應(yīng)用離散數(shù)學(xué)集合與關(guān)系集合及其運算題庫試卷習(xí)題及答案

應(yīng)用離散數(shù)學(xué)集合與關(guān)系PAGE第3章:集合與關(guān)系§3.1集合與其運算習(xí)題3.11.判斷下列命題成真還是成假（這里表示空集） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）解成真地有:（1）（3）（4）（5）（8）（9）（10）（11）成假地有:（2）（6）（7）（12）2.設(shè),,,全集,求下列集合（1） （2）（3） （4）p(A)（5）p(A)-p(BC)解（1）={4}（2）={1,3,5,6}（3）={2,3,4,5,6}（4）p(A)={,{1},{4},{1,4}}（5）p(A)-p(BC)={{1},{1,4}}3.某班有25個學(xué)生,其中14人會打籃球,12人會打排球,6人會打籃球與排球,5人會打籃球與網(wǎng)球,還有兩人會打這三種球。已知6個會打網(wǎng)球地人中有4人會打排球。求不會打球地人數(shù)。解設(shè)A表示會打籃球地人地集合,B表示會打排球地人地集合,C表示會打網(wǎng)球地人地集合。據(jù)題意有:|A|=14,|B|=12,|AB|=6,|AC|=5,|ABC|=2,|C|=6,|BC|=4,據(jù)公式|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|=14+12+6-6-5-4+2=19所以不會打球地人數(shù)為25-19=6。所以有6個人不會打球。4.設(shè)是全集地任意子集,證明（1）分配律: （2）吸收律: ,（3）德·摩根律: ,（4）德·摩根律: （5）德·摩根律: 解用集合運算地定義方法證明:（1）A∩(B∪C)={x|xAxB∪C}={x|xA(xBxC)}={x|(xAxB)(xAxC)}=(A∩B)∪(A∩C)（2）A(AB)={x|xAxAB}={x|xA（xAxB）}={x|xA}=AA(AB)={x|xAxAB}={x|xA（xAxB）}={x|xA}=A（3）（AB）C={x|xE?（xAxB）}={x|?xA?xB}=A（4）（AB）C={x|xE?（xAxB）}={x|?xA?xB}=A（5）A?(B∩C)=(A?B)∪(A?C)設(shè)x∈A?(B∩C)

?(x∈A)∧(xB∩C)

?(x∈A)∧?[(x∈B)(x∈C)]

?(x∈A)∧(?(x∈B)?(x∈C))

?((x∈A)∧(xB))((x∈A)∧(xC))

?[(x∈A)∧(xB)][(x∈A)∧(xC)]?(x∈A?B)(x∈A?C)

?x∈(A?B)∪(A?C)5.設(shè)是任意集合,證明（1）（2）（3）（4）（5）（6）解（1）左式=(A∩Bc)∪(B∩Ac)

=[(A∩Bc)∪B]∩[(A∩Bc)∪Ac]=(A∪B)∩(Bc∪B)∩(A∪Ac)∩(Bc∪Ac)=(A∪B)∩E∩E∩(Ac∪Bc)

=(A∪B)∩(A∩B)c

=(A∪B)?(A∩B)（2）因為所以。（3）右式=(A?C)?(B?C)=(A∩Cc)∩(B∩Cc)c=(A∩Cc)∩(Bc∪C)=(A∩Cc∩Bc)∪(A∩Cc∩C)=(A∩Cc∩Bc)∪=A∩Cc∩Bc

=(A?B)?C=左式（4）(A?B)?C=(A?B)∩Cc=(A∩Bc)∩Cc=(A∩Cc)∩Bc=(A?C)–B（5）AB=(AB)(AB)=(AB)(ACBC)(AB)C=((AB)C)((AB)CCC)=((AB)(ACBC)))C)(((AB)(ACBC))CCC)=(ABC)(ACBCC)((ACBC)(AB))CC)=(ABC)(ACBCC)(ACBCC)(ABCCC)A(BC)=(BC)A用代替規(guī)則得=(BCA)(BCCCA)(BCCAC)(BCCAC)=左邊（6）因為所以。6.設(shè)是任意集合,證明 （1） （2） （3）針對（2）舉一反例,說明對某些集合是不成立地。解（1）設(shè)xp(A)∩P(B)?xP(A)∧xP(B)?xA∧xB?x∩A=x∧x∩B=x?x∩(A∩B)=x∩x=x?xA∩B?xp(A∩B)所以P(A)∩P(B)P(A∩B)另一方面,設(shè)xp(A∩B)?xA∩B?xA∧xB?xP(A)∧xP(B)?xp(A)∩P(B)所以P(A∩B)P(A)∩P(B)因此,結(jié)論成立。（2）設(shè)xp(A)∪P(B)?xP(A)∨xP(B)?xA∨xB?xA∪B?xA∪B?xp(A∪B)所以P(A)∪P(B)P(A∪B)因此,結(jié)論成立。（3）舉例:A={1,2},B={2,5}p(A)∪P(B)={,{1},{2},{5},{1,2},{2,5}}但是P(A∪B)={,{1},{2},{5},{1,2},{2,5},{1,5},{1,2,5}}7.設(shè)是任意集合,判斷下列式子是否正確。如果正確請給出證明,否則請舉一個反例。 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解（1）錯,如果A={1,2},B={2,3},C={1,2,3,4}（2）錯,如果A={1,2},B={2,3},C= （3）正確,用反證法證明,若,可不妨設(shè)。（a）若,則根據(jù)集合對稱差運算地定義,,,與矛盾。（b）若,則根據(jù)集合對稱差運算地定義,,,也與矛盾。所以。 （4）正確,用反證法證明,若不成立,則存在。（a）若,則,從而,與矛盾。（b）若,則,從而,也與矛盾。所以。（5）正確。ABAB=BCDCD=D(AC)（BD）=（AB）（CD)=BD從而ACBD（6）不正確。舉例:A={1,2},B={1,2,3},C={1,3},D={1,2,3}但是AC=BD8.假定全集（1）用位串表示下列集合: （2）寫出下列位串各自代表地集合 1111001111 0101111000 1000000001 解（1）=0011100000 =1010010001 =0111001110（2）1111001111={1,2,3,4,7,8,9,10} 0101111000 ={2,4,5,6,7}1000000001={1,10}9.說明怎樣用位串地按位運算求下列集合,其中,,,。 （1） （2） （3） （4）解在全集中考慮問題,則集合A地位串是:11111000000000000000000000,集合B地位串是:01110010000000010001010000,集合C地位串是:00101000100000100000100111,集合D地位串是:00011001100001100001100110,集合地位串是11111010000000010001010000,集合地位串是0111000000000000