9年級(jí)上學(xué)期第一章第一節(jié)學(xué)案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——9年級(jí)上學(xué)期第一章第一節(jié)學(xué)案教師寄語(yǔ)：良好的開(kāi)端是成功的一半姓名：

1.1.1全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解證明三角形全等的幾條公理的內(nèi)容，把握證明的基本步驟步驟和書(shū)寫(xiě)格式.

2、經(jīng)歷“摸索發(fā)現(xiàn)猜想證明〞的過(guò)程，能夠用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：1、基礎(chǔ)概念

命題：

B真命題：

假命題：公理：2、列舉我們已知道的公理：、

（1）公理：同位角，兩直線(xiàn)平行.

（2）公理：兩直線(xiàn)，同位角.（3）公理：的兩個(gè)三角形全等.（SAS)（4）公理：的兩個(gè)三角形全等.（ASA)（5）公理：的兩個(gè)三角形全等.（SSS)（6）公理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角.(注：1.等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理.2.一個(gè)命題是假命題，可以用方式來(lái)說(shuō)明.)二、自主學(xué)習(xí)：用所學(xué)知識(shí)證明：1、推論：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（AAS）

2、定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（等邊對(duì)等角）

思考：（1）、還有其他的證明方法嗎？

(2)、線(xiàn)段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此可以得到：三、隨堂練習(xí)

1、證明：等邊三角形的三個(gè)角都想等，并且每個(gè)角都等于600

.

2、如圖,在三角形ABD中,C是BD上的一點(diǎn),且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1)求證:△ABD是等腰三角形

1(2)求∠ABD的度數(shù).

A

3、在△ABC中，DAD是角平分線(xiàn),DE⊥AB,DF⊥BC試猜想C

，

DE與DF之間有什么關(guān)系?并證明你的猜想.

三、歸納總結(jié)：1、我的收獲？2、我不明白的問(wèn)題？

四、穩(wěn)定訓(xùn)練：

1、以下各組幾何圖形中，一定全等的是（）

A、各有一個(gè)角是550

的兩個(gè)等腰三角形；B、兩個(gè)等邊三角形；C、腰長(zhǎng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形；D、

頂角是500

，腰長(zhǎng)都為6cm的兩個(gè)等腰三角形.2、如圖，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一個(gè)條件，以下條件中，哪一個(gè)不能使

△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.

（2題圖）（6題圖）

3、假使等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于500

則其余兩角的度數(shù)為.4、（1）假使等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為5，則它的周長(zhǎng)為.（2）等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為.

5、△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為.6、如圖，已知D、E在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE

學(xué)習(xí)筆記：

家庭作業(yè)：

一．填空題

1．在等腰三角形中頂角為40°時(shí)底角等于_________，一個(gè)底角為50°，則頂角等于_________；2．由在同一三角形中“等角對(duì)等邊〞“等邊對(duì)等角〞兩個(gè)定理我們可以聯(lián)想到大邊對(duì)_______，大角對(duì)_____；

3．等腰三角形的兩邊分別是7cm和3cm，則周長(zhǎng)為_(kāi)___；4．一個(gè)等邊三角形的角平分線(xiàn)、高、中線(xiàn)“三線(xiàn)〞_________，也是等邊三角形的軸；

5．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為23，周長(zhǎng)為43+7，則此等腰

三角形的腰長(zhǎng)為_(kāi)________；

6．等邊三角形兩條中線(xiàn)相交所成的銳角的度數(shù)為_(kāi)___；

7．如圖1，D在A(yíng)C上，且AB=BD=DC，∠C=40°，

則∠A=_________，∠ABD=_________；

8．如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在A(yíng)B上，且AD=AC，若∠A=40°，

