間的關系呈現(xiàn)冪函數(shù)形式該模型中變量Yi關于Xi和參數(shù)都是非線性的，對這類問題的線性化方法是將兩邊取對數(shù)，做恒等變換得：

令則

再令則第114頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四2.指數(shù)函數(shù)模型:若被解釋變量Y和解釋變量X之間的關系呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式：對這類模型線性化的方法，也是只需對兩邊取對數(shù)，即得：實際上是對數(shù)—線性模型，只要令

就可化為：再用線性回歸模型參數(shù)估計的方法估計出和進一步可得

第115頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級數(shù)展開法第116頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四三、級數(shù)展開法（迭代估計法）

基本思想：通過泰勒級數(shù)展開法，先使非線性模型在某一初始參數(shù)估計值附近線性化，然后對這一線性模型應用最小二乘估計方法，得出一組新的參數(shù)估計值，接著使原非線性的模型在新參數(shù)估計值附近線性化，對新的線性模型再應用最小二乘估計方法，又得出一組新的參數(shù)估計值，不斷重復上述過程，直至參數(shù)估計值收斂時為止。第117頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四具體步驟如下：設模型：其中：k為解釋變量個數(shù)，p為參數(shù)的個數(shù)，f為非線性函數(shù)，且f是的連續(xù)可導函數(shù)。第一步，選定一組參數(shù)初始估計值將函數(shù)f在初始值處展開（3-97）整理得：第118頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第二步：作變量代換，令：

第三步：由于上式是一個多元線性回歸模型，可用最小二乘法估計出一組參數(shù)。第119頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四第四步，重復第一步，對作另一次泰勒級數(shù)展開得，

代換后得到新的線性回歸模型，再應用最小二乘法，又得出一組參數(shù)的估計值;第五步，如此反復，得到一系列直到參數(shù)估計值收斂或第

次估計值的估計誤差

小于事先取定的誤差精度時為上，即滿足如下條件時為止：第120頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四以第次的計算結果作為參數(shù)的估計值。

從上述估計過程可以看出，迭代估計過程的收斂性及收斂速度與參數(shù)初始值的選取密切相關。若選取的初始值與參數(shù)真值比較接近，則收斂速度較快；反之，則收斂緩慢甚至發(fā)散。因此，估計模型時最好依據參數(shù)的經濟意義和有關先驗信息，設定好參數(shù)的初始值。這種方法計算量較大，而且迭代過程可能不收斂，這時應重選一組新的初始參數(shù)值，重新作逐次線性的近似估計。第121頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四說明：首先，由于非線性模型中的參數(shù)估計量同隨機項不成線性關系，所以它們不服從正態(tài)分布，也不能從回歸殘差中得出隨機擾動項的方差的無偏估計量，其結果使得t檢驗和F檢驗都不適用。其次，用上面方法得出的樣本回歸方程，可用來預測未來某個時期f的因變量的值。第122頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四

非線性回歸模型應用舉例第123頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四研究的選題1.要盡量選擇在經濟和社會領域中受到廣泛關注的問題，所研究問題的題目要具體化。2.要明確研究的范圍。3.所選題目的大小要適中。4.要充分考慮數(shù)據來源的可能性。第124頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四應用舉例一、計量經濟模型的設定二、變量說明與數(shù)據處理三、參數(shù)估計與計量檢驗四、宏觀經濟研究問題

第125頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四一、計量經濟模型的設定（一）數(shù)理經濟模型構建（二）樣本數(shù)據特征觀察（三）計量經濟模型建立第126頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理經濟模型構建1.新古典生產函數(shù)的基本假定(1)假定經濟中僅有物質資本和勞動兩種投入，生產函數(shù)形式為：

(2)假定資本折舊率是一個常數(shù)。在一個時點上物質資本存量的變化等于總投資減去生產過程中的資本損耗。第127頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理經濟模型構建2.新古典生產函數(shù)的性質如果忽略技術進步，也就是說我們假定F（·）獨立于t，生產函數(shù)可以采取如下形式：（1）對所有K>0和L>0，生產函數(shù)F（·）對每一投入具有正的且遞減的邊際產品：第128頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理經濟模型構建（2）F（·）呈現(xiàn)出不變規(guī)模報酬，滿足一次齊次性：

（3）滿足稻田條件，即隨著資本或勞動趨于零，資本或勞動的邊際產品趨于無窮大；隨著資本或勞動趨于無窮大，資本或勞動的邊際產品趨于零：第129頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理經濟模型構建3.新古典生產函數(shù)的形式科布-道格拉斯函數(shù)提供了對現(xiàn)實經濟的合理描述，在此假定生產函數(shù)符合科布-道格拉斯函數(shù)形式：第130頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四應用舉例一、計量經濟模型的設定二、變量說明與數(shù)據處理三、參數(shù)估計與計量檢驗四、宏觀經濟研究問題

