初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)/初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)第一篇一元一次方程的談?wù)摰谝徊糠只痉椒ǚ匠痰慕獾亩x：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。比方：方程2x＋＝，x（x－）|x|=6,xx=2的解601=0,0=0,0分別是：x－3,x=0或x=1,x±6,所有的數(shù)，無(wú)解。==2.關(guān)于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡(jiǎn)方程axb后，=談?wù)撍慕猓寒?dāng)a≠0時(shí)，有唯一的解x=b；a當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，無(wú)解；當(dāng)a=0且b＝0時(shí)，有無(wú)數(shù)多解。（∵不論x取什么值，0x＝0都成立）求方程ax=b(a≠0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)a｜b時(shí)，方程有整數(shù)解；當(dāng)a｜b，且a、b同號(hào)時(shí)，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，方程的解是正數(shù)。綜上所述，談?wù)撘辉淮畏匠痰慕?，一般?yīng)先化為最簡(jiǎn)方程ax=b第二部分典例精析例1a取什么值時(shí)，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②無(wú)解？③有無(wú)數(shù)多解？④是正數(shù)解？例2k取什么整數(shù)值時(shí)，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整數(shù)？②（1－x）k=6的解是負(fù)整數(shù)？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a無(wú)解。問(wèn)a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？例4a、b取什么值時(shí)，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有無(wú)數(shù)多解？第三部分典題精練依照方程的解的定義，寫出以下方程的解：①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x關(guān)于x的方程ax=x+2無(wú)解，那么a__________在方程a(a－3)x=a中，當(dāng)a取值為＿＿＿＿時(shí)，有唯一的解；當(dāng)a＿＿＿時(shí)無(wú)解；當(dāng)a＿＿＿＿＿時(shí),有無(wú)數(shù)多解；當(dāng)a＿＿＿＿時(shí),解是負(fù)數(shù)。k取什么整數(shù)值時(shí)，以低等式中的x是整數(shù)？①x=4②x=6③x=2k3④x=3k2kk1kk1k取什么值時(shí)，方程x－k=6x的解是①正數(shù)？②是非負(fù)數(shù)？m取什么值時(shí)，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正數(shù)？7.己知方程3x61a2的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？42m取什么整數(shù)值時(shí)，方程(x1)m12m的解是整數(shù)339.己知方程b(x1)13ax有無(wú)數(shù)多解，求a、b的值。22第二篇二元一次方程的整數(shù)解第一部分基本方法1.二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大合約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即若是（a,b）|c則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)必然有整數(shù)解。比方方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整數(shù)解。返過(guò)來(lái)也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都沒有整數(shù)解，∵（9，3）＝3，而3不能夠整除10；（4，2）＝2，而2不能夠整除1。一般我們?cè)谡麛?shù)會(huì)集里研究合約數(shù)，（a,b）中的a,b實(shí)為它們的絕對(duì)值。二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程axbyc有整數(shù)解，一般都有無(wú)數(shù)多個(gè)，常引入整數(shù)k來(lái)表示它的通解（即所有+=的解）。k叫做參變數(shù)。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x=111y=1y10y1y2y(1),555設(shè)1yk(k是整數(shù)），則y=1－5k(2),5把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2∴原方程所有的整數(shù)解是x11k2（k是整數(shù)）y15k方法二，公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解xx0則通解是xx0bk（x0,y0可用察見解）yy0yy0ak1，求二元一次方程的正整數(shù)解：①出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值②用察見解直接寫出。第二部分典例精析例1求方程5x－9y=18整數(shù)解的能通解例2求方程5x+6y=100的正整數(shù)解例3甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？第三部分典題精練求以下方程的整數(shù)解①公式法：x+7y=4,5x－11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42.求方程的正整數(shù)解：①5xy②5xy+7=87,+3=1103.一根長(zhǎng)10000毫米的鋼材，要截成兩種不相同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長(zhǎng)300毫米，乙種毛坯長(zhǎng)250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的年齡。以下方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個(gè)？答：（填編號(hào)）4x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121y=324.一張?jiān)噹営?0道選擇題，選對(duì)每題得5分，選錯(cuò)每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？用察見解寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=14－2x=17y3第三篇二元一次方程組解的談?wù)摰谝徊糠只痉椒ǘ淮畏匠探Ma1xb1yc1的解的情況有以下三種：a2xb2yc2①當(dāng)a1b1c1時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解。（∵兩個(gè)方程等效）a2b2c2②當(dāng)a1b1c1時(shí)，方程組無(wú)解。（∵兩個(gè)方程是矛盾的）a2b2c2③當(dāng)a1b11b2－a2b1≠）時(shí)，方程組有唯一的解：a2b2（即a0x

