2023廣東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

2023年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）2023年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2023?廣東）設(shè)集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）（2023?廣東）定義域為R的四個函數(shù)y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數(shù)的個數(shù)是（）A．4B．3C．2D．13．（5分）（2023?廣東）若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）（2023?廣東）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）A．B．2C．D．35．（5分）（2023?廣東）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）A．4B．C．D．66．（5分）（2023?廣東）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β7．（5分）（2023?廣東）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）（2023?廣東）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三條件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項正確的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?SB．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈SD．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9．（5分）（2023?廣東）不等式x2+x﹣2＜0的解集為_________．10．（5分）（2023?廣東）若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，則k=_________．11．（5分）（2023?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為_________．12．（5分）（2023?廣東）在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=_________．13．（5分）（2023?廣東）給定區(qū)域D：．令點(diǎn)集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定_________條不同的直線．14．（5分）（2023?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為_________．15．（2023?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=_________．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（12分）（2023?廣東）已知函數(shù)，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．17．（12分）（2023?廣東）某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)．（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．18．（14分）（2023?廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′﹣BCDE，其中A′O=．（1）證明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）（2023?廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有．20．（14分）（2023?廣東）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求|AF|?|BF|的最小值．21．（14分）（2023?廣東）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．2023年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2023?廣東）設(shè)集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：計算題．分析：根據(jù)題意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，進(jìn)而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M為方程x2+2x=0的解集，則M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N為方程x2﹣2x=0的解集，則N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故選D．點(diǎn)評：本題考查集合的并集運(yùn)算，首先分析集合的元素，可得集合的意義，再求集合的并集．2．（5分）（2023?廣東）定義域為R的四個函數(shù)y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數(shù)的個數(shù)是（）A．4B．3C．2D．1考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征逐一盤點(diǎn)即可．解答：解：y=x3的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且（﹣x）3=﹣x3，所以函數(shù)y=x3為奇函數(shù)；y=2x的圖象過點(diǎn)（0，1），既不關(guān)于原點(diǎn)對稱，也不關(guān)于y軸對稱，為非奇非偶函數(shù)；y=x2+1的圖象過點(diǎn)（0，1）關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)；y=2sinx的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx為奇函數(shù)；所以奇函數(shù)的個數(shù)為2，故選C．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．3．（5分）（2023?廣東）若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計算題．分析：由題意可得z=，再利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化為4﹣2i，從而求得z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則有z===4﹣2i，故在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，﹣2），故選C．點(diǎn)評：本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2023?廣東）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）A．B．2C．D．3考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計．分析：利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出．解答：解：由數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出：E（X）==．故選A．點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)學(xué)期望的計算公式是解題的關(guān)鍵．5．（5分）（2023?廣東）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）A．4B．C．D．6考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題．分析：由題意直接利用三視圖的數(shù)據(jù)求解棱臺的體積即可．解答：解：幾何體是四棱臺，下底面是邊長為2的正方形，上底面是邊長為1的正方形，棱臺的高為2，并且棱臺的兩個側(cè)面與底面垂直，四樓臺的體積為V==．故選B．點(diǎn)評：本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，棱臺體積公式的應(yīng)用，考查計算能力與空間想象能力．6．（5分）（2023?廣東）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：選項A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯誤；選項B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯誤；選項C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯誤；選項D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）（2023?廣東）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率為，建立方程組，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程．解答：解：設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則∵雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴雙曲線方程為．故選B．點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2023?廣東）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三條件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項正確的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?SB．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈SD．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理．專題：證明題；壓軸題．分析：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除錯誤選項，即得答案．解答：解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，顯然滿足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此時（y，z，w）=（2，4，3）∈S，（x，y，w）=（1，2，3）∈S，故A、C、D均錯誤；只有B成立，故選B點(diǎn)評：本題考查簡單的合情推理，特殊值驗證法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9．（5分）（2023?廣東）不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先求相應(yīng)二次方程x2+x﹣2=0的兩根，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象即可寫出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的兩根為﹣2，1，且函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象開口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，深刻理解“三個二次”間的關(guān)系是解決該類題目的關(guān)鍵，解二次不等式的基本步驟是：求二次方程的根；作出草圖；據(jù)圖象寫出解集．10．（5分）（2023?廣東）若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，則k=﹣1．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由題意知在1處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出k的值．