概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習冊

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習冊院（系）班姓名學號第一章概率論的基本概念練習1.1樣本空間、隨機事件

一、寫出以下隨機試驗的樣本空間：

1.從兩名男乒乓球選手A,B和三名女乒乓球選手C,D,E中選拔一對選手參與男女混合雙打，觀測選擇結(jié)果。

2.10件產(chǎn)品中有4件次品，其余全是正品，從這10件產(chǎn)品中連續(xù)抽取產(chǎn)品，每次一件，直到抽到次品為止，記錄抽出的正品件數(shù)。

二、有三位學生參與高考，以Ai表示第i人考取（i?1,2,3）.試用Ai表示以下事實：1.至少有一個考?。?.至多64738291有兩人考取；3.恰好有兩人落榜。三、投擲一枚硬幣5次，問以下事件A的逆事件A是怎樣的事件？

1.A表示至少出現(xiàn)3次正面；2.A表示至多出現(xiàn)3次正面；3.A表示至少出現(xiàn)3次反面。四、袋中有十個球，分別編有1至10共十個號碼，從其中任取一個球，設(shè)事件A表示“取得的球的號碼是偶數(shù)〞，事件B表示“取得的球的號碼是奇數(shù)〞，事件C表示“取得的球的號碼小于5〞，則C,A?C,AC,A?C,A?B,AB分別表示什么事件？

五、在某系的學生中任選一名學生，令事件A表示“被選出者是男生〞；事件B表示“被選出者是三年級學生〞；事件C表示“被選出者是運動員〞。（1）說出事件ABC的含義；

（2）什么時候有恒等式A?B?C?C;(3)什么時候有關(guān)系式C?B正確;（4）什么時候有等式A?B成立。院（系）班姓名學號

練習1.2概率、古典概型

一、填空

1.已知事件A，B的概率P(A)?0.7,P(B)?0.6,積事件AB的概率P(AB)?0.4,則

P(A?B)?,P(A?B)?,P(A?B)?,

P(A?B)?,P(AB)?,P(A?AB)?.2.設(shè)A,B為兩個事件，P(B)?0.7,P(AB)?0.3,則P(A?B)?.3.設(shè)A,B為兩個任意不相容事件，,則P(A?B)?.

4.設(shè)A,B為兩個事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，則P(AB)?.5.已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率為.

二、設(shè)A,B是兩事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7,求

(1)在什么條件下，P(AB)取到最大值？(2)在什么條件下，P(AB)取到最小值？三、一批產(chǎn)品20件，其中3件次品，任取10件，求

(1)其中恰有一件次品的概率；(2)至少有一件次品的概率。

四、甲、乙兩艘油輪駛向一個不能同時停泊兩艘油輪的碼頭，它們都將在某日8時至20時抵達碼頭。甲輪卸完油要一小時，乙輪要兩小時。假設(shè)每艘油輪在8時到20時的每一時刻抵達碼頭的可能性一致。

1.求甲乙兩輪都不需等候空出碼頭的概率；

2.設(shè)A表示甲、乙同一時刻抵達碼頭，問A是否是不可能事件，并求P(A)。五、某年級有10名大學生是1986年出生的，試求這10名大學生中

1.至少有兩人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日過生日的概率。六、設(shè)P(A)?P(B)?11,P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，則A,B,C全不發(fā)461,求證：P(AB)?P(AB)2七、設(shè)A,B為兩個事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,求P(AB)。院（系）班姓名學號

練習1.3條件概率、全概率公式

一、填空

1.設(shè)A,B為兩個事件，P(A)?a,P(B)?b,P(B|A)?c,且a,b,c都是已知的小于1的正數(shù)，則P(AB)?，P(A?B)?,P(A?B)?,

P(AB|)?，P(B|A)?,P(B|A)?.2.設(shè)A,B為兩個事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,則P(AB)?.3.設(shè)A,B,C為一完備事件組，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,則P(C)?,P(AB)?.4.已知A1,A2,A3為一完備事件組，P(A1)?0.1，P(A2)?0.5，P(B|A1)?0.2，

P(B|A2)?0.6，P(B|A3)?0.1，則P(A1|B)?.5.設(shè)A,B為隨機事件，且P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B則P(AB｜A)?0.85，｜)?，P(A?B)?.二、一臺電子儀器出廠時，使用壽命1000小時以上的概率為0.6，1500小時以上的概率為0.4，現(xiàn)已使用了1000小時，求還能使用500小時以上的概率。

三、有十箱產(chǎn)品，已知其中三、二、五箱分別是第一、其次、第三車間生產(chǎn)的，各車間的次品率分別是0.2，0.1，0.05，現(xiàn)在任取一箱，再從中任取一件：