c1b2c2b1a1b2a2b1（這個(gè)解可用加減消元法求得）y

c2a1c1a2a1b2a2b12．方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無(wú)數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。3．求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以談?wù)?。（見?、3）第二部分典例精析5xy7例1.選擇一組a,c值使方程組ax2yc例2.xyaa取什么值時(shí)，方程組3y的解是正數(shù)？5x31例3.m取何整數(shù)值時(shí)，方程組2xmy4的解x和y都是整數(shù)？x4y1例4.（古代問(wèn)題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問(wèn)桃，李，欖橄各買幾粒？第三部分典題精練不解方程組，判斷以下方程組解的情況：x2y32xy33x5y1①6y9②2y3③5y13x4x3xx3ya2a11．a(chǎn)取什么值時(shí)方程組6y9a2的解是正數(shù)？9x2a22．a(chǎn)取哪些正整數(shù)值，方程組x2y5a的解x和y都是正整數(shù)？3x4y2a3．要使方程組xkyk的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值？x2y14．（古代問(wèn)題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？第四篇用交集解題第一部分基本方法1.某種對(duì)象的全體組成一個(gè)會(huì)集。組成會(huì)集的各個(gè)對(duì)象叫這個(gè)會(huì)集的元素。比方6的正約數(shù)會(huì)集記作｛6的正約數(shù)｝＝｛1，2，3，6｝，它有4個(gè)元素1，2，3，6；除以3余1的正整數(shù)會(huì)集是個(gè)無(wú)量集，記作｛除以3余1的正整數(shù)｝＝｛1，4，7，10｝，它的個(gè)元素有無(wú)數(shù)多個(gè)。1．由兩個(gè)會(huì)集的所有公共元素組成的一個(gè)會(huì)集，叫做這兩個(gè)會(huì)集的交集比方6的正約數(shù)會(huì)集A＝｛1，2，3，6｝，10的正約數(shù)會(huì)集B＝｛1，2，5，10｝，6與10的合約數(shù)集合C＝｛1，2｝，會(huì)集C是會(huì)集A和會(huì)集B的交集。2．幾個(gè)會(huì)集的交集可用圖形形象地表示，正數(shù)集