解答：解：由題意得，y′=k+，∵在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案為：﹣1．點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，難度不大．11．（5分）（2023?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為7．考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：由已知中的程序框圖及已知中輸入4，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為i≤4，即i=1，2，3，4．模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的S值．解答：解：當(dāng)i=1時，S=1+1﹣1=1；當(dāng)i=2時，S=1+2﹣1=2；當(dāng)i=3時，S=2+3﹣1=4；當(dāng)i=4時，S=4+4﹣1=7；當(dāng)i=5時，退出循環(huán)，輸出S=7；故答案為：7．點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時，我們常使用模擬循環(huán)的變法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時，要用表格法對數(shù)據(jù)進(jìn)行管理．12．（5分）（2023?廣東）在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=20．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項公式．專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案為：20．點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確理解有關(guān)性質(zhì)是解決問題的根本．13．（5分）（2023?廣東）給定區(qū)域D：．令點(diǎn)集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先根據(jù)所給的可行域，利用幾何意義求最值，z=x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可，從而得出點(diǎn)集T中元素的個數(shù)，即可得出正確答案．解答：解：畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖．作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，因為直線z=x+y與直線x+y=4平行，故直線z=x+y過直線x+y=4上的整數(shù)點(diǎn)：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）時，直線的縱截距最大，z最大；當(dāng)直線過（0，1）時，直線的縱截距最小，z最小，從而點(diǎn)集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，經(jīng)過這六個點(diǎn)的直線一共有6條．即T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．故答案為：6．點(diǎn)評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2023?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．專題：壓軸題．分析：先求出曲線C的普通方程，再利用直線與圓相切求出切線的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代換求得其極坐標(biāo)方程即可．解答：解：由（t為參數(shù)），兩式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲線C是以（0，0）為圓心，半徑等于的圓．C在點(diǎn)（1，1）處的切線l的方程為x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，則l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．…（10分）故答案為：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．點(diǎn)評：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化．普通方程化為極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．15．（2023?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=．考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：壓軸題；直線與圓．分析：利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，進(jìn)而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．解答：解：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴．點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，需要較強(qiáng)的推理能力．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（12分）（2023?廣東）已知函數(shù)，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．考點(diǎn)：二倍角的正弦；兩角和與差的余弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）把x=﹣直接代入函數(shù)解析式求解．（2）先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinθ的值以及sin2θ，然后將x=2θ+代入函數(shù)解析式，并利用兩角和與差公式求得結(jié)果．解答：解：（1）（2）因為，所以所以所以=點(diǎn)評：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的求解，考查了和差角公式的運(yùn)用，屬于知識的簡單綜合，要注意角的范圍．17．（12分）（2023?廣東）某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)．（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖；古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（1）莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位，這是解決本題的突破口，根據(jù)所給的莖葉圖數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求出結(jié)果；（2）先由（1）求得的平均數(shù)，再利用比例關(guān)系即可推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人的人數(shù)；（3）設(shè)“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A，結(jié)合組合數(shù)利用概率的計算公式即可求解事件A的概率．解答：解：（1）樣本均值為（2）抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，所以12名工人中有4名優(yōu)秀工人（3）設(shè)“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A，所以，即恰有1名優(yōu)秀工人的概率為．點(diǎn)評：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，古典概型及其概率計算公式，屬于容易題．對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，考查最基本的知識點(diǎn)．18．（14分）（2023?廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′﹣BCDE，其中A′O=．（1）證明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）方法一：過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F，連接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根據(jù)三垂線定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．解答：（1）證明：連接OD，OE．因為在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因為，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F，連接A′F因為A′O⊥平面BCDE．根據(jù)三垂線定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為．方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一個法向量．設(shè)平面A′CD的法向量為n=（x，y，z），．所以，令x=1，則y=﹣1，．所以是平面A′CD的一個法向量設(shè)二面角A′﹣CD﹣B的平面角為θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計算能力．19．（14分）（2023?廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為，．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（3）利用（2），通過放縮法（n≥2）即可證明．解答：解：（1）當(dāng)n=1時，，解得a2=4（2）①當(dāng)n≥2時，②①﹣②得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，當(dāng)n=1時，所以數(shù)列{}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列所以，即所以數(shù)列{an}的通項公式為，n∈N*（3）因為（n≥2）所以=點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項公式、通項與前n項和的關(guān)系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）、裂項求和及其放縮法等是解題的關(guān)鍵．20．（14分）（2023?廣東）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求|AF|?|BF|的最小值．考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；拋物線的簡單性質(zhì)．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）利用焦點(diǎn)到直線l：x﹣y﹣2=0的距離建立關(guān)于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；（2）先設(shè)，，由（1）得到拋物線C的方程求導(dǎo)數(shù)，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；（3）根據(jù)拋物線的定義，有，，從而表示出|AF|?|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，將它表示成關(guān)于y0的二次函數(shù)的形式，從而即可求出|AF|?|BF|的最小值．解答：解：（1）焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離，解得c=1所以拋物線C的方程為x2=4y（2）設(shè)，由（1）得拋物線C的方程為，，所以切線PA，PB的斜率分別為，所以PA：①PB：②聯(lián)立①②可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即，又因為切線PA的斜率為，整理得直線AB的斜率所以直線AB的方程為整理得，即因為點(diǎn)P（x0，y0）為直線l：x﹣y﹣2=0上的點(diǎn)，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直線AB的方