閱讀與欣賞(七)-平面幾何圖形的性質(zhì)在立體幾何中

平面幾何圖形的性質(zhì)在立體幾何中的應用[學生用書P140]三角形中位線定理的應用如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點M，N分別為A1C1，A1B的中點．設(shè)平面MNB1與平面BCC1B1的交線為l，求證：MN∥l.【證明】法一：(線面平行的判定和性質(zhì)方法)連接BC1，在△A1BC1中，點M，N分別為A1C1，A1B的中點，所以MN∥C1B，又MN?平面BCC1B1，C1B?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1，又因為MN?平面MNB1，平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，所以MN∥l.法二：(面面平行的判定和性質(zhì)方法)取A1B1的中點P，連接MP，NP.在△A1B1C1中，點M，P分別為A1C1，A1B1的中點，所以MP∥C1B1，又因為MP?平面BCC1B1，C1B1?平面BCC1B1，所以MP∥平面BCC1B1，同理可證NP∥平面BCC1B1，又因為MP∩NP＝P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，所以平面MNP∥平面BCC1B1，又因為MN?平面MNP所以MN∥平面BCC1B1.又因為MN?平面MNB1，平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，所以MN∥l.eq\a\vs4\al()三角形的中位線定理是立體幾何中證明線線平行最常用的一個定理，通過找中點，連接中點得出三角形的中位線，達到證明線線平行的目的，進一步實現(xiàn)證明線面平行、面面平行的目的．平行四邊形的判定及性質(zhì)的應用如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，點G，H分別為AC，BC的中點．求證：BD∥平面FGH.【證明】如圖，連接DG，CD，設(shè)CD∩FG＝O，連接OH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，點G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，所以點O為CD的中點．又因為點H為BC的中點，所以O(shè)H∥BD.又因為OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.eq\a\vs4\al()立體幾何中通常是先證明一個四邊形的一組對邊平行且相等，判定該四邊形為平行四邊形，則該四邊形的另一組對邊平行，也經(jīng)常運用平行四邊形的對角線互相平分，判定線段的中點．等腰三角形、正三角形性質(zhì)的應用(2017·高考全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．【解】(1)證明：取AC的中點O，連接DO，BO.因為AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.eq\a\vs4\al()等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，在立體幾何中常用該結(jié)論得出線線垂直．菱形性質(zhì)的應用如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)證明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．【解】(1)證明：連接BC1，則O為B1C與BC1的交點．因為側(cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.作OH⊥AD，垂足為H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC.因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形．又BC＝1，可得OD＝eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1，所以O(shè)A＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2).由OH·AD＝OD·OA，且AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝eq\f(\r(7),4)，得OH＝eq\f(\r(21),14).又O為B1C的中點，所以點B1到平面ABC的距離為eq\f(\r(21),7)，故三棱柱ABC-A1B1C1的高為eq\f(\r(21),7).矩形、正方形性質(zhì)的應用如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.【證明】(1)連接AC∩BD＝F，四邊形ABCD為正方形，F(xiàn)為AC中點，E為PC中點．所以在△CPA中，EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，ABCD為正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.又PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝eq\f(π,2)，即PA⊥PD，CD∩PD＝D，且CD，PD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC，又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.eq\a\vs4\al()矩形的四個內(nèi)角均為直角，兩組對邊分別平行，對角線互相平分，在正方形中對角線互相垂直平分，利用這些性質(zhì)可以得出垂直關(guān)系、平行關(guān)系、中點等需要的結(jié)論．梯形性質(zhì)的應用如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：平面BDE⊥平面BEC.【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD.由已知AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，所以MN∥AB，且MN＝AB.所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN.又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD.又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2eq\r(2).在△BCD中，BD＝BC＝2eq\r(2)，CD＝4，所以BC⊥BD.所以BC⊥平面BDE，又因為BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.eq\a\vs4\al()梯形只有一組對邊平行，在立體幾何中經(jīng)常出現(xiàn)兩個特殊的梯形．(1)直角梯形，其中梯形的上底等于直角腰長，等于下底長度的二分之一，該梯形的一條對角線垂直非直角腰；(2)等腰梯形，上底等于下底的二分之一，底角等于60°，該類梯形的兩條對角線垂直對應的腰．相似(全等)三角形性質(zhì)的應用如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中點，F(xiàn)在SE上，且SF＝2FE.求證：AF⊥平面SBC.【證明】由AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中點，得AE＝eq\r(2).因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE.在Rt△SAE中，SE＝eq\r(6)，所以EF＝eq\f(1,3)SE＝eq\f(\r(6),3).因此AE2＝EF·SE，又因為∠AEF＝∠AES，所以△EFA∽△EAS，則∠AFE＝∠SAE＝90°，即AF⊥SE.因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥SAE，則BC⊥AF.又SE∩BC＝E，所以AF⊥平面SBC.eq\a\vs4\al()利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，證明角的相等，求出線段長度之間的數(shù)量關(guān)系等．圓的性質(zhì)的應用如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A，B的一點，矩形ABCD所在平面垂直于該半圓所在的平面，且AB＝2AD＝2.(1)求證：EA⊥EC；(2)設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個交點為F，EF＝1，求三棱錐E-ADF的體積．【解】(1)證明：因為矩形ABCD⊥平面ABE，CB?平面ABCD且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABE，從而AE⊥BC，①又因為在半圓ABE中，AB為直徑，所以∠AEB＝90°，即AE⊥BE，②由①②知AE⊥平面BCE，故有EA⊥EC.(2)因為AB∥CD，所以AB∥平面DCE.又因為平面DCE∩平面ABE＝EF，所以AB∥EF，在等腰梯形ABEF中，EF＝1，AF＝1，∠AFE＝120°，所以S△AEF＝eq\f(1,2)×EF×AF×sin120°＝eq\f(\r(3),4)，VE-ADF＝VD-AEF＝eq\f(1,3)×S△AEF×AD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).eq\a\vs4\al()在與圓柱、圓錐、球等旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題中經(jīng)常用到圓的知識，主要有：(1)半圓上的圓周角是直角；(2)同弧上的圓心角為圓周角的二倍．勾股定理的應用(2016·高考全國卷Ⅱ)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)證明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱錐D′-ABCFE的體積．【解】(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，B