多重比較方差檢驗

多重比較方差檢驗第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四由于，故由此給出i-j的置信水平為1-的置信區(qū)間為

(8.2.1)其中是2的無偏估計。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里2的估計使用了全部樣本而不僅僅是兩個水平Ai,Aj下的觀測值。第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例8.2.1

繼續(xù)例8.1.2，，fe=21，?。?.05

，則t1-/2(fe)=t0.975(21)=2.0796，于是可算出各個置信區(qū)間為

可見第一個區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認為1

小于2，其它二個區(qū)間包含0點，雖然從點估計角度看水平均值估計有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。

第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四8.2.2多重比較問題對每一組(i,j)，(8.2.1)給出的區(qū)間的置信水平都是1

，但對多個這樣的區(qū)間，要求其同時成立，其聯(lián)合置信水平就不再是1了。

第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四譬如，設(shè)E1,…,Ek是k個隨機事件，且有

P(Ei)=1，i=1,…,k

，則其同時發(fā)生的概率這說明它們同時發(fā)生的概率可能比1小很多。為了使它們同時發(fā)生的概率不低于1，一個辦法是把每個事件發(fā)生的概率提高到1/k.這將導(dǎo)致每個置信區(qū)間過長，聯(lián)合置信區(qū)間的精度很差，一般人們不采用這種方法。

第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四在方差分析中，如果經(jīng)過F檢驗拒絕原假設(shè)，表明因子A是顯著的，即r個水平對應(yīng)的水平均值不全相等，此時，我們還需要進一步確認哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。同時比較任意兩個水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時檢驗如下r(r1)/2個假設(shè)：（8.2.2）

第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四直觀地看，當H0ij成立時，不應(yīng)過大，因此，關(guān)于假設(shè)(8.2.2)的拒絕域應(yīng)有如下形式諸臨界值應(yīng)在（8.2.2）成立時由P(W)=確定。下面分重復(fù)數(shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。

第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

8.2.3重復(fù)數(shù)相等場合的T法

在重復(fù)數(shù)相等時，由對稱性自然可以要求諸cij相等，記為c.記，則由給定條件不難有

第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四于是當(8.2.2)成立時，1==r=，可推出其中，稱為t化極差統(tǒng)計量，其分布可由隨機模擬方法得到。于是,其中q1(r,fe)表示q(r,fe)的1分位數(shù)，其值在附表8中給出。第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四重復(fù)數(shù)相同時多重比較可總結(jié)如下：對給定的的顯著性水平，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計算，比較諸與c的大小，若則認為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認為水平Ai與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。

第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

例8.2.2

繼續(xù)例8.1.2，若取

=0.05，則查表知q1-0.05(3,21)=3.57，而。所以，認為1與2有顯著差別，認為1與3無顯著差別，認為2與3有顯著差別這說明：1與3之間無顯著差別，而它們與2之間都有顯著差異。第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四8.2.4重復(fù)數(shù)不等場合的S法在重復(fù)數(shù)不等時，若假設(shè)(8.2.2)成立，則或從而可以要求，在此要求下可推出第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四可以證明，從而亦即第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

例8.2.3

在例8.1.4中，我們指出包裝方式對食品銷量有明顯的影響，此處r=4,fe=6,

，若取

=0.05，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1=m4=2，m2=m3=3，故第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四由于這說明A1,A2,

A3間無顯著差異，A1,A2與A4有顯著差異，但A4與A3的差異卻尚未達到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。

第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四P3873、4第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四Bonferroni法SNK法Tukey法第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四§8.3方差齊性檢驗

在進行方差分析時要求r個方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當正態(tài)性假定不滿足時對F檢驗影響較小,即F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感。所以r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。所謂方差齊性檢驗是對如下一對假設(shè)作出檢驗：（8.3.1）

第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四很多統(tǒng)計學(xué)家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是：

Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等的場合；

Bartlett檢驗，可用于樣本量相等或不等的場合，但是每個樣本量不得低于5；

修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較大、相等或不等場合均可使用。

第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四8.3.1Hartley檢驗

當各水平下試驗重復(fù)次數(shù)相等時，即m1=m2==mr=m,Hartley提出檢驗方差相等的檢驗統(tǒng)計量：（8.3.2）這個統(tǒng)計量的分布無明顯的表達式，但在諸方差相等條件下，可通過隨機模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r

和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H(r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。

第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四直觀上看，當H0成立，即諸方差相等（12=22==r2）時，H的值應(yīng)接近于1，當H的值較大時，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時應(yīng)拒絕(8.3.1)中的H0。由此可知，對給定的顯著性水平，檢驗H0的拒絕域為

W={H>H1(r,f)}

（8.3.3）其中H1(r,f)為H分布的1分位數(shù)。

第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

例8.3.1

有四種不同牌號的鐵銹防護劑（簡稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。這是一個重復(fù)次數(shù)相等的單因子試驗。我們考慮用方差分析方法對之進行比較分析，為此，首先要進行方差齊性檢驗。第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四本例中，四個樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即由此可得統(tǒng)計量H的值

在

=0.05時，由附表10查得H0.95(4,9)=6.31，由于H<6.31，所以應(yīng)該保留原假設(shè)H0，即認為四個總體方差間無顯著差異。

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四8.3.2Bartlett檢驗

在單因子方差分析中有r個樣本，設(shè)第i個樣本方差為：由于幾何平均數(shù)總不會超過算術(shù)平均數(shù)，故有GMSe≤MSe

,其中

等號成立當且僅當諸si2彼此相等，若諸si2間的差異愈大，則此兩個平均值相差也愈大。

第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四由此可見，在比值GMSe/MSe較大時，就意味著諸樣本方差差異較大，從而檢驗（8.3.1）表示的一對假設(shè)的拒絕域應(yīng)是

W={lnGMSe/MSe>>d}（8.3.4）

Bartlett證明了，檢驗的拒絕域為

W={B>1-2(r-1)}（8.3.8）考慮到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時使用上述檢驗是適當?shù)摹?/p>

第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

例8.3.2

為研究各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異，特選四個產(chǎn)地綠茶，其中A1制作了7個樣品，A2制作了5個樣品，A3與A4各制作了6個樣品，共有24個樣品，按隨機次序測試其葉酸含量，測試結(jié)果如表8.3.3所示。

第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四為能進行方差分析，首先要進行方差齊性檢驗，從表8.3.3中數(shù)據(jù)可求得s12=2.14,s22=2.83,s32=2.41,s42=1.12，再從表8.3.4上查得MSe=2.09，由(8.3.6)，可求得

再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗統(tǒng)計量的值對給定的顯著性水平

=0.05，查表知0.952(41)=7.815。由于B<7.815，故應(yīng)保留原假設(shè)H0，即可認為諸水平下的方差間無顯著差異。

第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四8.3.3修正的Bartlett檢驗

針對樣本量低于5時不能使用Bartlett檢驗的缺點，Box提出修正的Bartlett檢驗統(tǒng)計量

（8.3.9）其中B與C如（8.3.7）與（8.3.6）所示，且第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四在原假設(shè)H0：12=22==r2成立下，Box還證明了統(tǒng)計量的近似分布是F分布