機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)3運(yùn)動(dòng)學(xué)中的矩陣法課件

第三章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的矩陣法描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)有三種方法:1）用繞右手直角坐標(biāo)系的一組轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)可以幾只旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表示，這幾只旋轉(zhuǎn)矩陣都是以繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為基礎(chǔ)而導(dǎo)出的。我們稱繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為基本旋轉(zhuǎn)矩陣。2）用繞空間軸的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述。3）用歐拉角描述。一、三只基本旋轉(zhuǎn)矩陣1、繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，若固連剛體上的定長(zhǎng)矢量繞z軸旋轉(zhuǎn)α角，旋轉(zhuǎn)前設(shè)：旋轉(zhuǎn)后：由圖：（3-1）寫成矩陣形式：簡(jiǎn)寫成：則：稱為繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。（3-2）（3-3）3、旋轉(zhuǎn)β角的矩陣表示式中：——為三只基本旋轉(zhuǎn)矩陣，對(duì)于該矩陣有許多表示方法，都有不同但實(shí)質(zhì)一樣，我們常見(jiàn)表示為旋轉(zhuǎn)矩陣：（3-7）（3-8）二、繞直角坐標(biāo)軸的一組旋轉(zhuǎn)隨剛體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次序?yàn)椋鹤⒁猓盒D(zhuǎn)次序?qū)傮w最終位置有影響，（即旋轉(zhuǎn)次序不可互換）。若定長(zhǎng)矢量先繞z轉(zhuǎn)α→繞y軸轉(zhuǎn)β角→繞x軸轉(zhuǎn)γ角達(dá)到終點(diǎn)，則：其余類推。（3-9）（3-10）（3-11）x—y平面內(nèi)的矩形體，經(jīng)有序列三個(gè)900的旋轉(zhuǎn)后的剛體位置如圖，旋轉(zhuǎn)次序有兩種：∴式3—11無(wú)普遍價(jià)值，具體問(wèn)題需進(jìn)行分析，再構(gòu)成完整的旋轉(zhuǎn)矩陣。（3-12）即為繞任意軸旋轉(zhuǎn)φ角，前后位置的關(guān)系式。（3-13）(3-12)中五只矩陣連乘即得的表達(dá)式。由圖：1∵是單位矢量代入（3—12）展開可得：式中：（3-14）（3-15）四、歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣軸轉(zhuǎn)角→繞N即x1軸轉(zhuǎn)θ角→繞z轉(zhuǎn)過(guò)——描述剛體旋轉(zhuǎn)的第三種方法是用歐拉角表示。首先繞（進(jìn)動(dòng)）（3-16）（章動(dòng)）（3-17）（自轉(zhuǎn)）（3-18）其中：（3-19）由于歐拉角是相對(duì)位移角，所以還可自轉(zhuǎn)即：歐拉公式通常用于定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的分析，例如蛇螺儀。三只基本旋轉(zhuǎn)矩陣及三只旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，其逆矩陣為其的轉(zhuǎn)置矩陣?！?-2剛體的位移矩陣剛體位置E用表示，由位置1→位置2可看作矢量到，其總位移可以看作的平移和繞基點(diǎn)角位移之和。到轉(zhuǎn)到由一、平面位移矩陣寫成分量的形式得：（3—21）式中α為剛體相對(duì)固定坐標(biāo)系x-y的轉(zhuǎn)角。和最終位置及轉(zhuǎn)角是同時(shí)給定，點(diǎn)的起始位置適合計(jì)算Q點(diǎn)新位置坐標(biāo)的形式，由式（3—20）求解得：通常，起始位置因此當(dāng)為已知，可將(3—20)改成重新整理：（3—22）將其寫成3×3矩陣方程：寫成簡(jiǎn)單形式：或：則3×3矩陣稱為平面位移矩陣。（3—23）（3—24）（3—25）二、空間位移矩陣剛體空間位移矩陣，類似以上（3-20）、（3-22）、（3-25）方式的描述，圖仍然適用于空間機(jī)構(gòu)，只要用三維旋轉(zhuǎn)矩陣代替即可。為了方便，現(xiàn)用于是相應(yīng)表達(dá)式（3—22）成：（3—20）成：（3—24）成：（3—26）（3—27）（3—28）軸移動(dòng)，同時(shí)又以角位移——?jiǎng)傮w位移基本矩陣方程。上，而剛體沿著該軸作螺旋運(yùn)動(dòng)，沿軸旋轉(zhuǎn)。三、螺旋位移矩陣式（3—26）有時(shí)往往用一個(gè)特殊點(diǎn)P作為參考點(diǎn)，它的兩個(gè)位置如圖所示，剛體以線位移則（3—26）式變?yōu)椋壕谝粋€(gè)固定軸線（3—30）用（3—28）形式來(lái)寫則上式成為：可簡(jiǎn)寫為：式中稱為有限螺旋位移矩陣。為4×4矩陣。（3—31）（3—32）解：根據(jù)參考點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)前后的位置及剛體的轉(zhuǎn)角α，構(gòu)成位移矩陣?yán)?已知一個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，其運(yùn)動(dòng)可用參考點(diǎn)p從位置到位置的位移以及剛體的轉(zhuǎn)角來(lái)描述，已知?jiǎng)傮w上任一點(diǎn)Q0在第一個(gè)位置，求Q第二個(gè)位置的坐標(biāo)時(shí)其坐標(biāo)四、位移矩陣示例例2求例1中剛體位置1到位置2的有限旋轉(zhuǎn)中心?當(dāng)一個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，從位置1到位置2時(shí)，該平面上總存在一個(gè)位置不變的點(diǎn)，此平面可以看作是繞固定平面上的這一點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)。該點(diǎn)稱為有限轉(zhuǎn)動(dòng)中心。注意，這一點(diǎn)和速度為零的點(diǎn)（速度瞬心）概念不能混同。設(shè)旋轉(zhuǎn)中心因?yàn)槊枋鰟傮w運(yùn)動(dòng)位移矩陣無(wú)論其所用的參考點(diǎn)是那一點(diǎn)，作得的位移矩陣元素的對(duì)應(yīng)值必定是相同的。因此作為參考點(diǎn)，寫出解析形式的位移矩陣：由上例數(shù)值矩陣第三列各對(duì)應(yīng)元素相等得：再用代入得：（2）求由式（3-31）中旋轉(zhuǎn)子陣的元素得：所以：同理：（螺旋軸u的方向余弦）（3—35）（3）求線位移s及螺旋軸上參考點(diǎn)的坐標(biāo)，為使計(jì)算簡(jiǎn)化，設(shè)這時(shí)式（3—31）中第四列元素與已知的數(shù)值位移矩陣（3—33）式的對(duì)應(yīng)元素相等，可得方程組：寫成矩陣形式得：

