第1講：數(shù)學(xué)建模簡介

歡迎同學(xué)們參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參與競爭創(chuàng)新協(xié)作2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽·暑期培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模競賽第1講數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)組黃新仁

引例“三塊鋼板”的啟示第一塊鋼板的故事，是運(yùn)輸機(jī)飛行員講的。

在飛越駝峰航線，支援中國抗戰(zhàn)時(shí)，美軍的運(yùn)輸機(jī)隊(duì)常常遭到日軍戰(zhàn)斗機(jī)的偷襲。C－47運(yùn)輸機(jī)只有一層鋁皮，子彈常常穿透飛行員座椅，奪去飛行員的生命。情急之下，一些美軍飛行員在座椅背后焊上一塊鋼板。靠著這塊鋼板，他們保住了自己的性命。

第二塊鋼板的故事，來自一位將軍。諾曼底登陸時(shí)，美軍101空降師副師長唐·普拉特準(zhǔn)將乘坐的是滑翔機(jī)。起飛前，有人自作聰明，在副師長的座位下，裝上厚厚的鋼板，用來防彈。由于滑翔機(jī)自身沒有動力，與牽引的運(yùn)輸機(jī)脫鉤后，必須保持平衡滑翔降落，沉重的鋼板卻讓滑翔機(jī)頭重腳輕，一頭扎向地面，普拉特準(zhǔn)將成為美軍在當(dāng)天陣亡的唯一將領(lǐng)。

引例第三塊鋼板的故事，來自一位數(shù)學(xué)家。二戰(zhàn)后期，美軍對德國和日本法西斯展開大規(guī)模戰(zhàn)略轟炸，每天都有成千架轟炸機(jī)呼嘯而去，返回時(shí)，往往損失慘重?？哲娬垇砹藬?shù)學(xué)家亞伯拉罕·沃爾德。沃爾德把統(tǒng)計(jì)表發(fā)給地勤技師，讓他們把飛機(jī)上彈洞的位置報(bào)上來，然后在一大張白紙上畫出飛機(jī)的輪廓，再把那些小窟窿一個(gè)一個(gè)地添上去。畫完后大家發(fā)現(xiàn)，飛機(jī)渾身上下都是窟窿，只有飛行員座艙和尾翼兩個(gè)地方，幾乎是空白。飛行員們一看就明白了，如果座艙中彈，飛行員就完了；尾翼中彈，飛機(jī)失去平衡，就會墜落———這兩處中彈，轟炸機(jī)多半回不來，難怪統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是一片空白。因此，結(jié)論很簡單：只給這兩個(gè)部位焊上鋼板。

引例第一塊鋼板是機(jī)智的飛行員用它挽救了自己的生命。第二塊鋼板則是教訓(xùn)，它是用寶貴的生命換來的。第三塊鋼板是升華，用科學(xué)的方法，從實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)中提煉出規(guī)律，這塊講科學(xué)的鋼板，挽救了眾多飛行員的生命。

引例內(nèi)容提要什么是數(shù)學(xué)建模1建模實(shí)例講解4數(shù)學(xué)建模步驟及分類2建模競賽及其意義3什么是數(shù)學(xué)建模1實(shí)物模型符號模型物理模型水箱中的艦艇；風(fēng)洞中的飛機(jī)等；為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。

什么是數(shù)學(xué)建模什么是數(shù)學(xué)模型一般意義上的“模型”數(shù)學(xué)模型（mathematicalmodel)

什么是數(shù)學(xué)建模廣義上的數(shù)學(xué)模型：一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、方程式和算法系統(tǒng)等。如：萬有引力公式、牛頓第二定律、歐拉方程等。各種數(shù)學(xué)分支，如歐氏幾何、線性代數(shù)、微積分等。建模競賽中的數(shù)學(xué)模型：解決實(shí)際問題時(shí)所用的一種數(shù)學(xué)框架（或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)），如方程、計(jì)算機(jī)程序乃至圖標(biāo)和圖形。對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模（mathematicalmodeling)“新”名詞歷史悠久

什么是數(shù)學(xué)建模《九章算術(shù)》—最早的數(shù)學(xué)建模專著、收集了246個(gè)應(yīng)用題以問題集形式出現(xiàn)：一“問”—二“答”—三“術(shù)”—四“注”—你是什么時(shí)候開始知道有這個(gè)名詞的？提出問題給出問題的數(shù)值答案討論同類問題的普遍方法或算法說明“術(shù)”的理由，實(shí)質(zhì)指證明或佐證實(shí)踐與理論的橋梁

