浙江理工大學(xué)2023

本文格式為Word版，下載可任意編輯——浙江理工大學(xué)2023座位號(hào)考試時(shí)間浙江理工大學(xué)2023—2023學(xué)年其次學(xué)期(11級(jí))

《線性代數(shù)A》期末試卷（A）卷

本人莊重承諾：本人已閱讀并且透徹地理解《浙江理工大學(xué)考場(chǎng)規(guī)則》，愿意在考試中自覺遵守這些規(guī)定，保證按規(guī)定的程序和要求參與考試，如有違反，自愿按《浙江理工大學(xué)學(xué)生違紀(jì)處分規(guī)定》有關(guān)條款接受處理。

承諾人簽名：學(xué)號(hào)：班級(jí)：

題號(hào)得分一二三四總分一、選擇題（每題4分，共24分）

1.設(shè)A、B為n階矩陣，且AB?0，則下面必成立的是（）。.（A）A?0或B?0（B）A?B?0（C）A?0或B?0（D）A?B?0

2.已知向量組?1，。?2，?3，?4線性無關(guān)，則以下向量組相性無關(guān)的是（）（A）?1??2，?2??3，?3??4，?4??1（B）?1-?2，?2-?3，?3-?4，?4-?1（C）?1??2，?2??3，?3??4，?4-?1（D）?1??2，?2??3，?3-?4，?4-?1

3.設(shè)A是m?n矩陣，齊次線性方程組Ax?0僅有零解的充分必要條件是（）.（A）A的列向量組相性無關(guān)（B）A的列向量組相性相關(guān)（C）A的行向量組相性無關(guān)（D）A的行向量組相性相關(guān)

4.若n階可逆陣A的一個(gè)特征值為?，則它的伴隨矩陣A必有一個(gè)特征值（）.

?（A）??1A（B）??1A（C）?A（D）?A

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5．若A，B均為n階方陣，且A,B相像，E為n階單位矩陣，則（）.（A）?E?A??E?B；（B）A，B有一致的特征值和特征向量；（C）A，B相像于同一個(gè)對(duì)角陣；（D）對(duì)于任意的t，tE?A和tE?B相像。

2226.二次型f(x1,x2,x3)?ax1為正定二次型，則（）.?bx2?2cx1x3?ax3（A）a?0,b?0,c?a（B）a?0,b?0,a?c（C）a?0,b?0,a?c（D）a?0,b?0,a?c二、填空題（每題4分，共24分）

1.設(shè)?1,?2,?3,?1,?2是四維列向量，且?1,?2,?3,?1?m，

?2,?1,?2,?3?n，

則?1,?1??2,?2,?3?__________.

2.矩陣A為3階方陣，且A?1?1?，則?3A??2A?_________。2?1?2?3.設(shè)方陣A??2a????4?24.向量組???7?4??500???相像，則

?2?與對(duì)角陣??0b0a?_____，b?______。????1???00?4??TTTT-2k?,?1??235?,?2??378?,?3??1-61?,若

?可由?1，?2，?3線性表示，則k?_____。

?2?12?T?a3?5.若???11-1?是矩陣A??5?的一個(gè)特征向量，則?對(duì)應(yīng)的特征值

???1b-2???=_____，a=______，b?______。

?1??1???6.若矩陣A??12是正定矩陣，則??______。?????125??三、計(jì)算題（共42分）

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?100??011?????1.（5分）已知矩陣A??110?，B??101??111??110?????AXA?BXB?AXB?BXA?E，這里E為三階單位，求X.

.矩陣X滿足

2.（6分）求向量組α1??1-203?，α2??2-5-36?，α2??0130?，

TTTα4??2?147?，的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其他向量用這個(gè)極大無關(guān)組線性表

示.

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???3.（10分）a,b為何值時(shí)非齊次線性方程組????x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1

（1）有唯一解；（2）無解；(3)有無數(shù)多個(gè)解.并且在方程組有無數(shù)多個(gè)解時(shí)，用該方程組的一個(gè)特解及對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示其通解.

4.（11分）已知二次型f(xx2221,2,x3)?xTAx?ax1?2x2?2x3?2bx2x3二次型矩陣A的特征值之和等于1，特征值的積等于-12；（1）求a,b的值；

（2）用正交變換把f化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出相應(yīng)的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

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(b?0)，其中

5.（10分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2，?1??2?6是A的二重特征值，且向量

?1??2???1???????ξ1??1?,ξ2??1?,ξ3??2?,均為A的屬于特征值6的特征向量，

?0??1???3???????（1）求A的另一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；（2）求矩陣A.

四、證明題（6+4=10分）

1.設(shè)A與B為n階方矩陣，若AB?0，則R(A)?R(B)?n.

