大學物理剛體的轉動

第三章剛體的轉動3.1剛體的運動一、剛體的平動在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行ABA’B’B”A”剛體的平動任意質元運動都代表整體運動二、剛體的定軸轉動剛體所有質元都繞一固定直線（定軸）作圓周運動剛體的平動、定軸轉動和復合運動用質心運動代表剛體的平動（質心運動定理）剛體:受力時不改變形狀和體積的物體。1用角量描述轉動1)角位移θ:

在t時間內剛體轉動角度2)角速度

:

3)角加速度α

:θz剛體定軸轉動角速度的方向按右手螺旋法則確定1.2切向分量

法向分量

zO2.線量與角量關系勻變速直線運動勻變速定軸轉動33.2剛體定軸轉動定律質點系的角動量定理Z軸分量質元對O點的力矩（垂直z軸）zO（垂直z軸）1.剛體定軸轉動定律4zO質元到轉軸的垂直距離轉動慣量對固定軸5剛體定軸轉動定律與牛頓第二定律對比：剛體到轉軸的轉動慣量：轉動慣量的物理意義:1.剛體轉動慣性大小的量度;2.轉動慣量與剛體的質量有關;3.J

在質量一定的情況下與質量的分布有關;4.J與轉軸的位置有關。

對比剛體的角動量和質點的動量：與對應6二、剛體

轉動慣量的計算稱為剛體對轉軸的轉動慣量對質量連續(xù)分布剛體線分布

面分布體分布是質量的線密度是質量的面密度是質量的體密度7例:一均勻細棒長l質量為m1)軸z1過棒的中心且垂直于棒2)軸z2過棒一端且垂直于棒求:上述兩種情況下的轉動慣量oZ1解:棒質量的線密度所以只有指出剛體對某軸的轉動慣量才有意義oZ2lXX8例:勻質圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉動慣量如下圖:解:圓盤半徑為R,總質量為m.設質量面密度例:勻質圓環(huán)半徑為R,總質量為m,求繞垂直于環(huán)面通過中心軸的轉動慣量如下圖:ZRdm解:ZRrdrdmdSm9

1.有關轉動慣量計算的幾個定理：2）平行軸定理Zh式中:關于通過質心軸的轉動慣量m是剛體質量,h是c到Z軸的距離是關于平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量C1）轉動慣量疊加ACZ式中:是A球對z軸的轉動慣量是B棒對z軸的轉動慣量是C球對z軸的轉動慣量B103）垂直軸定理0對于薄板剛體,薄板剛體對z軸的轉動慣量等于對x軸的轉動慣量與對y軸的轉動慣量之和。112.剛體定軸轉動定律的應用解：滑輪加速轉動，由轉動定律得：線量與角量關系：已知：滑輪M（看成勻質圓盤）半徑R物體：m求：a=?1.RmamgTTMω物體m加速運動：12Rm1m2已知：滑輪M（看成勻質圓盤）半徑R物體：m1

m2求：a=?am1gm2gT解：對否？T2T否則滑輪靜止或勻速轉動，而物體加速運動T1T2轉動定律線量與角量關系M2.T113θmO已知：例3.2勻質桿m長下落到θ時求：解：C轉動定律θθ對上式兩邊分別乘以dθ，再進行積分得：14質心運動定理：θmOCθθβ例3.3答案：轉到豎直位置時:F＝5mg/2（θ＝90°）15三、剛體定軸轉動中的動能定理OθdθrP剛體的轉動動能定軸轉動動能定理16已知：勻質桿M子彈m水平速度求：射入不復出解：對M,m系統(tǒng)：系統(tǒng)角動量守恒勻質桿的質心速度設桿長為合外力為零，系統(tǒng)動量守恒。對否？lω，，最大擺角θOMmcω17OMmcθ

在碰撞過程中，子彈和細棒的總機械能不守恒。

但碰撞后，在子彈隨細棒擺動過程中，只有重力做功，因此系統(tǒng)機械能守恒。以轉軸處為勢能零點。由始末狀態(tài)機械能相等得：183.3剛體的復合運動在以上對于剛體動力學的討論中，得到兩個結論：2.剛體的定軸轉動定律：1.質心運動定律：F是剛體所受合外力，ac是剛體質心加速度，m是剛體的質量。M是剛體所受合外力矩，α是剛體繞定軸轉動的角加速度，J是剛體的定軸轉動慣量。剛體的復合運動：可以分解為剛體的平動和剛體繞質心軸的轉動19一、質心系的角動量定理以質心O’為原點的參考系稱為質心參考系。設慣性系的原點為O質心系的角動量定理：是質點系中各質點所受外力對質心的力矩的矢量和即質點系的角動量定理在質心系中仍然成立。是質點系中各質點對質心的角動量之和

所以原來只對定軸轉動成立的轉動定律，對于通過質心的轉軸仍然成立20二、柯尼希定理

質點系相對于慣性系的總動能等于質點系的軌道動能和內動能之和?？紤]到重力勢能，有：對于剛體有：21例3.5如圖，質量為m，半徑為R的圓柱體沿斜面向下無滑動地滾動，試求它到達斜面下端時質心的速率。hNfmgs解法一.用能量守恒求解。ω是圓柱體在斜面底端時繞質心的角速率；22例3.5如圖，質量為m，半徑為R的圓柱體沿斜面向下無滑動地滾動，試求它到達斜面下端時質心的速率。hNfmgs解法二.用轉動定律求解