什么是數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答求解驗(yàn)證表述解釋實(shí)踐理論極端重要性科學(xué)技術(shù)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的必由之路。實(shí)際問題中，需要對研究對象提供分析、預(yù)報(bào)、決策或控制的定量結(jié)果。素質(zhì)教育和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的迫切需要。

什么是數(shù)學(xué)建模簡單的數(shù)學(xué)模型舉例【例1】（兔子繁殖模型）兔子出生兩個(gè)月后能生小兔。若每對兔子每次只生一對兔（一個(gè)月內(nèi)），問n個(gè)月后有多少對兔子？假設(shè)假設(shè)1：第一個(gè)月只有一對兔子。假設(shè)2：在一段時(shí)間內(nèi)不計(jì)兔子的死亡數(shù)。分析第一個(gè)月：有1對兔子；第二個(gè)月：小兔尚未成熟，不能生育，兔子總數(shù)為1對；第三個(gè)月：兔子生了1對小兔，共有兔子2對；第四個(gè)月：老兔子又生了1對小兔，而上月生的小兔尚未成熟不能繁殖，故該月兔子總數(shù)為3對；第五個(gè)月：有2對兔子每對生1對，另1對不能生育，該月共有兔子5對。如此推算得如下數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…——斐波拉契（Fibonacci）數(shù)列

什么是數(shù)學(xué)建模記Fn為數(shù)列的第n項(xiàng)，則有：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：（1）（2）證明：略兔子總數(shù)的數(shù)學(xué)模型

什么是數(shù)學(xué)建模注意：（1）上述模型的獲得過程使用了數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）此模型也可以用如下計(jì)算機(jī)程序語句表示：（3）兔子總數(shù)的數(shù)學(xué)模型

什么是數(shù)學(xué)建?！纠?】（哥尼斯堡七橋問題）18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個(gè)問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)？

什么是數(shù)學(xué)建模ABCD將A、B、C、D四個(gè)地方抽象成四個(gè)點(diǎn)，橋抽象成連接兩點(diǎn)的弧。原問題歸為：

從A、B、C、D中某一點(diǎn)出發(fā)能否構(gòu)成一筆畫的問題。要構(gòu)成一筆畫，則各節(jié)點(diǎn)連接的弧應(yīng)為偶數(shù)條。ABCD圖1圖2此題無解！為什么？因A、B、C、D都有奇數(shù)條弧與之連接。

什么是數(shù)學(xué)建模ABCDABCD圖1圖2歐拉關(guān)于一筆畫問題的重要結(jié)論：ABCD（1）連接奇數(shù)條弧的節(jié)點(diǎn)僅有一個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，不能一筆畫。（2）連接奇數(shù)條弧的節(jié)點(diǎn)僅有兩個(gè)時(shí)，則從兩個(gè)節(jié)點(diǎn)中的任一個(gè)出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)一筆畫。（3）每個(gè)節(jié)點(diǎn)都連接偶數(shù)條弧時(shí)，則從任一節(jié)點(diǎn)出發(fā)均能實(shí)現(xiàn)一筆畫，且回到出發(fā)點(diǎn)。圖3

什么是數(shù)學(xué)建模內(nèi)容提要什么是數(shù)學(xué)建模1建模實(shí)例講解4數(shù)學(xué)建模步驟及分類2建模競賽及其意義3數(shù)學(xué)建模步驟及分類2實(shí)際問題抽象、簡化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)根據(jù)某種規(guī)則，建立數(shù)學(xué)模型解析或近似地求解該數(shù)學(xué)模型分析并用實(shí)測數(shù)據(jù)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型符合實(shí)際投入使用不符合實(shí)際建模步驟

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用YESNO建模步驟詳細(xì)示意圖

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個(gè)比較清晰的“問題”

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型求解采用各種數(shù)學(xué)方法或計(jì)算軟件求解

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型分析如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、靈敏度分析、穩(wěn)定性分析等

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較；檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性。

