高一下學(xué)期期末(文科)數(shù)學(xué)試卷-(解析版)

高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共12小題）.1．若a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)3＞b3 C．2a﹣b＜1 D．lg（a﹣b）＜12．已知sin（30°+α）＝+cosα，則sin（2α+30°）＝（）A．﹣ B． C． D．﹣3．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為側(cè)面ABB1A1的中心，N為側(cè)面ACC1A1的中心，P為BC的中點(diǎn)，則直線MN與直線AP的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行 C．異面但不垂直 D．異面且垂直4．關(guān)于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＜0）的解集為（）A．{x|＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜} C．{x|x＜或x＞1} D．{x|1＜x＜}5．滿足黃金分割比的人體是最美人體，0.618是黃金分割比m＝的近似值，黃金分割比還可以表示為2cos72°，則＝（）A．4 B．+1 C．2 D．﹣16．一個空間幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為（）A．9 B．8 C．10 D．127．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2B＝sinAsinC，＝1+，則B＝（）A．π B．π C． D．8．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則滿足an＜的最小的n的值為（）A．1009 B．1010 C．1011 D．10129．已知m，n＞0，+＝3，則m+n的最小值為（）A．3 B．9 C．6 D．410．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若tanC＝，cosA＝，b＝3時，則△ABC的面積為（）A．3 B． C． D．11．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an+n（n∈N*），則{an}的通項(xiàng)公式為an＝（）A．2﹣3n B．2﹣3n C．1﹣2n D．1﹣2n12．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的各個頂點(diǎn)都在體積為π的球O的球面上，其中AA1＝2，底面ABCD是正方形，則OA與平面ABCD所成角的大小為（）A． B． C． D．π二、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13．若圓臺的母線與高的夾角為，且上下底面半徑之差為4，則該圓臺的高為．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2，c＝3，?＝，則a＝．15．已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），若數(shù)列{an}中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則t∈．16．在△ABC中，cosA+cosB＝，AB＝2．當(dāng)sinA+sinB取最大值時，△ABC的外接圓半徑為．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中．（1）若a＝2，b＝，求邊c；（2）若sinC＝cosA，求角C．18．已知函數(shù)f（x）＝sin（﹣x）+cos（）．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，]上的最值；（2）若cos，θ∈（π，），求f（2θ+）的值．19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an+1（1+2an）（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整數(shù)n的最小值．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，PB＝AB═AE＝2．（1）求證：平面PCE⊥平面PBE；（2）求點(diǎn)D到平面PCE的距離．21．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn)．生產(chǎn)口罩的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬箱，需另投入成本p（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足90萬箱時，p（x）＝+40x；當(dāng)產(chǎn)量不小于90萬箱時，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完．（1）求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？22．已知等差數(shù)列{an}滿足a5＝4，2a6+a9＝18，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2bn﹣1．（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若任意n∈N*，a1b1+a2b2+…+anbn≥（n﹣2）t+2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．若a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)3＞b3 C．2a﹣b＜1 D．lg（a﹣b）＜1解：取a＝﹣1，b＝﹣20，則a2＜b2，2a﹣b＞1，lg（a﹣b）＜1．∴ACD不正確．