則∠ACD=_________，∠DCB=_________，若∠A=?，則∠BCD

=_________，由此我們可得出∠BCD與∠A的關(guān)系是∠

BCD=_________；

AA

D圖1圖2

BCDCB19．△ABC中，若∠A=∠B=2∠C，則此三角形為_(kāi)____三角形；

10．Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

點(diǎn)D到AB的距離是3.8cm，則BC=________cm；

11．△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE是斜

邊上的中線(xiàn)，若DB=4，則AB=_____，BC=______；二．選擇題

12．給出以下命題，正確的（）

①等腰三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高重合；②等腰三角形兩

腰上的高相等；③等腰三角形最小邊是底邊；④等邊三角形

的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

13．若等腰△ABC的頂角為∠A，底角為∠B=?，則?的取值

范圍是（）

（A）?＜45°（B）?＜90°

（C）0°＜?＜90°（D）90°＜?＜180°

14．以下命題，正確的有（）①三角形的一條中線(xiàn)必平分

該三角形的面積；②直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于另一

邊的一半；③有一邊相等的兩個(gè)等邊三角形全等；④等腰三角

形底邊上的高把原三角形分成兩個(gè)全等的三角形

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

15．若三角形的一邊等于另一邊的一半，那么這邊所對(duì)的角度

為（）

（A）30°（B）45°（C）60°（D）無(wú)法確定

16．假使三角形一邊的中線(xiàn)和這邊上的高重合，則這個(gè)三角形

是（）

（A）等邊三角形（B）等腰三角形

（C）銳角三角形（D）鈍角三角形

17．△ABC中，AB=AC，CD是△ABC的角平分線(xiàn)，延長(zhǎng)BA

到E使DE=DC，連結(jié)EC，若∠E=51°，則∠B等于（）（A）60°（B）52°（C）51°（D）78°

2

18．在△ABC中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于D點(diǎn)，AB=a，則BD的長(zhǎng)為（）

aaa（A）2（B）3（C）4（D）以上都

不對(duì)

19．在直角三角形中，一條邊長(zhǎng)為a，另一條邊長(zhǎng)為2a，那么它的三個(gè)內(nèi)角的比為（）（A）1∶2∶3（B）2∶2∶1（C）1∶1∶2（D）以上都不對(duì)三．解答題20．如圖3，在A(yíng)B=AC的△ABC中，D點(diǎn)在A(yíng)C邊上，使BD=BC，E點(diǎn)在A(yíng)B邊上，使AD=DE=EB，求∠EDB；A圖3EDBC21．如圖4，AB=CD，AD=BC，EF經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)O，分別交AB和CD于E、F，求證：OE=OF；

DFC

圖4423A1B

E

22.等腰三角形△ABC,AB=AC,DE⊥AC,DF⊥AB,CH⊥AB摸索DE、DF、CH的關(guān)系?1.1.2等腰三角形判定及反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能夠證明等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其定理進(jìn)行證明.

教師寄語(yǔ)：良好的開(kāi)端是成功的一半姓名：

2、結(jié)合實(shí)例體會(huì)反證法的含義.法與以前的證明方法一致嗎？若不同應(yīng)稱(chēng)為什么方學(xué)習(xí)過(guò)程：法？一、課前準(zhǔn)備：1、等腰三角形的基本性質(zhì)是什么？

0

2、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70，則頂角為.反證法解題步驟：

0

3、等腰三角形的一個(gè)外角為100，則其頂角為.二、自主學(xué)習(xí)：1、在等腰三角形中作出一些相等的線(xiàn)段（角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線(xiàn)段嗎？你能證明你的結(jié)論例題,如何證明這個(gè)結(jié)論:假使a1,a2,a3,a4,a5都是嗎？

正數(shù),且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個(gè)數(shù)

12、等腰三角形的兩底的角平分線(xiàn)相等嗎？怎樣證明.中至少有一個(gè)大于或等于.5已知：

求證：

證明：

四、歸納總結(jié)：1、我的收獲？

2、我不明白的問(wèn)題？

五、穩(wěn)定練習(xí)：

1、已知：如圖，AB=AC,AD=BD=CD，DE⊥AB則圖中等

腰直角三角形共有（）

（A）3個(gè);(B)4個(gè);（C）5個(gè);（D）6個(gè)得出定理：.

0

2、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120,D、問(wèn)題：等腰三角形兩條腰上的中線(xiàn)相等嗎？高呢？還有其他的

E是BC上兩點(diǎn)，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是結(jié)論嗎？請(qǐng)你證明它們，并與同伴交流.

三角形.

1題圖2題圖3題圖

3、如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交與

點(diǎn)O，若AB=12，AC=18，BC=24，則△BCD的周長(zhǎng)為

（）

（A）.30;(B).36;（C）.39;（D）.42.