假設(shè)（3—36）這里有兩種特殊情況，①如即位移只沿u方向能移動(dòng)s：u方向：②當(dāng)時(shí)

s和p則由該式求得。

由上式可方便地求得五、數(shù)值位移矩陣的建立[D1j]為剛體E從第一位置E1運(yùn)動(dòng)到第j位置的位移矩陣。已知?jiǎng)傮wE上不共面的四個(gè)點(diǎn)P、Q、R和G在位置1和位置j時(shí)的坐標(biāo)值。－1做平面運(yùn)動(dòng)的剛體，其位移能用運(yùn)動(dòng)平面上任取的不共線的A、B、C三點(diǎn)的位移完全確定下來(lái)。假設(shè)：三個(gè)位移方程可合并成：如果知道平面上任意兩點(diǎn)的位移，如何構(gòu)成剛體的數(shù)值位移矩陣？六、位移矩陣的逆對(duì)于平面旋轉(zhuǎn)矩陣，可用α角所構(gòu)成的逆位移來(lái)構(gòu)成，于是:對(duì)于上式：∵[R]是正交矩陣，∴對(duì)于空間旋轉(zhuǎn)矩陣仍成立。對(duì)于位移矩陣，可將位移分解成位移和轉(zhuǎn)動(dòng)二部分，通過(guò)依次位移矩陣來(lái)描述，即：∵∴平面：空間4×4：去計(jì)算逆位移矩陣應(yīng)用以上等式很容易由位移矩陣元素的各元素，當(dāng)需要反復(fù)計(jì)算逆陣時(shí)可節(jié)省數(shù)值計(jì)算時(shí)間。一、坐標(biāo)變換矩陣設(shè)有兩個(gè)原點(diǎn)不重合的坐標(biāo)系Ⅰ和Ⅱ如圖，其中點(diǎn)p在坐標(biāo)系Ⅰ中的坐標(biāo)§3-3坐標(biāo)變換，在坐標(biāo)系Ⅱ中的坐標(biāo)為，若坐標(biāo)系Ⅱ的原點(diǎn)O2在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為由圖：（3—37）上式可用兩坐標(biāo)系中的軸間夾角的余弦表示：（3—38）將上式寫成齊次的矩陣形式得：（3—39）（3—40）[T21]稱為由Ⅱ系變到Ⅰ系的坐標(biāo)變換矩陣，其中16個(gè)元素只有12個(gè)有實(shí)際意義，左上角前三列的3×3矩陣描述坐標(biāo)系Ⅱ在系Ⅰ中的方位，其九個(gè)元素只有均不在同一行（或同一列）上的三個(gè)元素是獨(dú)立的。第四列前三個(gè)元素表示坐標(biāo)系Ⅱ原點(diǎn)O2在系Ⅰ中的位置（坐標(biāo)）。當(dāng)兩坐標(biāo)的原點(diǎn)重合，即其原點(diǎn)的坐標(biāo)變換時(shí)，一般仍可用（3—39）式，只是第四列改為（0、0、0、1）即可，若z1與z2重合如圖，則Ⅱ系到Ⅰ系的坐標(biāo)變換矩陣為：