正整數(shù)集

整數(shù)集右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)會(huì)集，右邊的橢圓表示整數(shù)會(huì)集，中間兩個(gè)橢圓的公共部分，是它們的交集――正整數(shù)集。不等式組的解集是不等式組中各個(gè)不等式解集的交集。2x6(1)比方不等式組解的會(huì)集就是x2(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.如數(shù)軸所示：0234．一類問(wèn)題，它的答案要同時(shí)吻合幾個(gè)條件，一般可用交集來(lái)解答。把吻合每個(gè)條件的所有的解（即解的會(huì)集）分別求出來(lái)，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時(shí)能夠先求出其中的一個(gè)（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一精選、剔除，求得答案。（如例2）第二部分典例精析例1.一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)自然數(shù)的最小值。例2.有兩個(gè)二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，并且平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，求這兩個(gè)數(shù)。例3.數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱A種刊物的有28人，訂閱B種刊物的有21人，其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂，問(wèn)只訂A種、只訂B種的各幾人？數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人？［公式一］N＝N+N（A）+N（B）－N（AB）。例4.在40名同學(xué)中檢查，會(huì)玩乒乓球的有24人，籃球有18人，排球有10人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和籃球的有6人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和排球的有4人，三種球都會(huì)的只有1人，問(wèn)：有多少人①只會(huì)打乒乓球②同時(shí)會(huì)打籃球和排球③只會(huì)打排球？例5.十進(jìn)制中，六位數(shù)19xy87能被33整除，求x和y的值第三部分典題精練負(fù)數(shù)會(huì)集與分?jǐn)?shù)會(huì)集的交集是.等腰直角三角形會(huì)集是三角形會(huì)集與三角形會(huì)集的交集。2.12的正約數(shù)會(huì)集A＝｛｝，30的正約數(shù)會(huì)集B＝｛｝12和30的合約數(shù)會(huì)集C＝｛｝，會(huì)集C是會(huì)集A和會(huì)集B的＿＿某數(shù)除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某數(shù)的最小值。4.九張紙各寫著1到9中的一個(gè)自然數(shù)（不重復(fù)），甲拿的兩張數(shù)字和是10，乙拿的兩張數(shù)字差是1，丙拿的兩張數(shù)字積是24，丁拿的兩張數(shù)字商是3，問(wèn)剩下的一張是多少？求吻合以下三條件的兩位數(shù)：①能被3整除②它的平方、立方的個(gè)位數(shù)都不變③兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字積的個(gè)位數(shù)與原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同。6.據(jù)30名學(xué)生統(tǒng)計(jì)，會(huì)打籃球的有22人，其中5人還會(huì)打排球；有2人兩種球都不會(huì)打。那么①會(huì)打排球有幾人？②只會(huì)打排球是幾人？7.100名學(xué)生代表選舉學(xué)生會(huì)正付主席，對(duì)侯選人A和B進(jìn)行表決，贊同A的有52票，贊同B的有60票，其中A、B都贊同的有36人，問(wèn)對(duì)A、B都不贊同的有幾人？8.數(shù)、理、化三科競(jìng)賽，參加人數(shù)按單科統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)24人，物理18人，化學(xué)10人；按兩科統(tǒng)計(jì)，參加數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、4、5人，沒有三科都參加的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)。（本題若是改為有2人三科都參加呢？）十進(jìn)制中，六位數(shù)1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）第五篇用列舉法解題第一部分基本方法有一類問(wèn)題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意：①按必然的序次，有系統(tǒng)地進(jìn)行；②分類列舉時(shí)，要做到既不重復(fù)又不違漏；③遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字下手，由列舉中找到規(guī)律。第二部分典例精析例1.如圖由西向東走，從A處到B處有幾種走法？例2.寫出由字母X，Y，Z中的一個(gè)或幾個(gè)組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為1）的所有四次單項(xiàng)式。例3.談?wù)摬坏仁絘x<b的解集。例4.如圖把等邊三角形各邊4均分，分別連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試計(jì)算圖中所有的三角形個(gè)數(shù)第三部分典題精練1.己知x，y都是整數(shù)，且xy，那么適合等式解共=6個(gè)，它們是.a+b=37,適合等式的非負(fù)整數(shù)解共組，它們是.xyz=6,寫出所有的正整數(shù)解有：.如圖線段AF上有B，C，D，E四點(diǎn),試分別寫出以A，B，C，D，E為一端且不重復(fù)的所有線段，并統(tǒng)計(jì)總條數(shù).ABCDEF5.寫出以abc中的一個(gè)或幾個(gè)字母組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為）的所有三次單項(xiàng)式。,,1除以4余1兩位數(shù)共有幾個(gè)？7.從1到10這十個(gè)自然數(shù)中每次取兩個(gè)，其和要大于10，共有幾種不相同取法？把邊長(zhǎng)等于4的正方形各邊4均分，連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)成16個(gè)小正方形，試用列舉法，計(jì)算共有幾個(gè)正方形？若是改為5均分呢？10均分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5條路，若是從A到B(只能從北向南，從西向東)，A有幾種走法？10.一個(gè)正整數(shù)加上3是5的倍數(shù)，減去3是6的倍數(shù)，則這個(gè)正整數(shù)的最小值是.

B第六篇經(jīng)驗(yàn)歸納法第一部分基本方法1．平時(shí)我們把“從特別到一般”的推理方法、研究問(wèn)題的方法叫做歸納法。經(jīng)過(guò)有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完好的歸納法，也叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。比方①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，，歸納出－1的奇次冪是－1，而－1的偶次冪是1。②由兩位數(shù)從10到99共90個(gè)（9×10），三位數(shù)從100到999共900個(gè)（9×102），四位數(shù)有9×103＝9000個(gè)（9×103），歸納出n位數(shù)共有9×10n－1(個(gè))222③由1+3=2,1+3+5=3,1+3+5+7=4推斷出從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n2等。能夠看出經(jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)登攀前進(jìn)的階梯。經(jīng)驗(yàn)歸納法是經(jīng)過(guò)少許特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律光亮化，必定進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯(cuò)誤的，所以必然或否定猜想的結(jié)論，都必定進(jìn)行嚴(yán)格地證明。（到高中，多半是用數(shù)學(xué)歸納法證明）第二部分典例精析例1平面內(nèi)n條直線，每?jī)蓷l直線都訂交，問(wèn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？例2．符號(hào)n！表示正整數(shù)從1到n的連乘積，讀作n的階乘。比方5?。?×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大小（n是正整數(shù)）例3．求適合等式x1+x2+x3＋+x2003=x1x2x3x2003的正整數(shù)解。丙練習(xí)141．除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有＿＿個(gè)，二位數(shù)有＿＿個(gè)，三位數(shù)有＿＿個(gè)，n位數(shù)有＿＿＿＿個(gè)。．十進(jìn)制的兩位數(shù)1a2三位數(shù)a1a2a3記作100a1a2a3,四位數(shù)2a1a2可記作10a＋,+10+a1a2a3a4記作＿＿＿＿，n位數(shù)＿＿＿記作＿＿＿＿＿＿3．由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋＋n3=( )2。4．用經(jīng)驗(yàn)歸納法猜想以