《微分方程數(shù)值解法》復(fù)習(xí)練習(xí)題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《微分方程數(shù)值解法》復(fù)習(xí)練習(xí)題第一章復(fù)習(xí)題

1、建立差分格式的三個(gè)主要步驟（三個(gè)離散化）。2、差分格式的相容性、收斂性概念。

3、Poisson方程的5點(diǎn)菱形差分格式，矩形、非矩形區(qū)域情形邊界條件的處理（離散化）。

4、對(duì)長(zhǎng)方形區(qū)域作正方形網(wǎng)格剖分，求解Poisson方程邊值問(wèn)題的五點(diǎn)菱形差分格式，按什么順序?qū)?jié)點(diǎn)編號(hào)，可使差分方程帶寬更窄？（按短方向排）

5、差分方程有哪些共同特性，求解選用哪類(lèi)方法？（大型稀疏，帶狀，主對(duì)角占優(yōu)等，一般采用迭代法）多重網(wǎng)格等略。6、極值原理。

7、5點(diǎn)菱形差分格式求解Poisson方程第一邊值問(wèn)題的收斂性。

第一章練習(xí)題

1、設(shè)有邊值問(wèn)題

??u?x,0?x?0.3,0?y?0.2?u?ux?0.3?2y?1??x?0???u??2x?uy?0??1,??u??n??y?0.2???取h=0.1的正方形網(wǎng)格。

（1）用5點(diǎn)菱形格式在內(nèi)點(diǎn)建立差分格式；

（2）用截?cái)嗾`差為O(h)的方法離散化第三邊界條件（有兩種方式）；（3）寫(xiě)出整理后的差分方程的矩陣形式

2???????1

??uA????????uB????u?????C????u????D?????????2、定義方形算子如下：

ui,j?1u?ui?1,j?1?ui?1,j?1?ui?1,j?1?4ui,j?2?i?1,j?12h試探討5點(diǎn)方形差分方程ui,j?fi,j迫近微分方程?u?f(x,y)的截?cái)嗾`差是幾階？

???u?0,(x,y)????0?x,y?1?3、設(shè)有?，22?u???ln??(x?1)?y???取h=1/3，列出5點(diǎn)方形差分格式所得的差分方程。

其次章復(fù)習(xí)題

1、差分格式穩(wěn)定性與收斂性的定義。

2、有關(guān)求特征值的幾個(gè)結(jié)論。

3、判斷穩(wěn)定性的矩陣法和Fourier分析法（Von-Neumann條件）的應(yīng)用。4、顯隱格式在一般狀況下的優(yōu)缺點(diǎn)。

5、熟悉古典顯、隱格式，六點(diǎn)對(duì)稱(chēng)隱格式（C-N格式）。6、表達(dá)Lax等價(jià)定理。

7、高維拋物型方程的ADI格式的優(yōu)點(diǎn)。

8、了解非線(xiàn)性方程差分格式的建立，探討穩(wěn)定性的凍結(jié)系數(shù)法。

其次章練習(xí)題

?ut??ax1、設(shè)有求解拋物型方程組?的初值問(wèn)題的差分格式

v?auxx?t2

?1?uk?uk1jjkk??a2(vk?2v+v?j?1jj+1)??h?k?1k1k?1?vj?vjk?1k?1?a(u?2u+uj?1jj+1)2?h??試寫(xiě)出用Fourier分析法探討穩(wěn)定性時(shí)的增長(zhǎng)矩陣。

2、對(duì)上題考慮另一個(gè)差分格式

?1?uk?uk1jjkkkk?1k?1k?1???a2?(v?2v+v?)v(?v2v?j?1jj+1j?1jj++?1)???2h?

k?1k1?vj?vjkkkk?1k?1k?1???a(u?2u+u?)u(?u2uj?1jj+1j?1jj++?1)2??2h??試探討該格式的穩(wěn)定性。

3、對(duì)拋物型方程ut?auxx,a?0，考慮著名的DuFort-Frankel（1953）格式

?1?1uk?ukjj2??a1k?1?1k(uj?1?(uk?ukjj)+uj+1)2h(1)推導(dǎo)該格式是否滿(mǎn)足穩(wěn)定性的Von-Neumann條件？(2)該格式與Richardson格式有什么關(guān)系？

4、探討求解ut?uxx+uyy?cu,c?const.的古典顯格式的穩(wěn)定性。5、寫(xiě)出迫近

?u???u???a(x)?,a(x)?0的古典顯格式。?t?x??x??u?2u?iw2,i??1,w?R,w?const.的顯格式6、探討迫近?t?x?1kuk?ujj?3

?iwkkuk?2u+uj?1jj+1h2

的穩(wěn)定性。7、對(duì)初值問(wèn)題：

?ut?uxx?0,0?x?1,t?0??ut?0?0,0?x?1??u(0,t)?0,?u?0,t?0??xx?1?用截?cái)嗾`差為O(h2)的方法將右邊界條件離散化。

第三章復(fù)習(xí)題

1、設(shè)有一階擬線(xiàn)性雙曲型方程

a(x,t,u)?u?u?b(x,t,u)?c(x,t,u)?t?x（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征線(xiàn)方程及特征線(xiàn)上的微分關(guān)系；

（2）熟悉特征線(xiàn)差分計(jì)算過(guò)程。

2、一階雙曲型方程組的定義、正規(guī)形式、特征線(xiàn)及其上的微分關(guān)系。3、對(duì)?u?t?a?u?x?0，熟悉以下差分格式：

（1）L-F格式；（2）偏心差分格式；（3）C-I-R格式；（4）Leap-Frog格式；(5)L-W格式。

4、差分格式偏向與特征線(xiàn)走向的關(guān)系，CFL條件的幾何意義。

第三章練習(xí)題

1、設(shè)有?u?t?a?u?x?0,x?(??,??),0?t?T，

u(x,0)?x,???x??，取步長(zhǎng)h=0.2，??0.1，試合理選用一階偏

心差分格式（最簡(jiǎn)顯格式）計(jì)算u(x,t)在點(diǎn)(?0.2,0.2)處的近似值。2、設(shè)有?u?t?a?u?x?c，a，c為常數(shù)，考慮差分格式

4

(1?ar)uj+1?(1?ar)ujk?1k?1k?(1?ar)ukj+1?(1?ar)uj?2?c?0,r??h

試探討（1）該格式的穩(wěn)定性；（2）該格式的截?cái)嗾`差。

第四章復(fù)習(xí)題

1、空間完備性的概念。

2、Banach空間、Hilbert空間的概念。3、L2[a,b]定義、內(nèi)積、范數(shù)。

4、廣義導(dǎo)數(shù)的定義、唯一性，與古典導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。5、一階Sobolev空間H的定義、內(nèi)積、完備性；二階Sobolev空間H的定義、內(nèi)積、完備性。

6、變分法基本引理、結(jié)論。

7、由邊值問(wèn)題適選中取函數(shù)空間（集合），建立雙線(xiàn)性泛函與線(xiàn)性泛函，提出兩種變分問(wèn)題。

8、古典解與廣義解及其關(guān)系。

9、表達(dá)Hilbert空間中變分方程解的存在唯一性定理。

10、變分問(wèn)題的近似解描述以及Ritz-Galerkin方程的形式。11、傳統(tǒng)（古典）Ritz-Galerkin方法的主要缺點(diǎn)。12、三角形網(wǎng)格剖分的優(yōu)點(diǎn)和基本要求。

13、什么是單元形狀函數(shù)？試探函數(shù)？試探函數(shù)空間？

14、試探函數(shù)的兩個(gè)基本要求？屬