多項(xiàng)式插值與數(shù)值逼近

多項(xiàng)式插值與數(shù)值逼近第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四

實(shí)際問題中經(jīng)常要涉及到函數(shù)值的計(jì)算問題： （1）如果函數(shù)表達(dá)式本身比較復(fù)雜，且需要多次重復(fù)計(jì)算時，計(jì)算量會很大；（2）有的函數(shù)甚至沒有表達(dá)式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值可能不在該表格中。對于這兩種情況，我們都需要尋找一個計(jì)算方便且表達(dá)簡單的函數(shù)來近似代替，這就是數(shù)值逼近問題。

問題背景第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§1插值問題

/*InterpolationProblem*/（插值的定義）已知定義于區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)在個互異節(jié)點(diǎn)

處的函數(shù)值，若函數(shù)集合中的函數(shù)滿足則稱為在函數(shù)集合中關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一個插值函數(shù)，并稱為被插值函數(shù),[a,b]為插值區(qū)間，為插值節(jié)點(diǎn)，（*）式為插值條件。設(shè)外插法：內(nèi)插法：用計(jì)算被插值函數(shù)在點(diǎn)處的近似值用計(jì)算被插值函數(shù)在點(diǎn)處的近似值第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四插值類型代數(shù)插值：集合為多項(xiàng)式函數(shù)集x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)幾何意義：有理插值：集合為有理分式函數(shù)集三角插值：集合為三角函數(shù)集第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四截斷誤差插值余項(xiàng)設(shè)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間[a,b]上存在,

是滿足插值條件（*）的不超過n次的插值多項(xiàng)式，則對存在，滿足其中。且當(dāng)在區(qū)間[a,b]有上界時，有代數(shù)插值的插值余項(xiàng)/*Remainder*/第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§2代數(shù)插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法一、拉格朗日多項(xiàng)式

/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0

,y0)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四與有關(guān)，而與無關(guān)n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個li(x)

有n

個根x0…

xi-1

、

xi+1…xn-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial節(jié)點(diǎn)f第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四例如也是一個插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。（2）Lagrange插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對稱，形式簡單.（3）誤差估計(jì)注：（1）若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。（4）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時，拉氏基函數(shù)需要重新計(jì)算，

n較大時，計(jì)算量非常大,故常用于理論分析。第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§3埃爾米特插值

/*HermiteInterpolation*/不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)滿足，注：

N

個條件可以確定次多項(xiàng)式。N

1要求在1個節(jié)點(diǎn)x0處直到m0階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式其余項(xiàng)為一般只考慮與的值。第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§4分段插值

/*piecewiseInterpolation*/一、高次插值評述1、從插值余項(xiàng)角度分析為了提高插值精度，一般來說應(yīng)該增加插值節(jié)點(diǎn)的個數(shù)，這從插值余項(xiàng)的表達(dá)式也可以看出，但不能簡單地這樣認(rèn)為，原因有三個：插值余項(xiàng)與節(jié)點(diǎn)的分布有關(guān)；余項(xiàng)公式成立的前提條件是有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（即函數(shù)足夠光滑），但隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)的增加，這個條件一般很難成立；隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)的增加，可能會增大。隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)增加到某個值，誤差反而會增加。第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四注意下面圖中曲線的變化情況！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點(diǎn)附近誤差越大，稱為Runge

現(xiàn)象Ln(x)

f(x)第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、分段插值的構(gòu)造方法將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間（通常取等距劃分）采用低次插值在區(qū)間上得到分段函數(shù)第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四分段線性插值基函數(shù)(1)、分段線性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每個區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式

(直線)逼近

f(x):第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四(2)分段二次插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每個區(qū)間上，用2次多項(xiàng)式

(拋物線)逼近

f(x):分段二次插值基函數(shù)第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四§5三次樣條插值/*CubicSplineInterpolation*/

許多實(shí)際工程技術(shù)中一般對精度要求非常高，（1）要求近似曲線在節(jié)點(diǎn)連續(xù)；（2）要求近似曲線在節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即充分光滑。

分段插值不能保證節(jié)點(diǎn)的光滑性，而Hermite插值需要知道節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，實(shí)際中無法確定。

問題背景第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四一、三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景

在工程技術(shù)和數(shù)學(xué)應(yīng)用中經(jīng)常遇到這樣一類數(shù)據(jù)處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點(diǎn)列，要求用一條光滑曲線把這些點(diǎn)按次序連接起來。........壓鐵彈性木條.數(shù)據(jù)點(diǎn)形象地稱之為樣條曲線第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、三次樣條函數(shù)定義及求法設(shè)在區(qū)間上給定一個分割，定義在上的函數(shù)如果滿足下列條件：(1)在每個小區(qū)間內(nèi)是三次多項(xiàng)式(2)在整個區(qū)間上，為二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，即在每個節(jié)點(diǎn)處則稱為三次樣條函數(shù)第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)現(xiàn)在已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值：如果三次樣條函數(shù)滿足則稱為插值于的三次樣條函數(shù)，簡稱三次樣條插值函數(shù)。如何求