1.求此件為次品的概率；2.假使此件為次品，問是哪個車間生產(chǎn)的可能性最大？四、人群中患肝癌的概率為0.0004.用血清甲胎蛋白法檢查時，患有此病被確診的概率為0.95，未患被誤診的概率為0.01.問普查時，任一人被此法診斷為肝癌患者的概率有多大？？設(shè)此人被此法診斷為肝癌患者，問此人真患有肝癌的概率有多大？比未作檢查時的概率增大了多少倍？

五、有兩箱同型號的零件，A箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件；B箱內(nèi)裝30件，其中一等品18件.裝配工從兩箱中任選一箱，從箱子中先后隨機地取兩個零件（不放回抽樣）。求：(1)先取出的一件是一等品的概率；

(2)在先取出的一件是一等品的條件下，其次次取出的零件仍是一等品的概率。六、為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)（I）和（II），每種系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)（I）和系統(tǒng)（II）有效的概率分別為0.92和0.93.在系統(tǒng)（I）失靈的狀況下，系統(tǒng)（II）仍有效的概率為0.85，求兩個警報系統(tǒng)至少有一個有效的概率。

七、設(shè)一人群中有37.5%的人血型為A型，20.9%為B型，33.7%為O型，7.9%為AB型，已知能允許輸血的血型配對如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選一人為需要輸血者，問輸血能成功的概率是多少？（V：允許輸血；X：不允許輸血）。輸血者受血者A型B型AB型O型A型B型AB型O型

√×√××√√×√√√×√√√√院（系）班姓名學號

練習1.4獨立性

一、填空

1.將一枚骰子獨立地先后擲兩次，以X和Y分別表示先后擲出的點數(shù)，設(shè)

A=｛X+Y=10｝｛X?Y｝，B=,則

（1）P(B|A)?;(2)P(A|B)?；（3）P(A?B)?。2.設(shè)A,B為兩個相互獨立的事件，P(A)?0.2，P(B)?0.4，則P(A?B)?。3.P(A，A2，A3為相互獨立的事件,則1)?P(A2)?P(A3)?1/3,A1（1）A，A2，A3至少出現(xiàn)一個的概率為；1（2）A，A2，A3恰好出現(xiàn)一個的概率為；1（3）A，A2，A3最多出現(xiàn)一個的概率為。14.設(shè)P(A)?0.3，P(A?B)?0.6，那么：（1）若A,B為互不相容的事件，則P(B)?；（2）若A,B為相互獨立的事件，則P(B)?；（3）若A?B，則P(B)?.二、設(shè)5件產(chǎn)品中2件是次品3件是正品，對每件產(chǎn)品進行檢驗，令A表示被檢驗到的那件產(chǎn)品是次品，則P(A)?2/5,P(A)?3/5.對一件產(chǎn)品作檢驗可看成一次試驗，于是作了5次試驗，據(jù)二項概率公式可知，事件A恰好發(fā)生2次的概率為

?2??3?P5(2)?C?????0.3456.因此這5件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率為0.3456，另一方

?5??5?2523面這5件產(chǎn)品恰有2件次品是已有的事實，因此其概率為1，從而1=0.3456，請找出理由推翻此“等式〞。

三、甲、乙、丙三人各自去破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,試求：(1)恰有一人譯出的概率；（2）密碼能破譯的概率。

四、某種電阻的次品率為0.01，作有放回抽樣4次，每次一個電阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。

五、某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率。

六、加工某一零件共需要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是0.02，0.03，0.05，假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件是次品的概率是多少？

七、甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率。

八、若事件A,B相互獨立，證明A,B也相互獨立

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自測題（第一章）

一、填空（每空2分）

1.幾何概率中，每個樣本點的發(fā)生具有，而樣本點的個數(shù)是。2.若事件A,B,則稱A,B互斥。若又,則稱A,B互逆。

3.若事件A,B,則P(A?B)?P(A)?P(B),否則P(A?B)?P(A)?P(B)?.4.設(shè)

A,B為兩事件且P(A)?0，則?P(A)P(B|A),當A,B時，

P(AB)?P(A)P(B.)5.事件A發(fā)生，而事件B和C至少發(fā)生一個這一事實可表示成。事件A發(fā)生，必導致事件B和C至少發(fā)生一個這一事實可表示成。

6.A表示投擲10次錢幣時，至少出現(xiàn)4次正面，則A表示正面或反面。7.在圖書館任取一本書，設(shè)A=｛是數(shù)學書｝，B=｛是中文版的｝，C=｛90年后出版的｝，則當圖書館里時，有

A?B?C?A,當時，有

(A?B)?C??.