0

4、在△ABC中，AB=AC,∠A=36,DE、CE是三角形的三、合作交流；

平分線(xiàn)且交于點(diǎn)O，則圖中共有個(gè)等腰三角1、請(qǐng)同學(xué)們閱讀P7的問(wèn)題（1）、（2），由此得到什么結(jié)論？

形.

5、如圖：下午14：00時(shí)，一條船從處出發(fā)，以28

海里/小時(shí)的速度，向正北航行，16：00時(shí)，輪船到

0

達(dá)B處,從A處測(cè)得燈塔C在北偏西28,從B處測(cè)得2、我們知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等，反過(guò)來(lái)此命題成立

0

燈塔C在北偏西56,求B處到燈塔C的距離.嗎？并與同伴交流，由此得到什么結(jié)論？

得出定理：；

簡(jiǎn)稱(chēng)：.

4題圖5題圖

6.用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直

角.3、請(qǐng)同學(xué)們閱讀P7“想一想〞，這一結(jié)論成立嗎？你能證明

嗎？

家庭作業(yè)：若不會(huì)證明，請(qǐng)看P8小明是怎樣證明的，這種證明問(wèn)題的方

3

1.△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD是∠B的平分線(xiàn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；

2.如圖1-6，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、CA上的點(diǎn)，且BD=CE,AD、BE相交于點(diǎn)P.則∠APE=°.3.如圖1-7，△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=30°,則∠EDC的度數(shù)為（）；

A.10°B.12.5°C.15°D.18°

AA

E4.如

AD圖1-8，△PAB與△PPDCPBEDCBBC是兩個(gè)全等DC且PA圖⊥1-6的等圖1-8邊三角形，PD,有以下四圖1-7個(gè)結(jié)論：①∠PBC=15°；②A(yíng)D∥BC；③直線(xiàn)PC與AB垂直；④四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5.以下能證明△ABC為等腰三角形的是（）A.∠A=30°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=10，周長(zhǎng)為106.用反證法證明命題：“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°〞時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)假設(shè)這個(gè)三角形中（）

Ａ．有一個(gè)內(nèi)角大于60°Ｂ．有一個(gè)內(nèi)角小于60°Ｃ.每一個(gè)內(nèi)角都大于60°Ｄ．每一個(gè)內(nèi)角都小于60°7.如圖，已知直線(xiàn)PQ⊥MN于點(diǎn)O，點(diǎn)A,B分別在8.9.

10.D如圖1-9，C是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，在A(yíng)B的同

側(cè)

E作等邊△ACD和等邊△CBE.F、G分別是FGAE、BD的中點(diǎn).AB求證：△CFG是等邊三角形.

C圖1-94

11.設(shè)P為等邊△ABC所在平面上的一點(diǎn)，試找出訪(fǎng)△PAB、△PBC、△PCA均為等腰三角形的所有符合條件的點(diǎn)P.

12.用反證法證明：兩條直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn).13.14.

1.1.3等邊三角形判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、把握“等邊三角形判定〞及“300

角的直角三角形的性質(zhì)〞的推論，會(huì)用上述結(jié)論進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證

教師寄語(yǔ)：良好的開(kāi)端是成功的一半姓名：

明.

2、將摸索、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性和嚴(yán)謹(jǐn)性協(xié)調(diào)發(fā)展.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、預(yù)習(xí)：

1.的三角形叫做等邊三角形.

2.已知△ABC中，AB=AC=5cm，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件使它變?yōu)榈冗吶切?

二、自主學(xué)習(xí)：

3、一個(gè)等腰三角形滿(mǎn)足什么條件時(shí)便成了等邊三角形？

4、有一個(gè)角是600

的等腰三角形是等邊三角形嗎？試著證明你的結(jié)論.

得出判定定理：有一個(gè)角是的三角形是等邊三角形.

穩(wěn)定練習(xí)1，證明判定定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

4.利用刻度尺兩測(cè)量一下含300

角的三角板的斜邊和較短的直角邊，與同伴比較結(jié)果，交流它們之間關(guān)系.

三、合作交流；

做一做：用兩個(gè)含300

角的三角板，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

根據(jù)操作，思考：在直角三角形中，300

角所對(duì)直角邊與斜邊有什么關(guān)系？并試著證明.

得出定理：在直角三角形中，300

角所對(duì)直角邊等于斜邊的.

