課外數(shù)學(xué)小知識(shí)：公理化和形式化

第頁(yè)課外數(shù)學(xué)小知識(shí)：公理化和形式化不光愉快的過學(xué)期,也要面對(duì)一件重要的事情那就是學(xué)習(xí)。查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為大家提供了課外數(shù)學(xué)小知識(shí),希望對(duì)大家有所幫助。研究演繹科學(xué)理論和構(gòu)造演繹系統(tǒng)的兩種方法。它們被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代邏輯和數(shù)學(xué)研究中。公理化把一個(gè)科學(xué)理論公理化,就是用公理方法研究它,建立一個(gè)公理系統(tǒng)。每一科學(xué)理論都是由一系列的概念和命題組成的體系,公理化的實(shí)現(xiàn)就是：①?gòu)乃闹T多概念中挑選出一組初始概念,即不加定義的概念,該理論中的其余概念,都由初始概念通過定義引入,即都用初始概念定義,稱為導(dǎo)出概念;②從它的一系列命題中挑選出一組公理,即不加證明的命題,而其余的命題,都應(yīng)用邏輯規(guī)那么從公理推演出來,稱為定理。應(yīng)用邏輯規(guī)那么從公理推演定理的過程稱為一個(gè)證明,每一定理都是經(jīng)由證明而予以肯定的。由初始概念、導(dǎo)出概念、公理以及定理構(gòu)成的演繹體系,稱為公理系統(tǒng)。其中,初始概念和公理是公理系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)。公理方法經(jīng)歷了從古代的實(shí)質(zhì)公理學(xué)到現(xiàn)代的形式公理學(xué)的開展過程。公理系統(tǒng)相應(yīng)地區(qū)分為古典公理系統(tǒng)、現(xiàn)代公理系統(tǒng)或稱形式公理系統(tǒng)。最有代表性的古典公理系統(tǒng)是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在?幾何原本?一書中建立的。第一個(gè)現(xiàn)代公理系統(tǒng)是D.希爾伯特于1899年提出的。他在?幾何根底?一書中,不僅建立了歐幾里得幾何的形式公理系統(tǒng),而且也解決了公理方法的一些邏輯理論問題。古典公理系統(tǒng)的對(duì)象域即公理系統(tǒng)所研究的對(duì)象,是先于公理而給定的,概念是對(duì)象的反映,公理那么反映對(duì)這些對(duì)象的認(rèn)識(shí),表達(dá)這類對(duì)象的重要性質(zhì)和關(guān)系。古典公理系統(tǒng)的初始概念和公理都有直觀的具體內(nèi)容,而系統(tǒng)的公理和定理是關(guān)于這對(duì)象域的真命題。從認(rèn)識(shí)的開展來看,現(xiàn)代形式公理系統(tǒng)雖然一般也是從某種直觀理論得到的,并且通常有預(yù)先想到的解釋。但是,系統(tǒng)自身并不給初始概念予直觀的具體內(nèi)容,它們的意義完全由公理規(guī)定,對(duì)初始概念和公理可以給予不同的解釋,可以刻劃多個(gè)不同的對(duì)象域,即有多個(gè)不同的對(duì)象域都可以使得一個(gè)公理系統(tǒng)的公理和定理為真,它們?cè)诓煌慕忉屜鲁蔀椴煌瑢?duì)象域的真命題。公理系統(tǒng)要滿足某些一般要求,包括系統(tǒng)的一致性、完全性和范疇性,以及公理的獨(dú)立性。其中一致性是最重要的,其他幾個(gè)性質(zhì)那么不是每個(gè)公理系統(tǒng)都能滿足的,或可以不必一定要求的。形式化公理系統(tǒng)的進(jìn)一步形式化不僅可以有不同的解釋,而且需要應(yīng)用專門設(shè)計(jì)的人工符號(hào)語言,使一個(gè)理論更為精確化和嚴(yán)格化,也就是運(yùn)用人工的表意符號(hào)語言陳述所要形式化的理論。這種人工語言稱為形式語言。把一個(gè)理論形式化就是把理論中的概念轉(zhuǎn)換為形式語言中的符號(hào),命題轉(zhuǎn)換為符號(hào)公式,定理的推演轉(zhuǎn)換成符號(hào)公式的變形,并把一個(gè)證明轉(zhuǎn)換成符號(hào)公式的有窮序列。形式語言的符號(hào)和它們所表示的概念之間的對(duì)應(yīng)是確定的,符號(hào)公式的結(jié)構(gòu)反映它們的意見。把一個(gè)理論形式化后,就可以暫時(shí)完全撇開原來理論中的概念、命題的意義,而只從語言符號(hào)、公式結(jié)構(gòu)(符號(hào)組合的形狀)方面研究。意義是抽象的,往往不容易精確理解和掌握。而符號(hào)和公式是有窮的具體的對(duì)象,能夠?qū)ζ渥鞲_、