二、判斷正誤（每題3分）

1.若事件A的概率P(A)?0,則A??.()2.對任兩事件A,B，有P(A?B)?P(A)?P(AB).()

3.若A=｛男足球隊員｝，則A=｛女足球隊員｝。（）4.若事件A,B有關(guān)系A(chǔ)?B,則P(A)?P(B).()5.若事件A,B,C相互獨立，則A,B,C也相互獨立。()6.口袋中有四個球，其中三個球分別是紅、白、黃色的，另一個球染有紅、白、黃三色?，F(xiàn)從口袋中任取一球，觀測其顏色。令A=｛球染有紅色｝，B=｛球染有白色｝，C=｛球染有黃色｝，那么事件A,B,C相互獨立。()三、寫出以下兩個試驗的樣本空間（每題5分）

1.10件產(chǎn)品有3件是次品，其余均是正品。每次從中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出為止，記錄取的次數(shù)。

2.30名學生進行一次考試，觀測平均成績（個人成績采用百分制）。四、（12分）設(shè)兩相互獨立的事件A,B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P(A)。

五、（10分）一個班組有7男3女十名工人，現(xiàn)要派4人去學習，求4名代表中至少有2名女工的概率。六、（10分）甲、乙、丙三人獨立地破譯一個密碼，他們能單獨譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4，求此密碼未被丙譯出而甲、乙至少有一個譯出的概率。七、（12分）一種產(chǎn)品的正品率為0.96，使用一種簡易方法檢驗時，將正品判為正品的概率為0.98，將次品誤判為正品的概率為0.05。現(xiàn)任取一件用此法檢驗。1.求此件被判為正品的概率；2.當判為正品時，求此件確是正品的概率。院（系）班姓名學號

其次章隨機變量

練習2.1隨機變量及其分布函數(shù)

一、填空

1.隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是事件的概率。2．用隨機變量X的分布函數(shù)F(x)表達下述概率：P{X?a}?;P{X=a}?;

P{X?a}?;P{x1?X?x2}?.3.若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??，其中x1?x2,則P{x1?X?x2}?.二、分析以下函數(shù)中，哪個是隨機變量X的分布函數(shù)？

x??2?0,x?0?0,?1??F(x)?,?2?x?0F(x)???sinx,0?x??;(1)1;(2)2?1,?2x???2,x?0????0,x?0?1?1F(x)?x?,0?x??(3)3.

22?1?1,x???2?1,x?(1)?2F(X)?三、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)有如下形式：,試填上(1),(2),(3)項。?1?x??(2),x?(3)四、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)?A?B?arctgx,(???x??),求（1）A與B;(2)

P{?1?X?1}.

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練習2.2離散型隨機變量及其分布

一、填空

(1)設(shè)隨機變量X的分布列為P{X?k}?ak(k?1,2,?,N),則a?.N(2)設(shè)隨機變量X的分布列為1368Xpi則P{0.20.10.40.31?X?3}=.2(3)在一批10個零件中有8個標準件，從中任取2個零件，這2個零件中標準件的分布列是.(4）已知隨機變量X只能取-1,0,1,2四個數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為

1352,,,,則2c4c8c16cc=.(5)設(shè)隨機變量X的分布律為P{X?k}?a?kk!,(k?0,1,2,?),??0為常數(shù)，試確定a=.

二、設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽樣，以X表示取出的次品數(shù)，求X的分布列。

三、某一設(shè)備由一個獨立工作的元件構(gòu)成，該設(shè)備在一次試驗中每個元件發(fā)生故障的概率為0.1。試求出該設(shè)備在一次試驗中發(fā)生故障的元件數(shù)X的分布列。四、P{X?n}?1(n?1為自然數(shù)）是一隨機變量X的概率分布嗎？為什么？

n(n?1)五、一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查說明，在任一時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1，求在同一時刻

（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率；（2）至少有一個設(shè)備被使用的概率。

六、設(shè)每次射擊擊中目標的概率為0.001。假使射擊5000次，試求擊中兩次或兩次以上的概率。

七、有2500名同一年齡和同一社會階層的人參與了保險了保險公司的人壽保險。在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參與保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可以保險公司領(lǐng)取2000元賠償金，求：（1）保險公司蝕本的概率；

（2）保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。院（系）班姓名學號

練習2.3連續(xù)型隨機變量及其分布

一、填空

0?x?1;?x,?f(x)?X?a?x,1?x?2;，則a?.(1)設(shè)隨機變量的概率密度為

?0,其它。?(2)設(shè)X~N(?,?2),且P{??k??X???k?}?0.95,則k?。

?2x,0?x?1;,則P{0.3?X?0.7}?。

0,其它。?(3)設(shè)隨機變量X的概率密度f(x)??(4)設(shè)測量某一目標的距離時發(fā)生的隨機誤差為X（米），且X量中誤差的絕對值不超過30米的概率為。