B均為n階正交矩陣，證明：AB也為正交矩陣.2.設(shè)A，

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浙江理工大學(xué)2023—2023學(xué)年其次學(xué)期(11級(jí))

《線性代數(shù)A》期末試卷（B）卷答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

三、選擇題（每題4分，共24分）1.C2.C3.A4.B5．D6.C二、填空題（每題4分，共24分）1.m?n2.?164b?5.4.15。3.a?4，5.?=?1，b?0.6.-???0a=?3，

275三、計(jì)算題（共42分）

2.（5分）解：由AXA?BXB?AXB?BXA?E，得(A?B)X(A?B)?E………1分

?1?1?1???由于A?B?01?1可知A?B?1?0所以A?B可逆………2分????001??且(A?B)?1?112??………3分可得X?(A?B)?1??011????001????2?125??………5分

??012????001??2．（6分）解：對(duì)A施行初等行變換變成行最簡(jiǎn)形，

?12?-2-5A???0-3??3601302??1?0-1?r??????04???7??0020?1-10??………3分001??000?所以R(A)?3，A的前三列α1,α2,α4是A的列向量組的最大無關(guān)組，………5分

且α3?2α1?α2，………6分

3.（10分）解：用初等行變換將增廣矩陣A化成階梯型為

~?1?0~A??A?b????0??311?1212a?3112?2a0??1?01????b??0???1??01110?1221??………4分由階梯型矩陣0a?10b?1??00a?10?第6頁共9頁

（1）當(dāng)a??1時(shí)，RA?R?A??4，此時(shí)方程組有唯一解；………6分

（2）當(dāng)a?1但b??1時(shí)，R(A)?3，R(A)?2，故此時(shí)方程組無解；……7分（3）當(dāng)a?1但b??1時(shí)，RA?R?A??2?4故此時(shí)方程組有無窮多組解。此時(shí)

增廣矩陣可以進(jìn)一步化為

?~?~?~??1?~?0A??0??00-1-1-1?x1??1?x3?x41221??，由此得方程組的解為?，??0000?x2?1?2x3?2x4?0000??x3,x4為自由未知量?。………9分

?x1???1??1??1??x?????2???2?12即方程組的解為：x???????k1???k2??k1,k2為任意常數(shù)?！?0分

?x3??0??1??0?????????00x???1??4????a0b???………1分

4.（11分）解：（1）二次型的矩陣為A?020????b0?2??設(shè)A的特征值為?1,?2,?3，則由題意得

?1??2??3?1?a?2?(?2)

a0b?1?2?3??12?020b0?2??4a?2b2因此有a?1,b?2………3分;

?-10?22(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式0??20?(??2)???3?;

?20??2得矩陣A的特征值為?1??2?2，?,3?-3………5分

?2??0?????當(dāng)?1??2?2時(shí)，解方程組(2E-A)X?0，得基礎(chǔ)解系?11??0?，?12??1?.

?1??0?????第7頁共9頁

當(dāng)?3?3時(shí)，解方程組(3E?A)X?0，得基礎(chǔ)解系?21?1?????0?………7分??2???由于?11，?12，?21已經(jīng)是正交向量組，只需將其單位化可得

?2??1?????0???5??5????1??0?，?2??1?，?3??0?………9分

?2??1??0????????-????5??5?則U???1?2?3?為正交矩陣，在正交變換x?Uy下有

?200??且二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為

UTAU??020f?2y1?2y2?3y3………11分

????00?3??5.（10分）解：（1）由于A的秩為2，所以有A?0設(shè)另一個(gè)特征值為?3，

?c1???則?3?0………2分設(shè)對(duì)應(yīng)于?3?0的一個(gè)特征向量為p??c2?，

?c??3?由于?1??2?6是A的二重特征值，則屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量只有兩個(gè)，設(shè)

?1,?2為屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量。

由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則p與?1,?2均正交，即??0?c1?c2，其基礎(chǔ)解系為

?2c1?c2?c3?0??1???ξ3??1?,k?0………4分，

?1?????1???所以對(duì)應(yīng)于?3?0的特征向量是k?3?k?1?.………5分

?1????600????1（2）取P?(?1,?2,?3)，則PAP??060?.………6分

?000???第8頁共9頁

則P?1????01?1??112?………8分????333??111????3??332??600??42???1??所以，A?P?060?P??24?2?.………10分

?000??2?24?????四、證明題（6+4=10分）1.證：分兩種狀況：

（1）A?0，則R(A)?0，此時(shí)有R(A)?R(B)?R(B)?n………2分（2）A?0，有已知AB?0可知：

矩陣B的列向量?1,?2,?,?n中每一個(gè)向量均為方程組AX?0的解向量?！?分若R(A)?n，則方程組AX?0僅有零解，即?1??2????n?0，也就是說B?0，此時(shí)R(A)?R(B)?n………