第131頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四樣本數(shù)據特征觀察變量隨著時間變動趨勢第132頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四樣本數(shù)據特征觀察以國內生產總值為橫軸第133頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四樣本數(shù)據特征觀察以國內生產總值為縱軸第134頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四一、計量經濟模型的設定（一）數(shù)理經濟模型構建（二）樣本數(shù)據特征觀察（三）計量經濟模型建立第135頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四計量經濟模型建立1.確定模型包含的變量因素：產出、物質資本、勞動變量：GDP、資本存量K、勞動力人數(shù)L數(shù)據可得性變量之間的關系：GDP被解釋變量、K和L解釋變量第136頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四計量經濟模型建立2.確定模型的數(shù)學形式單一方程還是聯(lián)立方程模型？——單一方程具體函數(shù)形式：根據相關經濟理論得出符合科布-道格拉斯函數(shù)根據樣本數(shù)據做出的變量關系圖印證C-D生產函數(shù)隨機回歸方程設定為：對數(shù)變換第137頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四計量經濟模型建立3.擬定模型中待估參數(shù)的理論期望值區(qū)間符號：+大?。?-1之間，兩者之和是否接近于1第138頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四計量經濟模型設定柯布-道格拉斯函數(shù)提供了對現(xiàn)實經濟的合理描述，刻畫了一個反映產出與勞動力和資本投入之間的關系的生產函數(shù)：

C-D生產函數(shù)隨機回歸方程設定為：第139頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四應用舉例一、計量經濟模型的設定二、變量說明與數(shù)據處理三、參數(shù)估計與計量檢驗四、宏觀經濟研究問題

第140頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理（一）數(shù)據來源

1.年鑒《中國統(tǒng)計年鑒》及各地區(qū)統(tǒng)計年鑒《新中國60年統(tǒng)計資料匯編》《中國國內生產總值核算歷史資料（1952~1996）》《中國國內生產總值核算歷史資料（1952~2004）》

專業(yè)年鑒如《中國金融年鑒》、《中國科技統(tǒng)計年鑒》第141頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理2.網絡國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據網頁中國人民銀行統(tǒng)計數(shù)據網頁中國證券監(jiān)督管理委員會統(tǒng)計數(shù)據網頁世界銀行WDI數(shù)據庫聯(lián)合國UNdata數(shù)據庫第142頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理3.共享人大經濟論壇中國經濟學教育科研網新浪愛問經濟學家各大高校網站（如南開大學、山東大學）第143頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理（二）變量說明

1.產出變量國內生產總值(GDP)指按市場價格計算的一個國家(或地區(qū))所有常住單位在一定時期內生產活動的最終成果。在實際核算中，國內生產總值有三種計算方法，即生產法、收入法和支出法。三種方法分別從不同的方面反映國內生產總值及其構成。

第144頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理2.資本變量——物質資本存量支出法國內生產總值中資本形成總額或全社會固定資產投資3.勞動力變量經濟活動人口就業(yè)人員合計第145頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理（三）數(shù)據處理

1.真實GDP

常規(guī)錯誤：國內生產總值指數(shù)是根據兩個時期不變價國內生產總值計算得到，因此將國內生產總值指數(shù)看作是GDP平減指數(shù)。國內生產總值指數(shù)（上年=100）的定義為：第146頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理則GDP平減指數(shù)的環(huán)比指數(shù)公式為：

GDP定基指數(shù)真實GDP=名義GDP除以GDP平減指數(shù)第147頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理2.真實資本存量普遍采用的資本存量的測算方法是永續(xù)盤存法，基本公式為：

《中國統(tǒng)計年鑒》自1991年開始才公布固定資產投資價格指數(shù)資本折舊率的取值

第148頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四變量說明與數(shù)據處理（2）地區(qū)資本存量的估算可以寫作：3.就業(yè)人數(shù)第149頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四應用舉例一、計量經濟模型的設定二、變量說明與數(shù)據處理三、參數(shù)估計與計量檢驗四、宏觀經濟研究問題

第150頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四參數(shù)估計估計結果第151頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四經濟意義檢驗

Lucas（1988）的內生經濟增長理論認為經濟增長是規(guī)模報酬遞增的，規(guī)模報酬遞增來源于人力資本及其外部效應。人力資本的外部效應——社會勞動力的平均人力資本水平——具有核心作用，并且這些效應會從一個人擴散到另一個人，因而會對所有生產要素的生產率都有貢獻，從而使生產呈現(xiàn)出規(guī)模報酬遞增收益，而正是這種源于人力資本外部效應的遞增收益使人力資本成為“增長的發(fā)動機”。第152頁，共166頁，2023年，2月20日，星期四模型修正沿用第一部分的