初中數學競賽輔導

初中數學競賽指導初中數學競賽指導/初中數學競賽指導第一篇一元一次方程的談論第一部分基本方法方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。比方：方程2x＋＝，x（x－）|x|=6,xx=2的解601=0,0=0,0分別是：x－3,x=0或x=1,x±6,所有的數，無解。==2.關于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程axb后，=談論它的解：當a≠0時，有唯一的解x=b；a當a=0且b≠0時，無解；當a=0且b＝0時，有無數多解。（∵不論x取什么值，0x＝0都成立）求方程ax=b(a≠0)的整數解、正整數解、正數解當a｜b時，方程有整數解；當a｜b，且a、b同號時，方程有正整數解；當a、b同號時，方程的解是正數。綜上所述，談論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax=b第二部分典例精析例1a取什么值時，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②無解？③有無數多解？④是正數解？例2k取什么整數值時，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整數？②（1－x）k=6的解是負整數？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a無解。問a和b應滿足什么關系？例4a、b取什么值時，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有無數多解？第三部分典題精練依照方程的解的定義，寫出以下方程的解：①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x關于x的方程ax=x+2無解，那么a__________在方程a(a－3)x=a中，當a取值為＿＿＿＿時，有唯一的解；當a＿＿＿時無解；當a＿＿＿＿＿時,有無數多解；當a＿＿＿＿時,解是負數。k取什么整數值時，以低等式中的x是整數？①x=4②x=6③x=2k3④x=3k2kk1kk1k取什么值時，方程x－k=6x的解是①正數？②是非負數？m取什么值時，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正數？7.己知方程3x61a2的根是正數，那么a、b應滿足什么關系？42m取什么整數值時，方程(x1)m12m的解是整數339.己知方程b(x1)13ax有無數多解，求a、b的值。22第二篇二元一次方程的整數解第一部分基本方法1.二元一次方程整數解存在的條件：在整系數方程ax+by=c中，若a,b的最大合約數能整除c,則方程有整數解。即若是（a,b）|c則方程ax+by=c有整數解顯然a,b互質時必然有整數解。比方方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整數解。返過來也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都沒有整數解，∵（9，3）＝3，而3不能夠整除10；（4，2）＝2，而2不能夠整除1。一般我們在正整數會集里研究合約數，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。二元一次方程整數解的求法：若方程axbyc有整數解，一般都有無數多個，常引入整數k來表示它的通解（即所有+=的解）。k叫做參變數。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數解解：x=111y=1y10y1y2y(1),555設1yk(k是整數），則y=1－5k(2),5把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2∴原方程所有的整數解是x11k2（k是整數）y15k方法二，公式法：設ax+by=c有整數解xx0則通解是xx0bk（x0,y0可用察見解）yy0yy0ak1，求二元一次方程的正整數解：①出整數解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值②用察見解直接寫出。第二部分典例精析例1求方程5x－9y=18整數解的能通解例2求方程5x+6y=100的正整數解例3甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？第三部分典題精練求以下方程的整數解①公式法：x+7y=4,5x－11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42.求方程的正整數解：①5xy②5xy+7=87,+3=1103.一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不相同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的年齡。以下方程中沒有整數解的是哪幾個？答：（填編號）4x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121y=324.一張試巻有20道選擇題，選對每題得5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學得48分，他最多得幾分？用察見解寫出方程3x+7y=1幾組整數解：y=14－2x=17y3第三篇二元一次方程組解的談論第一部分基本方法二元一次方程組a1xb1yc1的解的情況有以下三種：a2xb2yc2①當a1b1c1時，方程組有無數多解。（∵兩個方程等效）a2b2c2②當a1b1c1時，方程組無解。（∵兩個方程是矛盾的）a2b2c2③當a1b11b2－a2b1≠）時，方程組有唯一的解：a2b2（即a0x