數(shù)學(xué)建模步驟及分類建模所具備的知識數(shù)學(xué)知識1、高等數(shù)學(xué)2、線性代數(shù)3、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4、最優(yōu)化理論5、圖論6、組合數(shù)學(xué)7、微分方程穩(wěn)定性分析8、排隊(duì)論計(jì)算機(jī)知識1、綜合類：Matlab,Mathematic2、統(tǒng)計(jì)類：Spss,SAS,Statistics3、最優(yōu)解：Lindo,Lingo4、論文排版

數(shù)學(xué)建模步驟及分類常用的建模方法機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。如：牛頓第二定律統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題的研究方法。把定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。

數(shù)學(xué)建模步驟及分類模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型

數(shù)學(xué)建模步驟及分類3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、資源利用模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、社會學(xué)數(shù)學(xué)模型等4）按建模的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、圖論模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。

數(shù)學(xué)建模步驟及分類內(nèi)容提要什么是數(shù)學(xué)建模1建模實(shí)例講解4數(shù)學(xué)建模步驟及分類2建模競賽及其意義3建模競賽及其意義3全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(CUMCM)簡介全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM—ChinaUndergraduateMathe-maticalContestinModeling）主辦主辦教育部高等教育司（MOE）中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（CSIAM）主辦發(fā)展歷程1985年，起源于美國1989年，引入中國，并在少數(shù)重點(diǎn)高校舉行競賽1992年，中國舉辦第一屆全國競賽1992年至今，逐步發(fā)展壯大，影響力不斷增強(qiáng)

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義光輝足跡光輝足跡新加坡、香港美國、伊朗

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義光輝足跡歷年賽題2007C題：手機(jī)“套餐”優(yōu)惠幾何2007D題：體能測試時(shí)間安排2006C題：易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)設(shè)計(jì)2006D題：煤礦瓦斯和煤塵監(jiān)測與控制2005C題：雨量預(yù)報(bào)方法的評價(jià)2005D題：DVD在線租賃2004C題：飲酒駕車2004D題：公務(wù)員招聘2003C題：SARS的傳播2003D題：搶渡長江2008A題：數(shù)碼相機(jī)定位2008B題：高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討2009A題：制動器試驗(yàn)臺的控制方法分析

2009B題：眼科病床的合理安排2009C題：地面搜索2009D題：衛(wèi)星監(jiān)測2010A題：儲油罐變位識別與罐容表標(biāo)定2010B題：2010年上海世博會影響力的定量評估2010C題：輸油管的布置2010D題：對學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評價(jià)2011A題：血管的三維重建2011B題：公交車調(diào)度2011C題：基金使用計(jì)劃2011D題：衛(wèi)星監(jiān)測

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義每年的9月份中旬，時(shí)限72小時(shí)。比賽形式比賽時(shí)間“自由”式：跨年級、跨專業(yè)組隊(duì)，3人一隊(duì)；開放式：可通過圖書館、網(wǎng)絡(luò)查閱任何資料；通訊式：賽題通過網(wǎng)絡(luò)發(fā)送，答卷通過EMS傳遞。比賽題目來自物理、生物、醫(yī)學(xué)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事、管理等各學(xué)科領(lǐng)域的實(shí)際問題。題目2選1。創(chuàng)新精神，團(tuán)隊(duì)精神，重在參與，公平競爭！比賽宗旨假設(shè)合理，富于創(chuàng)造，結(jié)果正確，表述清晰等。評判標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義競賽的反響IBM中國研究中心-招聘條件Positiontitle:BusinessOptimization(BJ)

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--March26,2009,競賽的反響7、Awardinhighlyregardedmathematicalmodelingcontestisaplus.

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義競賽目的對學(xué)校：實(shí)現(xiàn)高校教育教學(xué)和人才培養(yǎng)模式的改革；對教師：增強(qiáng)科研意識，提升科研能力；對學(xué)生：培養(yǎng)創(chuàng)新精神，團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神等運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的能力；鍛煉想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨(dú)立進(jìn)行研究的能力；培養(yǎng)團(tuán)結(jié)合作的精神和協(xié)調(diào)組織的能力；勇于參與的競爭意識和不怕困難、奮力攻關(guān)的頑強(qiáng)意志。查閱文獻(xiàn)、收集資料及撰寫科技論文的文字表達(dá)能力；主辦參賽意義一次參賽，終身受益！建模競賽的重要意義