另一方面：考察函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，∵a＞b，∴a3＞b3．因此B正確．故選：B．2．已知sin（30°+α）＝+cosα，則sin（2α+30°）＝（）A．﹣ B． C． D．﹣解：∵sin（30°+α）＝+cosα，即cosα+sinα＝+cosα，花簡可得sin（α﹣30°）＝．則sin（2α+30°）＝sin（2α﹣60°+90°）＝cos（2α﹣60°）＝1﹣2sin2（α﹣30°）＝1﹣2×＝，故選：B．3．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為側(cè)面ABB1A1的中心，N為側(cè)面ACC1A1的中心，P為BC的中點(diǎn)，則直線MN與直線AP的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行 C．異面但不垂直 D．異面且垂直解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為側(cè)面ABB1A1的中心，N為側(cè)面ACC1A1的中心，P為BC的中點(diǎn)，∴MN∥BC，AP⊥BC，∴MN⊥AP，且直線MN與直線AP異面，故選：D．4．關(guān)于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＜0）的解集為（）A．{x|＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜} C．{x|x＜或x＞1} D．{x|1＜x＜}解：不等式可化為（ax﹣1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，∴原不等式等價于（x﹣）（x﹣1）＜0，且不等式對應(yīng)的一元二次方程的根為和1；又＜1，原不等式的解集為{x|＜x＜1}．故選：A．5．滿足黃金分割比的人體是最美人體，0.618是黃金分割比m＝的近似值，黃金分割比還可以表示為2cos72°，則＝（）A．4 B．+1 C．2 D．﹣1解：0.618是黃金分割比m＝的近似值，黃金分割比還可以表示為2cos72°，所以＝＝＝＝2．故選：C．6．一個空間幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為（）A．9 B．8 C．10 D．12解：由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體是一個棱長與底面邊長都是2的正三棱柱截去一個三棱錐得到的幾何體．該幾何體的表面積S＝＝．故選：D．7．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2B＝sinAsinC，＝1+，則B＝（）A．π B．π C． D．解：因?yàn)閟in2B＝sinAsinC，由正弦定理可得b2＝ac，而+＝＝，所以a2+c2＝（1+）ac，由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，所以（1+）ac﹣ac＝2accosB，可得cosB＝，又B∈（0，π），所以可得B＝，故選：B．8．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則滿足an＜的最小的n的值為（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012解：∵an＝，∴an＜?＜?n＞1010；又因?yàn)閚為正整數(shù)；故滿足an＜的最小的n的值為1011；故選：C．9．已知m，n＞0，+＝3，則m+n的最小值為（）A．3 B．9 C．6 D．4解：∵m，n＞0，+＝3，則m+n＝（m+n）（）＝（5+）＝3，當(dāng)且僅當(dāng)且+＝3即m＝1，n＝2時取等號，故選：A．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若tanC＝，cosA＝，b＝3時，則△ABC的面積為（）A．3 B． C． D．解：因?yàn)閠anC＝，C∈（0，π），所以sinC＝＝，cosC＝＝，又因?yàn)閏osA＝，A∈（0，π），所以sinA＝，sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝?+?＝，由正弦定理可得＝，而b＝3，所以a＝2，所以S△ABC＝absinC＝×2××＝，故選：B．11．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an+n（n∈N*），則{an}的通項(xiàng)公式為an＝（）A．2﹣3n B．2﹣3n C．1﹣2n D．1﹣2n解：∵Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an+n（n∈N*），①∴a1＝2a1+1?a1＝﹣1；當(dāng)n≥2時，Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1；②①﹣②可得：an＝2an﹣2an﹣1+1?an＝2an﹣1﹣1?an﹣1＝2（an﹣1﹣1）；∵a1﹣1＝﹣2；∴an﹣1＝﹣2n；∴an＝1﹣2n；故選：C．12．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的各個頂點(diǎn)都在體積為π的球O的球面上，其中AA1＝2，底面ABCD是正方形，則OA與平面ABCD所成角的大小為（）A． B． C． D．π解：∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1的各個頂點(diǎn)都在體積為π的球O的球面上，∴設(shè)球的半徑為R，則πR3＝，解得R＝2，從而長方體的對角線d＝2R＝4，設(shè)AB＝a，∵AA1＝2，底面ABCD是正方形，則a2+a2+22＝16，解得a＝，連結(jié)AC，過點(diǎn)O作OE⊥平面ABCD，交AC于點(diǎn)E，則∠OAE是OA與平面ABCD所成角，∵OA＝2，OE＝1，∴sin∠OAE＝＝．則OA與平面ABCD所成角的大小為．故選：A．二、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13．