c1b2c2b1a1b2a2b1（這個解可用加減消元法求得）y

c2a1c1a2a1b2a2b12．方程的個數少于未知數的個數時，一般是不定解，即有無數多解，若要求整數解，可按二元一次方程整數解的求法進行。3．求方程組中的待定系數的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數當己知數），再解含待定系數的不等式或加以談論。（見例2、3）第二部分典例精析5xy7例1.選擇一組a,c值使方程組ax2yc例2.xyaa取什么值時，方程組3y的解是正數？5x31例3.m取何整數值時，方程組2xmy4的解x和y都是整數？x4y1例4.（古代問題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？第三部分典題精練不解方程組，判斷以下方程組解的情況：x2y32xy33x5y1①6y9②2y3③5y13x4x3xx3ya2a11．a取什么值時方程組6y9a2的解是正數？9x2a22．a取哪些正整數值，方程組x2y5a的解x和y都是正整數？3x4y2a3．要使方程組xkyk的解都是整數，k應取哪些整數值？x2y14．（古代問題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？第四篇用交集解題第一部分基本方法1.某種對象的全體組成一個會集。組成會集的各個對象叫這個會集的元素。比方6的正約數會集記作｛6的正約數｝＝｛1，2，3，6｝，它有4個元素1，2，3，6；除以3余1的正整數會集是個無量集，記作｛除以3余1的正整數｝＝｛1，4，7，10｝，它的個元素有無數多個。1．由兩個會集的所有公共元素組成的一個會集，叫做這兩個會集的交集比方6的正約數會集A＝｛1，2，3，6｝，10的正約數會集B＝｛1，2，5，10｝，6與10的合約數集合C＝｛1，2｝，會集C是會集A和會集B的交集。2．幾個會集的交集可用圖形形象地表示，正數集