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義數(shù)學(xué)建模競賽培養(yǎng)了我對數(shù)學(xué)的一種強(qiáng)烈而又持久的興趣，我是外語系的學(xué)生，大一時(shí)選修“工科應(yīng)用數(shù)學(xué)”是出于興趣，而后在參加數(shù)學(xué)建模競賽的過程中，多次讓我強(qiáng)烈地體會到數(shù)學(xué)所散發(fā)的美感以及把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際后產(chǎn)生的巨大力量，這激發(fā)并強(qiáng)化了我對于數(shù)學(xué)的興趣，使我在本科四年中，無論自己專業(yè)的課程多么緊張，都沒有放棄過對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。現(xiàn)在我的研究生專業(yè)是“管理信息系統(tǒng)”，對數(shù)學(xué)的要求很高，如果當(dāng)初沒有在數(shù)模競賽的激勵(lì)下學(xué)習(xí)過多門數(shù)學(xué)系的課程，我將根本無法勝任現(xiàn)在的學(xué)習(xí)。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)建模競賽改變了我的一生.總之，通過數(shù)學(xué)建模我學(xué)到了很多，也長大了很多，數(shù)模對我的影響將是非常深遠(yuǎn)的，我也永遠(yuǎn)不會忘記，在大學(xué)時(shí)代和隊(duì)友們一起用演算紙和計(jì)算機(jī)構(gòu)造模型的日子。學(xué)生參賽體會（大連理工大學(xué)外語系楊楠）如果問參加數(shù)學(xué)建模競賽的最大的體會是什么？我想是創(chuàng)造與協(xié)作吧，一個(gè)非常實(shí)際的問題讓我們來解決，我們要了解其背景、找出其特性、歸納其解決方案，在這個(gè)過程中，沒有創(chuàng)造性是不行的，沒有想象力是不夠的，沒有團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神是不能完成任務(wù)的，一個(gè)人的智慧是有限的，而三個(gè)人的智慧遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了一個(gè)人的三倍，三個(gè)人共同奮斗，一起努力克服困難才是參賽的最大收獲。

參加這種與實(shí)踐密切相關(guān)的競賽還使我認(rèn)識到，在實(shí)踐中解決問題只有更好方案而沒有最好的方案，任何事物都有缺點(diǎn)，不存在完美的事物，這就培養(yǎng)了我們對于科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，不盲目跟從，凡事多問幾個(gè)為什么。從另一個(gè)角度講，數(shù)學(xué)與軟件的關(guān)系非常密切，可以說，一個(gè)問題的解答就構(gòu)成了一個(gè)軟件的相應(yīng)生成原理和基本構(gòu)架?？傊牙碚搼?yīng)用于實(shí)踐就是數(shù)學(xué)建模的真正意義。學(xué)生參賽體會（重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院劉啟濱）院士寄語數(shù)學(xué)建模（競賽）搞好數(shù)學(xué)建模競賽，造就大批應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，為振興中華而努力。——中國科學(xué)院曾慶存院士搞好數(shù)學(xué)建模競賽，造就大批應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，為振興中華而努力?！袊茖W(xué)院曾慶存院士

“工欲善其事，必先利其器”。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)就是現(xiàn)代的“器”。

——中國科學(xué)院谷超豪院士

“工欲善其事，必先利其器”。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)就是現(xiàn)代的“器”。

——中國科學(xué)院谷超豪院士建模與計(jì)算已成為科技工作中的關(guān)鍵工具。希望更多的大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽活動。

——中國科學(xué)院周毓麟院士題建模與計(jì)算已成為科技工作中的關(guān)鍵工具。希望更多的大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽活動。

——中國科學(xué)院周毓麟院士

……信息技術(shù)的發(fā)展很大程度上依賴數(shù)學(xué)方法。建模競賽有助于發(fā)現(xiàn)和造就一批優(yōu)秀人才。

——中國科學(xué)院、中國工程院院士王選

……信息技術(shù)的發(fā)展很大程度上依賴數(shù)學(xué)方法。建模競賽有助于發(fā)現(xiàn)和造就一批優(yōu)秀人才。

——中國科學(xué)院、中國工程院院士王選

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義搞好數(shù)學(xué)建模競賽，造就大批應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，為振興中華而努力。——中國科學(xué)院曾慶存院士開展數(shù)學(xué)建?；顒?，擴(kuò)大數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍。

——中國科學(xué)院張恭慶院士

“工欲善其事，必先利其器”。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)就是現(xiàn)代的“器”。

