復變函數(shù)與積分變換第一章

復變函數(shù)與積分變換第一章1第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

設G為一平面點集

1)z0為G中任意一點。如果存在z0的一個鄰域，該鄰域內的所有點都屬于G，那么稱z0為G的內點。如果G內的每個點都是它的內點，則稱G為開集.

2)平面上不屬于G的點的全體稱為G的余集，記作GC，開集的余集稱為閉集。3)z0是一點，若在z0的任一鄰域內既有G的內點又有G的外點，則稱z0是G的一個邊界點；G的邊界點的全體稱為G的邊界.4)，若在z0的某一鄰域內除點z0外不含G的點，則稱z0是G的一個孤立點。G的孤立點一定是G的邊界點。5)如果存在一個以點z=0為中心的圓盤包含G，則稱G為有界集，否則稱G為無界集。2第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.12】1)——開集因為對于任意的z0G，z0的鄰域在G中.2)——閉集因為它的余集是開集.

3第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.3.2區(qū)域

當平面點集D滿足下列兩個條件時，則稱為一個區(qū)域：D是一個開集；D是連通的，即D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.區(qū)域就是連通開集。區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域，記作.

因此4第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.13】說出下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域(1)(2)(3)

解：(1)設則所以即

表示右半平面，是一個區(qū)域.因為(2)所以即表示以-2+i為中心，以1為半徑的圓周連同其外部區(qū)域,是一個閉區(qū)域.

5第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四(3)是介于兩射線及之間的一個三角形區(qū)域

6第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.3.3平面曲線

令

平面曲線可以用一對連續(xù)的實變函數(shù)表示

——曲線的參數(shù)方程

則曲線可以用一個方程表示——平面曲線的復數(shù)表示式

除了參數(shù)表示以外，通常還用點z所滿足的關系式表示曲線.例如:表示以z0為中心，以a為半徑的圓周.7第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四設C:z=z(t)(a≤t≤b)為一條連續(xù)曲線，z(a)與z(b)分別稱為C的起點與終點，對于滿足a<t1<b、a≤t2≤b的t1與t2，當t1≠t2而有z(t1)=z(t2)時，點z(t1)稱為曲線C的重點.

沒有重點的連續(xù)曲線C，稱為簡單曲線或Jordan曲線.

如果簡單曲線C的起點與終點重合，即z(a)=z(b)，那么曲線C稱為簡單閉曲線.

若爾當曲線定理

任意一條簡單閉曲線將平面分為兩個區(qū)域。它們都以該曲線為邊界。其中一個為有界區(qū)域，稱為該簡單閉曲線的內部；另一個為無界區(qū)域，稱為外部.8第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四定義

復平面上的一個區(qū)域D，如果在其中任作一條簡單閉曲線，曲線的內部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，一個區(qū)域如果不是單連通區(qū)域，就稱為多(復)連通區(qū)域.

一條簡單閉曲線的內部是單連通區(qū)域.單連通域D的特征：屬于D的任何一條簡單閉曲線，在D內可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點，而多連通區(qū)域不具有這樣的特征.9第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.14】描述下列不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的？單連通還是多連通？2)

1)

3)

解:1)

即化簡得

x>-12)

得由化簡得因此，表示的是橢圓的內部

(包含橢圓)，是有界單連通的閉區(qū)域.因此，表示的是直線x=-1右邊的區(qū)域(不含直線x=-1)，是無界單連通區(qū)域.10第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3)可寫成化簡得

即

因此，表示的是以(2,-1)為圓心，3為半徑的圓周及其內部，這是一個有界單連通閉區(qū)域.11第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.15】求滿足關系式()的點的集合G。若G為一區(qū)域，則指明它是單連通域還是多連通域

解:由，

可知，于是所給的關系式變?yōu)?/p>

即

是一個單連通域

12第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.4無窮大與復球面

§1.4.1無窮遠點

無窮大——記為∞，由下式來定義

無窮大和有限數(shù)的四則運算定義為，

(加法)(減法)(乘法)(除法)()()()()注意:

，，，，都無意義.

13第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四復數(shù)∞的模規(guī)定為+∞，即，而實部、虛部和輻角均沒有意義.其它的每一個復數(shù)z，都有，相比較而言稱z為有限復數(shù).在復平面上沒有一點與∞相對應，但可設想復平面上有一理想點與它對應，此點稱為無窮遠點.

復平面加上無窮遠點稱為擴充復平面.

包括無窮遠點自身在內且滿足(實數(shù)M>0)的所有點的集合，稱為無窮遠點的鄰域

.不包括無窮遠點自身在內，僅滿足的所有點的集合，稱為無窮遠的去心鄰域

.表示為包括無窮遠點自身在內的圓周的外部.

14第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.4.2復球面

可用球面上的點來表示復數(shù)15第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.5復變函數(shù)

§1.5.1復變函數(shù)的定義

定義

設G是一個復數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于集合G中的每一個復數(shù)z，就有一個或幾個復數(shù)w=u+iv與之對應，那么稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù))，記作如果對每個zG，有唯一的w同它對應，則稱w=f(z)為單值函數(shù).否則稱為多值函數(shù)

.集合G稱為f(z)的定義集合，即定義域；對應于G中所有z的一切w值所成的集合G*，稱為函數(shù)值集合，也稱為值域

.16第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四設z=x+iy，則w=f(z)可以寫成其中u(x,y)與v(x,y)為實值函數(shù)一個復變函數(shù)就相當于一對二元實變函數(shù).【例1.16】將定義在全平面除去坐標原點的區(qū)域上的一對二元實變函數(shù)化為一個復變函數(shù)，()解：

記

，則將，，代入上式

經(jīng)整理后得

(z≠0)17第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§1.5.2復變函數(shù)的極限與連續(xù)性

1.函數(shù)的極限定義

設函數(shù)w=f(z)在z0的去心鄰域內有定義，若有確定的復數(shù)A(A≠∞)存在，對于任意給定的>0,總存在一個正數(shù)，使得對滿足(0<)的一切z，都有則稱A為函數(shù)f(z)當z趨于z0時的極限。(當時)或記作18第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四注意：定義中z趨于z0的方式是任意的.即:無論z從什么方向,以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個常數(shù)A.

定理一

設函數(shù)

則

,,的充要條件是

,關于含∞的極限可作如下定義(為有限復數(shù))（定理的證明略）19第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四定理二

如果

,那么1)2)3)20第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.17】證明函數(shù)當時的極限不存在[證]令則由此得

令z沿直線y=kx趨于零，則有顯然，它隨k的不同而不同，所以不存在雖然，但根據(jù)定理一，不存在

21第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四【例1.18】問函數(shù)在z=0有無極限？解：f(z)的定義域是全平面除去z=0的區(qū)域當z≠0時，設，則考慮從z=0出發(fā)方向角為0的射線l0

，有顯然，對于不同的0，上述極限不同.所以，在z=0，f(z)不存在極限.22第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2.函數(shù)的連續(xù)性

定義

如果成立，則稱f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D中的每一點連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D內連續(xù).

定理三

函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

.例如:函數(shù)在復平面內除原點外處處連續(xù).因為除原點外是處處連續(xù)的，而在復平面內是處處連續(xù)的.由定理二和定理三，還可推得下面的定理四.23第23頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四定理四