初識(shí)極值點(diǎn)偏移

一、極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù) f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量 x都有f(x) f(2m x)，則函數(shù) f(x)關(guān)于直線 x m對(duì)稱；可以理解為函數(shù) f(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則 x m必為 f(x)的極值點(diǎn) .如二次函數(shù) f(x)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn) x0，若f(x) c的兩根的中點(diǎn)為 x1 x2，則剛好有x1x2 x0，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，2 2也就是極值點(diǎn)沒有偏移 .若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)足定義域內(nèi) x m左側(cè)的任意自變量 x都有

f(x)

f(x)f(2m

的極值點(diǎn)為x)或f(x)

m，且函數(shù)f(2m

f(x)滿x)，則函數(shù)f(x)極值點(diǎn)m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)12x,x滿足f(1)f(x2)，則x1x2與極值點(diǎn)m必有確定的大小關(guān)系：x2若mx12x2，則稱為極值點(diǎn)左偏；若mx1x2，則稱為極值點(diǎn)右偏.2如函數(shù)g(x)xx01剛好在方程g(x)x1x2的左邊，我們稱ex的極值點(diǎn)c的兩根中點(diǎn)2之為極值點(diǎn)左偏 .二、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：X.若函數(shù) f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn) x1,x2且x1 x2，求證： x1 x2 2x0（x0為函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)）；X.若函數(shù) f(x)中存在 x1,x2且x1 x2滿足 f(x1) f(x2)，求證： x1 x2 2x0（x0為函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)）；X.若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1x2，令x0x1x2，求證：f'(x0)0；2x1x2X.若函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2)，令x0，求證：2f'(x0)0.三、問(wèn)題初現(xiàn)，形神合聚2xx1,x2，且x1x2.★函數(shù)f(x)x2x1ae有兩極值點(diǎn)證明： x1 x2 4.所以h(2 x) h(2 x)，所以h(x1) h(x2) h[2 (x2 2)] h[2 (x2 2)] h(4 x2)，因?yàn)?2，2，在上單調(diào)遞減4x2h(x)(,2)x所以x1 4 x2，即x1 x2 4.★已知函數(shù)f(x)lnx的圖象C1與函數(shù)g(x)1ax2bx(a0)的圖象C2交于P,Q，2過(guò)PQ的中點(diǎn) R作x軸的垂線分別交 C1，C2于點(diǎn)M,N