——中國科學(xué)院谷超豪院士開展數(shù)學(xué)建?；顒?，啟迪智慧，拓寬視野。

——中國科學(xué)院顧秉林院士建模與計(jì)算已成為科技工作中的關(guān)鍵工具。希望更多的大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽活動。

——中國科學(xué)院周毓麟院士題數(shù)學(xué)建?；顒訉ε囵B(yǎng)同學(xué)的競爭意識、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神是大有裨益的。望同學(xué)們奮力拼搏更上一層樓。

——中國科學(xué)院唐明述院士

……信息技術(shù)的發(fā)展很大程度上依賴數(shù)學(xué)方法。建模競賽有助于發(fā)現(xiàn)和造就一批優(yōu)秀人才。

——中國科學(xué)院、中國工程院院士王選創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題，拓廣數(shù)學(xué)應(yīng)用，促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

——中國科學(xué)院馬志明院士院士寄語數(shù)學(xué)建模（競賽）

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義常用網(wǎng)址全國組委會網(wǎng)址：全國組委會網(wǎng)址：全國組委會網(wǎng)址：賽才網(wǎng)：全國組委會網(wǎng)址：中國數(shù)模網(wǎng)：

數(shù)學(xué)建模競賽及其意義AB甲甲T1：某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿；次日早8時(shí)沿同一條路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)。為什么？

發(fā)散思維訓(xùn)練一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場。T2：37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問共需進(jìn)行多少場比賽？

發(fā)散思維訓(xùn)練T3：一天有個(gè)年輕人來到王老板的店里買了一件禮物這件禮物成本是18元，標(biāo)價(jià)是21元。結(jié)果是這個(gè)年輕人掏出100元要買這件禮物。王老板當(dāng)時(shí)沒有零錢，用那100元向街坊換了100元的零錢，找給年輕人79元。但是街坊後來發(fā)現(xiàn)那100元是假鈔，王老板無奈還了街坊100元。問：王老板在這次交易中到底損失了多少錢?

發(fā)散思維訓(xùn)練內(nèi)容提要什么是數(shù)學(xué)建模1建模實(shí)例講解4數(shù)學(xué)建模步驟及分類2建模競賽及其意義3建模實(shí)例講解4【實(shí)例2.1】四條腿的椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？初步分析必要假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。

數(shù)學(xué)建模實(shí)例進(jìn)一步分析及模型建立關(guān)鍵：用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性，用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地?cái)?shù)學(xué)體現(xiàn)：距離是的函數(shù)xBADCOD′C′B′A′直觀特點(diǎn)：椅腳與地面距離為零【實(shí)例1】椅子能在不平的地上放穩(wěn)嗎？正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()四個(gè)距離(四只腳)兩個(gè)距離D′C′B′A′用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)數(shù)對任意,f(),g()至少一個(gè)為0地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地【實(shí)例1】椅子能在不平的地上放穩(wěn)嗎？由上述分析得到如下數(shù)學(xué)問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.【實(shí)例1】椅子能在不平的地上放穩(wěn)嗎？模型求解（證明）將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~課后思考題：考慮四腳呈長方形的椅子，你如何解釋？和f(),g()的確定【實(shí)例1】椅子能在不平的地上放穩(wěn)嗎？為了促進(jìn)個(gè)人住房的商品化的進(jìn)程，我國1999年元月公布了個(gè)人住房公積金利率和個(gè)人住房商品化利率如下表所示：王先生要購買一套商品房，需要貸款25萬，其中公積金貸款10萬，分12年還清，商業(yè)性貸款15萬，分15年還清，每種貸款按月等額償還。問；（1）王先生每月應(yīng)還款多少？（2）用表格的方式給出每年年底王先生尚欠的款項(xiàng).（3）在第12年還清公積金，如果想把余下的商業(yè)性貸款一次性還清，應(yīng)付多少？【實(shí)例2】房屋貸款償還問題【實(shí)例2】房屋貸款償還問題銀行規(guī)定：住房貸款償還款項(xiàng)以復(fù)利計(jì)息；為避免壞賬，貸款者必須有穩(wěn)定的經(jīng)濟(jì)收入，有足夠的能力保證能按時(shí)償還。一、分析與假設(shè)假設(shè)1：王先生每月都能按時(shí)支付房屋貸款所需的償還款項(xiàng)；假設(shè)2：貸款期限確定后，公積金貸款月利率為L1，商業(yè)貸款月利率為L2均保持不變?！緦?shí)例2】房屋貸款償還問題符號假設(shè)：二、建立模型初始時(shí)刻公積金貸款數(shù)初始時(shí)刻商業(yè)性貸款數(shù)每月應(yīng)償還的公積金貸款數(shù)每月應(yīng)償還的商業(yè)性貸款數(shù)第K個(gè)月尚欠的公積金貸款數(shù)第K個(gè)月尚欠的商業(yè)性貸款數(shù)——————【實(shí)例2】房屋貸款償還問題下一個(gè)月尚欠的貸款數(shù)=