（3—40）共原點(diǎn)Z軸重合共原點(diǎn)將上式與式（3—2）比較它們形式大致相同，前面3×3矩陣完全相同，所不同的只是對(duì)平面也適合，其原點(diǎn)坐標(biāo)變換矩陣為（3×3）：若已知R點(diǎn)在坐標(biāo)系Ⅱ里的坐標(biāo)則R點(diǎn)在Ⅰ系里的坐標(biāo)可用（3—41）式求出即：（3—41）所以從Ⅱ系變到Ⅰ系的坐標(biāo)變換矩陣即為坐標(biāo)系Ⅰ繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)α角使其與坐標(biāo)系Ⅱ重合的旋轉(zhuǎn)矩陣[R]。位置不同。同樣若已知R點(diǎn)在Ⅰ系里的坐標(biāo)，求R點(diǎn)在Ⅱ點(diǎn)的坐標(biāo)，則：所以：Ⅱ→Ⅰ相當(dāng)于Ⅰ繞z轉(zhuǎn)α到Ⅱ重合。（3—42）對(duì)于不共原點(diǎn)坐標(biāo)變換，可用同樣辦法討論。如圖有兩個(gè)坐標(biāo)系若已知P點(diǎn)在Ⅱ系的坐標(biāo)：o2點(diǎn)在Ⅰ系里坐標(biāo)：

則：寫成矩陣形式：

（3—43）另一方面可以將坐標(biāo)系Ⅱ看作經(jīng)繞z軸轉(zhuǎn)α角，所形成的，可以把寫出由Ⅰ系到Ⅱ系的位移矩陣為：所以：以上是平面情況，同樣適用于空間坐標(biāo)系。又隨參考系由點(diǎn)當(dāng)成參考點(diǎn)，（3—44）二、D—H矩陣—相對(duì)位姿矩陣若從空間機(jī)構(gòu)中任取兩相鄰構(gòu)件i和i+1，如在每個(gè)構(gòu)件上固連一個(gè)坐標(biāo)系，則i+1構(gòu)件上某點(diǎn)p在坐標(biāo)系i+1和i中的坐標(biāo)變換可用式(3-39)坐標(biāo)變換矩陣來(lái)描述，對(duì)于不共原點(diǎn)兩個(gè)任意方位的坐標(biāo)系，會(huì)有六個(gè)獨(dú)立參數(shù):哈登伯格（Hartenberg）和迪納維特（Denavit）提出D—H法，可使六個(gè)獨(dú)立參數(shù)減少到四個(gè)。該法稱為D—H矩陣或位姿矩陣。按D—H表示法，圖示五級(jí)副（轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副）組成的空間機(jī)構(gòu)，兩個(gè)相鄰構(gòu)件1和2中，坐標(biāo)系取法為：①有效的方法為先選定各個(gè)坐標(biāo)系的Z軸，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)副，移動(dòng)副，螺旋副及Ⅳ級(jí)副，圓柱副，Z軸取與運(yùn)動(dòng)副軸線相重合；②Z軸確定后，沿兩個(gè)相鄰Z軸（如Z1、Z2）的最短公垂線即最短距離線確定X軸，圖中X2取在Z1、Z2軸最短d1的延長(zhǎng)線上，Y軸由右手規(guī)則決定。由上述規(guī)則可確定下列參數(shù)：1、d1是Z2與Z1兩軸的垂直距離，正向一致時(shí)取Z；2、α1是Z2與Z1兩軸間夾角，面對(duì)x2軸，Z2由Z1逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正。3、θ1是x2與x1兩軸間夾角，面對(duì)Z1軸，x1向x2逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正。是x1和x2間的距離，與Z1軸方向一致時(shí)為正。由此方程（3—39）式寫成：H—D矩陣:

（3—49）對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)構(gòu)件的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行連續(xù)變換，即：閉環(huán)機(jī)構(gòu)：D—H矩陣在空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析和綜合中非常有用，尤其對(duì)于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析特別有效。[H]（3—50）（3—51）例：圖示一偏心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，已知機(jī)構(gòu)的尺寸，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。解：①首先建立與各構(gòu)件固聯(lián)的坐標(biāo)系，因?yàn)闉槠矫鏅C(jī)構(gòu)則三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直紙面，構(gòu)件2和構(gòu)件1組成移動(dòng)副，z1平行導(dǎo)路。

由此可以看出又由：[H]中的元素是：的函數(shù)，當(dāng)給定θ4就可求出s1，θ2和θ3設(shè)：已知（3—52）求：s1，θ2，θ3等位置函數(shù)解：代入上述（3—51）的結(jié)果如下：∵對(duì)角線為1，其余均為零由①、②行代入③得：∴代入④得：，，在Ⅰ系為因此對(duì)矩陣，實(shí)質(zhì)上若構(gòu)件上有一點(diǎn)為P在Ⅱ系中坐標(biāo)為即只要知道由Ⅰ系位移到Ⅱ系的位移矩陣得到了Ⅱ系到Ⅰ系的坐標(biāo)變換，因此式（3—39）知[T21]即：∴上例：[T21]與[H21]的區(qū)別則在H-D矩陣在取坐標(biāo)系過(guò)程中作了特定約定處理，計(jì)算更為簡(jiǎn)單，而[T21]則為一般式。§3—4微分旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣1、矢量積的矩陣表示（3—53）叉積：（3—54）一、微分旋轉(zhuǎn)矩陣是的反對(duì)稱矩陣表示法。上的單位矢量也可用反對(duì)稱矩陣表示：利用反對(duì)稱可將旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：其中：對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸（3—55）（3—56）2、角速度矩陣[W]的旋轉(zhuǎn)可用矩陣方程式描述，即：[R]是以幾種可能形式之一所表示的旋轉(zhuǎn)矩陣。位置的變化率可對(duì)上式微分：又由:∵所以：[W]稱為角速度矩陣。一個(gè)矢量（3—57）（3—58）對(duì)于平面：式中：是單位旋轉(zhuǎn)軸z的反對(duì)稱表示。太煩，的單位矢量為，則微分導(dǎo)得：空間角速度矩陣也可用（3—58）得出，但所以利用矢量的微分及矢量叉積的矩陣表示導(dǎo)出。若一個(gè)矢量對(duì)于定長(zhǎng)矢量也可對(duì)（3—56）式進(jìn)行微分得到,即:（3—59）（3—60）3、角加速度矩陣[E]再微分:又因:則:所以:寫成矩陣形式:[E]稱為角加速矩陣。也可由（3—56）微分而得，即：（3—61）平面角加速度：的特別情況，得：可展開成空間角加速度形式為：（3—62）（3—63）二、微分位移矩陣微分形成。定長(zhǎng)：由此得：