四、歸納總結(jié)：1、我的收獲？2、我不明白的問(wèn)題？

四、當(dāng)堂訓(xùn)練：1、判斷：

（1）在直角三角形中，直角邊是斜邊的一半.（）

（2）有一個(gè)角是600

的三角形是等邊三角形.（）

5

2.等腰三角形的底邊為150

，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高.

課后訓(xùn)練：

1、等腰三角形的底邊等于15，腰長(zhǎng)為20，則這個(gè)三角形腰上的高是.

2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900,∠A=300

,CD⊥AB,BD=1,則AB=.

2題圖4題圖

3、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200

,D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC,則AE:EC=.

4、如圖，在Rt△ABC中，∠C=900

,沿B點(diǎn)的一條直線(xiàn)BE折疊△ABC，使點(diǎn)C恰好落在A(yíng)B的中點(diǎn)D處，則∠A=.

5、在Rt△ABC中，∠C=300，∠A=900

,AD⊥BC,你能看出BD與BC的大小關(guān)系嗎？

6.已知：如圖，△ABC中，BC⊥AC,DE⊥AC，點(diǎn)D是

AB的中點(diǎn)，∠A=300

，DE=1.8，AB=.

家庭作業(yè)：

1.已知，如右圖，等腰△ABC，AB=AC：

（1）若AB=BC，則△ABC為_(kāi)_________三角形；

（2）若∠A=60°，則△ABC為_(kāi)_________三角形；（3）若∠B=60°，則△ABC為_(kāi)_________三角形.2.底與腰不等的等腰三角形有__________條對(duì)稱(chēng)軸，等邊三角形有__________條對(duì)稱(chēng)軸.

3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E，假使AB=8cm，則BD=__________cm，∠BDE=__________,BE=__________cm.

4.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，則AB=__________cm.

是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④12.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB與邊面內(nèi)作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC當(dāng)邊作等邊△DCE，B、E在C、D的同側(cè)，若AB=2，求BE的長(zhǎng).

3題圖4題圖

5.△ABC中，∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)度是6.以下說(shuō)法不正確的是（）

A.等邊三角形只有一條對(duì)稱(chēng)軸B.等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)

C.線(xiàn)段AB只有一條對(duì)稱(chēng)軸D.等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是底邊上的高所在的直線(xiàn)

7.以下命題不正確的是（）

A.等腰三角形的底角不能是鈍角B.等腰三角形不能是直角三角形

C.一個(gè)三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，那么它一定是等邊三角形

D.兩個(gè)全等的且有一個(gè)銳角為30°的直角三角形可以拼成一個(gè)等邊三角形

8.已知點(diǎn)D為△ABC邊BC的中點(diǎn)，且AD?AC，∠BAD=30?,以下結(jié)論正確的是（）A.AD=

13.△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AD?AC交BC于點(diǎn)D,求證：BC=3AD

14.如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC，∠A=60°.過(guò)點(diǎn)D作DE?AB,過(guò)點(diǎn)C作CF?BD，垂足分別是E、F，連接EF，求證：△DEF為等邊三角形.

15.等邊三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AD=BE，AE、CD相交于點(diǎn)P，CF?AE.（1）求?CPE的度數(shù)；（2）求證：PF=

111DCB.BD=ACC.AC=ABD.AD=AB2229.在Rt△ABC中，如下圖，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點(diǎn)D到AB的距離DE=3.8cm，則BC等于（）A.3.8cmB.7.6cmC.11.4cmD.11.2cm

10.△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（）

A.3.5B.4.2C.5.8D.7

11.以下三角形：①有兩個(gè)角等于60°②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形④一腰上的中線(xiàn)也是這條腰上的高的等腰三角形，其中

6

1PC.2ADFPBEC

（2）若∠A=60°，則△ABC為_(kāi)_________三角形；（3）若∠B=60°，則△ABC為_(kāi)_________三角形.2.底與腰不等的等腰三角形有__________條對(duì)稱(chēng)軸，等邊三角形有__________條對(duì)稱(chēng)軸.

3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E，假使AB=8cm，則BD=__________cm，∠BDE=__________,BE=__________cm.

4.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，則AB=__________cm.

是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④12.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB與邊面內(nèi)作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC當(dāng)邊作等邊△DCE，B、E在C、D的同側(cè)，若A