112導(dǎo)數(shù)的幾何意義

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最新2023數(shù)學(xué)選修2-2

1.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義

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回想①平均變化率函數(shù)y=f(x)的定義域為D,xy=f(x)的定義域為∈D,f(x)從函數(shù)y=f(x)的定義域為D,x1.x2∈D,f(x)從x1到x2平均變化率為:平均變化率為:

f=x

f(x2)f(x1)x2x1yf(x2)f(x2)-f(x1)=△y△f(x1)O

Y=f(x)

②割線的斜率

fk==x

f(x2)f(x1)x2x1

B

Ax2-x1=△x△xx1x2

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回想我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.瞬時速度從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是在處的瞬時變化率是:從函數(shù)

以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，取極限從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的確切值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的確切值。

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回想我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.瞬時速度從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是在處的瞬時變化率是:從函數(shù)

以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，取極限從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的確切值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的確切值。

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由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)在點x由導(dǎo)數(shù)的意義可知求函數(shù)y=f(x)在點0處的求函數(shù)在點導(dǎo)數(shù)的基本方法是:導(dǎo)數(shù)的基本方法是()求數(shù)增=f(x0+)f(x0);1函的量yx

回顧

xyf(x0+)f(x0)(2)求均化平變率=;xxy(3取限得數(shù)′(x0)=lim.)極，導(dǎo)f→x0x注意:這里的增量不是一般意義上的增量它可正也可負(fù).這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)注意這里的增量不是一般意義上的增量它可正也可負(fù)自變量的增量x的形式是多樣的但不管x選擇的形式是多樣的,但不管自變量的增量的形式是多樣的但不管選擇哪種形式,也必需選擇與之相對應(yīng)的形式.哪種形式y(tǒng)也必需選擇與之相對應(yīng)的形式也必需選擇與之相對應(yīng)的形式

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導(dǎo)數(shù)的幾何意義:yy=f(x)Q割線T切線

P

α

o

x我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點沿著曲線無限接近點P即當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點沿著曲線無限接近點即割線PQ假使有一個極限位置Δx→0時,割線假使有一個極限位置則我→時割線假使有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點處的切線稱為曲線在點P處的切線.們把直線稱為曲線在點處的切線

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設(shè)切線的傾斜角為α那設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)x→0時,割線的斜割線PQ的斜么當(dāng)時割線稱為曲線在點P處的率,稱為曲線在點處的切稱為曲線在點處的切線的斜率.線的斜

率'

y

y=Qf(x)Pα

割線T切線x

o

f(x0+x)f(x0)y即:k切線=f(x0)=lim=limx→0xx→0x這個概念:這個概念①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;率的一種方法切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).②切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在要注意,曲線在某點處的切線與該點的位置有關(guān)要注意曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān)曲線在某點處的切線與該點的位置有關(guān);2)曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個.可以有多個甚至可以無窮多個

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求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.例1:求曲線求曲線在點處的切線方程f(x0+x)f(x0)解:k=limyx→0Qx(1+x)2+1(1+1)=lim2x→0y=x+1x2x+(x)2=lim=2.x→0xP因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),因此切線方程為x即y=2x.1

y

M

求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:的基本步驟求出P點的坐標(biāo)點的坐標(biāo);①求出點的坐標(biāo)②利用切線斜率的定義求出切線的斜率;出切線的斜率利用點斜式求切線方程.③利用點斜式求切線方程

x

-1O

1

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138y=x上一點P(2,)練習(xí):如圖已知曲線練習(xí)如圖已知曲線求33,求:(1)點P處的切線的斜率(2)點P處的切線方程處的切線的斜率;處的切線方程.點處的切線的斜率點處的切線方程

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練習(xí)已知f(x)=x,求曲線在x=2處的切線的斜率2

變式：1)曲線y=x在點p處的切線斜率為k,3

當(dāng)k=3時，求點p的坐標(biāo)12)求f(x)=2過點(1,1)的切線方程x13)求f(x)=2過點(3,3)的切線方程x

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函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到當(dāng)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)變化時便是x變化時,便是時,f’(x0)是一個確定的數(shù)那么當(dāng)x變化時便是的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)即:的導(dǎo)函數(shù).即的一個函數(shù)我們叫它為的導(dǎo)函數(shù)

yf(x+x)f(x)f′(x)=y′=lim=limx→0xx→0x在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).也簡稱導(dǎo)數(shù)在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).函y=f(x)在x處導(dǎo)f′(x)數(shù)點0的數(shù)0等函f(x)導(dǎo)函數(shù)′(x)在x處于數(shù)的()f點0的函值數(shù).

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如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()求數(shù)增=f(x+)f(x);1函的量yx(2)求數(shù)增與變的量比:函的量自量增的值yf(x+)f(x)x=;x

x

y(3求限得函y′=f′(x)=lim.)極，導(dǎo)數(shù)→x0x

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看一個例子:例4.已知y=y=x

x,求y′.xx+x+x

解：y=x+xx=1x+x+x

y11∴y′=lim=lim=.x→0xx→0x+x+x2x

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下面把前面知識小結(jié):下面把前面知識小結(jié)a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有一致的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有一致的數(shù)學(xué)表達式的一個重要概念，學(xué)表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了認(rèn)識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全過理意義了認(rèn)識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實把握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：要切實把握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：要切實把握求導(dǎo)數(shù)的三個步驟(1)求函數(shù)的增量；)(2)求平均變化率；)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。)取極限，得導(dǎo)數(shù)。

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小結(jié):c.弄清“函數(shù)f(x)在點0處的導(dǎo)數(shù)〞、“導(dǎo)函數(shù)〞、弄清“函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)〞導(dǎo)函數(shù)〞弄清在點導(dǎo)數(shù)〞之間的區(qū)別與聯(lián)系?！皩?dǎo)數(shù)〞之間的區(qū)別與聯(lián)系。(1)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，變量與自變量的改變量之比的極限，變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。而言的,(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點而言的)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)。就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點x(3)函數(shù))函數(shù)f(x)在點0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點處的函數(shù)值，在x=x0處的函數(shù)值，即f′(x0)=f′(x)|x=x。這也是求函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。求函數(shù)在點0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。0