正整數集

整數集右圖中左邊的橢圓表示正數會集，右邊的橢圓表示整數會集，中間兩個橢圓的公共部分，是它們的交集――正整數集。不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的交集。2x6(1)比方不等式組解的會集就是x2(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.如數軸所示：0234．一類問題，它的答案要同時吻合幾個條件，一般可用交集來解答。把吻合每個條件的所有的解（即解的會集）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時能夠先求出其中的一個（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一精選、剔除，求得答案。（如例2）第二部分典例精析例1.一個自然數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個自然數的最小值。例2.有兩個二位的質數，它們的差等于6，并且平方數的個位數字相同，求這兩個數。例3.數學興趣小組中訂閱A種刊物的有28人，訂閱B種刊物的有21人，其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂，問只訂A種、只訂B種的各幾人？數學興趣小組共有幾人？［公式一］N＝N+N（A）+N（B）－N（AB）。例4.在40名同學中檢查，會玩乒乓球的有24人，籃球有18人，排球有10人，同時會玩乒乓球和籃球的有6人，同時會玩乒乓球和排球的有4人，三種球都會的只有1人，問：有多少人①只會打乒乓球②同時會打籃球和排球③只會打排球？例5.十進制中，六位數19xy87能被33整除，求x和y的值第三部分典題精練負數會集與分數會集的交集是.等腰直角三角形會集是三角形會集與三角形會集的交集。2.12的正約數會集A＝｛｝，30的正約數會集B＝｛｝12和30的合約數會集C＝｛｝，會集C是會集A和會集B的＿＿某數除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某數的最小值。4.九張紙各寫著1到9中的一個自然數（不重復），甲拿的兩張數字和是10，乙拿的兩張數字差是1，丙拿的兩張數字積是24，丁拿的兩張數字商是3，問剩下的一張是多少？求吻合以下三條件的兩位數：①能被3整除②它的平方、立方的個位數都不變③兩個數位上的數字積的個位數與原兩位數的個位數字相同。6.據30名學生統(tǒng)計，會打籃球的有22人，其中5人還會打排球；有2人兩種球都不會打。那么①會打排球有幾人？②只會打排球是幾人？7.100名學生代表選舉學生會正付主席，對侯選人A和B進行表決，贊同A的有52票，贊同B的有60票，其中A、B都贊同的有36人，問對A、B都不贊同的有幾人？8.數、理、化三科競賽，參加人數按單科統(tǒng)計，數學24人，物理18人，化學10人；按兩科統(tǒng)計，參加數理、數化、理化分別是13、4、5人，沒有三科都參加的人。求參賽的總人數，只參加數學科的人數。（本題若是改為有2人三科都參加呢？）十進制中，六位數1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）第五篇用列舉法解題第一部分基本方法有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意：①按必然的序次，有系統(tǒng)地進行；②分類列舉時，要做到既不重復又不違漏；③遇到較大數字或抽象的字母，可從較小數字下手，由列舉中找到規(guī)律。第二部分典例精析例1.如圖由西向東走，從A處到B處有幾種走法？例2.寫出由字母X，Y，Z中的一個或幾個組成的非同類項（系數為1）的所有四次單項式。例3.談論不等式ax<b的解集。例4.如圖把等邊三角形各邊4均分，分別連結對應點，試計算圖中所有的三角形個數第三部分典題精練1.己知x，y都是整數，且xy，那么適合等式解共=6個，它們是.a+b=37,適合等式的非負整數解共組，它們是.xyz=6,寫出所有的正整數解有：.如圖線段AF上有B，C，D，E四點,試分別寫出以A，B，C，D，E為一端且不重復的所有線段，并統(tǒng)計總條數.ABCDEF5.寫出以abc中的一個或幾個字母組成的非同類項（系數為）的所有三次單項式。,,1除以4余1兩位數共有幾個？7.從1到10這十個自然數中每次取兩個，其和要大于10，共有幾種不相同取法？把邊長等于4的正方形各邊4均分，連結各對應點成16個小正方形，試用列舉法，計算共有幾個正方形？若是改為5均分呢？10均分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5條路，若是從A到B(只能從北向南，從西向東)，A有幾種走法？10.一個正整數加上3是5的倍數，減去3是6的倍數，則這個正整數的最小值是.

B第六篇經驗歸納法第一部分基本方法1．平時我們把“從特別到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。經過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律，得出結論，它是一種不完好的歸納法，也叫做經驗歸納法。比方①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，，歸納出－1的奇次冪是－1，而－1的偶次冪是1。②由兩位數從10到99共90個（9×10），三位數從100到999共900個（9×102），四位數有9×103＝9000個（9×103），歸納出n位數共有9×10n－1(個)222③由1+3=2,1+3+5=3,1+3+5+7=4推斷出從1開始的n個連續(xù)奇數的和等于n2等。能夠看出經驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識登攀前進的階梯。經驗歸納法是經過少許特例的試驗，發(fā)現規(guī)律，猜想結論，要使規(guī)律光亮化，必定進行足夠次數的試驗。由于觀察產生的片面性，所猜想的結論，有可能是錯誤的，所以必然或否定猜想的結論，都必定進行嚴格地證明。（到高中，多半是用數學歸納法證明）第二部分典例精析例1平面內n條直線，每兩條直線都訂交，問最多有幾個交點？例2．符號n！表示正整數從1到n的連乘積，讀作n的階乘。比方5?。?×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大?。╪是正整數）例3．求適合等式x1+x2+x3＋+x2003=x1x2x3x2003的正整數解。丙練習141．除以3余1的正整數中，一位數有＿＿個，二位數有＿＿個，三位數有＿＿個，n位數有＿＿＿＿個。．十進制的兩位數1a2三位數a1a2a3記作100a1a2a3,四位數2a1a2可記作10a＋,+10+a1a2a3a4記作＿＿＿＿，n位數＿＿＿記作＿＿＿＿＿＿3．由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋＋n3=( )2。4．用經驗歸納法猜想以