上一個(gè)月尚欠貸款數(shù)+應(yīng)付利息-該月的償還款數(shù)，即有（1）公積金貸款尚欠款數(shù)為：由于（1）（2）【實(shí)例2】房屋貸款償還問題對公積金貸款，分12年即144個(gè)月還清，有三、模型的解解得（4）取代入（4）式計(jì)算得（元）【實(shí)例2】房屋貸款償還問題同理，利用模型（3），算得每月償還的商業(yè)性貸款數(shù)為：（5）取代入（5）式計(jì)算得（元）

所以，王先生每月還款數(shù)為942.34+1268.2=2210.54元【實(shí)例2】房屋貸款償還問題在（2）和（3）中取k=12n，n=1,2,…,15，可計(jì)算出王先生每年年底尚欠的貸款數(shù)，列表如下：【實(shí)例2】房屋貸款償還問題為驗(yàn)證模型的正確性，做如下討論：四、模型的驗(yàn)證由模型（2）可得（6）（i）當(dāng)（即每月償還數(shù)大于貸款數(shù)的月息）時(shí)這表示對于足夠大的k能還清貸款。【實(shí)例2】房屋貸款償還問題（6）（ii）當(dāng)（即每月償還數(shù)等于貸款數(shù)的月息）時(shí)這表示所欠貸款數(shù)始終是初始貸款數(shù)。這表示所欠貸款數(shù)將逐月無線增大，永遠(yuǎn)無法還清。（iii）當(dāng)（即每月償還數(shù)小于貸款數(shù)的月息）時(shí)【實(shí)例2】房屋貸款償還問題五、應(yīng)用范圍模型（2）和（3）適用于各種金額、各種期限的住房貸款的償還計(jì)算，（4）和（5）是著名的分期償還公式?！緦?shí)例3】雙層玻璃的功效你注意到在寒冷的北方許多住房的玻璃窗都是雙層玻璃的嗎？請建立數(shù)學(xué)模型解釋這種現(xiàn)象。一、問題的提出比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們的差異僅僅在窗戶不同。如何建立模型來描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)(即流失)過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料作成的單層玻璃窗的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量的分析結(jié)果？【實(shí)例3】雙層玻璃的功效假設(shè)1：設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對流。假設(shè)2：室內(nèi)溫度T1與戶外溫度T2均為常數(shù)。假設(shè)3：玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。二、簡化假設(shè)三、模型的建立與求解設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k2，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為Q.

熱傳導(dǎo)公式：Q=kΔT/d

解得ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb代入(1)式,得(1)1、雙層玻璃的情形【實(shí)例3】雙層玻璃的功效dd室外T2室內(nèi)T1由模型（1）的建立，可同理得（一般）故2、單層玻璃的情形(2)由（1）與（2）相比較得(3)【實(shí)例3】雙層玻璃的功效記h=l/d，并令考慮到美觀和使用上的方便，h不必取得過大，例如，可取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的3%。(3)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)【實(shí)例3】雙層玻璃的功效功效來源于玻璃層間極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2.作為模型假設(shè)條件中的”空氣干燥,不流通”,實(shí)際環(huán)境不能完全滿足,因此實(shí)際功效會有偏差.四、模型評注【實(shí)例3】雙層玻璃的功效在超市的商品訂購等實(shí)際問題中，往往會遇到這樣的情況：若存儲量過大，會導(dǎo)致貯存費(fèi)太高，存儲量過小，會導(dǎo)致一次性訂購的費(fèi)用增加或者不能及時(shí)滿足需求。能否建立合適的商品訂購模型，使得訂購成本最低？已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。【實(shí)例4】存儲模型一、問題分析

每天生產(chǎn)一