若圓臺的母線與高的夾角為，且上下底面半徑之差為4，則該圓臺的高為．解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，圓臺的母線與高所在直線的夾角為，軸截面如圖所示；所以圓臺的高為h＝＝＝．故答案為：．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2，c＝3，?＝，則a＝．解：因?yàn)閎＝2，c＝3，可得?＝bccosA＝6cosA＝，可得cosA＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+9﹣2×2×3×＝，可得a＝．故答案為：．15．已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），若數(shù)列{an}中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則t∈（5，7）．解：∵已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），∵數(shù)列{an}中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，∴＜＜，求得5＜t＜7，故答案為：（5，7）．16．在△ABC中，cosA+cosB＝，AB＝2．當(dāng)sinA+sinB取最大值時，△ABC的外接圓半徑為2．解：設(shè)sinA+sinB＝t，因?yàn)閏osA+cosB＝，所以3+t2＝sin2A+2sinAsinB+sin2B+cos2A+2cosAcosB+cos2B＝2+2cos（A﹣B），所以cos（A﹣B）＝，所以當(dāng)A＝B時，tmax＝1，∠C＝，此時△ABC的外接圓半徑為＝2．故答案為：2．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中．（1）若a＝2，b＝，求邊c；（2）若sinC＝cosA，求角C．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵＝，∴可得：sinAcosA＝sinBcosB，可得：sin2A＝sin2B，∴可得：2A＝2B（舍去），或2A+2B＝π，∴C＝π﹣（A+B）＝，∴c＝＝．…5分（2）由（1）可知2A＝2B，或2A+2B＝π，當(dāng)2A＝2B時，由sinC＝cosA＝sin（﹣A），可得：C＝﹣A，或C+（﹣A）＝π，①當(dāng)C＝﹣A時，又A＝B，聯(lián)合可得A+C+B+C＝π，不合題意；②C+（﹣A）＝π時，又A＝B，代入A+B+C＝π，可得：A＝C＝，當(dāng)2A+2B＝π時，即A+B＝，可得：C＝，顯然不符合條件sinC＝cosA，故舍去．綜上可得：C＝．…12分18．已知函數(shù)f（x）＝sin（﹣x）+cos（）．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，]上的最值；（2）若cos，θ∈（π，），求f（2θ+）的值．解：（1）∵f（x）＝sin（﹣x）+cos（），＝（），＝，＝，∵x∈[，]，∴，∴﹣1≤sin（x+）≤，，故函數(shù)的最大值，最小值﹣．（2）∵cos，θ∈（π，），∴sin，sin2θ＝2sinθcosθ＝，∴f（2θ+）＝═＝＝．19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an+1（1+2an）（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整數(shù)n的最小值．解：（1）證明：由an＝an+1（1+2an）（n∈N*），可得an﹣an+1＝2anan+1，則＝＝2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即an＝，anan+1＝＝（﹣），所以a1a2+a2a3+…+anan+1＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝＞，解得n＞16，所以正整數(shù)n的最小值為17．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，PB＝AB═AE＝2．（1）求證：平面PCE⊥平面PBE；（2）求點(diǎn)D到平面PCE的距離．解：（1）證明：PB⊥底面ABCD，CE?平面ABCD，∴PB⊥CE，∵四邊形ABCD是矩形，E是AD中點(diǎn)，且AB＝AE＝2，∴DE＝CD＝2，∠BAE＝∠CDE＝90°，∴∠BEA＝∠CED＝45°，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥BE，∵PB∩BE＝B，PB，BE?平面PBE，∴CE⊥平面PBE，∵CE?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBE．（2）解：由（1）知AB＝AE＝DE＝CD＝2，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴BE＝CE＝2，且△CDE的面積為2，∵PB⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PB⊥BE，∵PB＝2，∴PE＝＝2，∵CE⊥平面PBE，∴CE⊥PE，∴△PCE的面積為2，設(shè)點(diǎn)D到平面PCE的距離為d，由VD﹣PCE＝VP﹣CDE，得，解得d＝．∴點(diǎn)D到平面PCE的距離為．21．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn)．生產(chǎn)口罩的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬箱，需另投入成本p（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足90萬箱時，p（x）＝+40x；當(dāng)產(chǎn)量不小于90萬箱時，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完．（1）求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式