~N(20,402)，則在一次測

(5)設(shè)電阻的阻值R為一個隨機變量，且均勻分布在900歐～1100歐，則R的概率密度函數(shù)

為，分布函數(shù)為。

?k(1?x2)?,?1x?1;(6)若隨機變量X的概率密度為f(x)??則k?,

?0,其它。1P{X?}?,P{0?X?2}?,P{0?X?2}?.22(7)設(shè)X聽從正態(tài)分布N(3,2),則P{2?X?5}?,P{?2?X?7}?,若

P{X?c}?P{X?c},則c?.

x?1?1000e,x?0;?(8)已知電氣元件壽命X聽從指數(shù)分布：f(x)??1000假設(shè)儀器裝有5個這

?0,x?0。?樣元件且其中任一個元件損壞時儀器即中止工作，則儀器無故障工作1000小時以上的概率為.

???cosx,??x?;?二、某學生求得一連續(xù)型隨機變量的概率密度為f(x)??22試問該學生

??0,其它。計算是否正確。

???cosx,0?x?;三、連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)??2試求分布函數(shù)F(x)及

??0,其它。P{?X?}.

42??

四、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)?Ae?|x|,???x???.求（1）系數(shù)A;(2)

P{0?X?1};(3)X的分布函數(shù)。

五、設(shè)某儀器有三只獨立工作的同型號電子元件，其壽命（小時）都聽從同一指數(shù)分布，概

x?1?600e,x?0;?率密度為f(x)??600試求在儀器使用的最初200小時內(nèi)，至少有一只元件

?0,x?0。?損壞的概率。

六、設(shè)隨機變量X在?2，5?上聽從均勻分布，現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率。

?bx,0?x?1,?1?七、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)??2,1?x?2,試確定常數(shù)b,并求其分布函數(shù)

?x??0,其它；

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練習2.4隨機變量函數(shù)的分布

一、填空

1.設(shè)X的分布列為X?1012341/121/61/31/121/41/12pi

則Y?1?X的分布列為。

若X?2n;?1,?1?2.設(shè)X可能取值為1，2，?,k,?,并設(shè)P{X?k}???,令Y??，

?2???1,若X?2n?1n?1,2,?.則Y的分布列為。

3.設(shè)X的概率密度為f(x),則Y?X的概率密度為。4.設(shè)X的概率密度為f(x)??3k?2x,0?x?1,?X,則Y?e的概率密度為。

?0,其它.5.若X1,X2,?,Xn是正態(tài)總體N(?,?2)的一組簡單隨機樣本，則

X?1(X1?X2???Xn)聽從。n?e?x,x?0,6.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)??則X的函數(shù)Y?X的概率密度

?0,x?0.?Y(y)?。

2二、設(shè)X～N(?,?),求證Y?3?X也聽從正態(tài)分布。5三、測量球的直徑，設(shè)其值聽從[a,b]上的均勻分布，求球的體積的分布密度。四、設(shè)隨機變量X聽從標準正態(tài)分布，求隨機變量Y?1?2|X|的分布密度。五、已知離散型隨機變量X的分布列為：X-21/5-11/601/511/15211/30P{X?ai}2試求：(1)Y?2X?1;(2)Y?X的分布列。

六、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)???2x,0?x?1,求Y?3X?1的概率密度。

?0,其它?2/[?(1?x2)],x?0,七、設(shè)隨機變量X的概率密度為fX(x)??求Y?lnX的概率密度。

0,x?0,?院（系）班姓名學號

自測題（其次章）

一、填空（每題4分）

1.將一枚勻質(zhì)硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則P{X?1}?。2.設(shè)X在[a,b]內(nèi)聽從均勻分布，則X落在[a,c](c?b)內(nèi)的概率為。3.設(shè)X的概率密度為f(x)???Csinx,0?x??,則C=。

?0,其它,?1?e?x,x?0,4.設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)??則X的概率密度為。

?0,x?0,5.若某電話交換臺每分鐘的召喚次數(shù)聽從參數(shù)為4的泊松分布，則每分鐘恰有8次召喚的概率為。

二、判斷正誤（每題4分）

x2(???x???)一定是某一隨機變量X的分布函數(shù)；（）1.函數(shù)F(x)?21?x2.設(shè)

X123

pi0.30.40.5

則它必為某隨機變量的分布列；（）

?4x3,0五、設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布律如下表：XY12?11/41/601/4a試求：（1）a的值；（2）(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).院（系）班姓名學號

練習3.2-3.3二維隨機變量的邊緣分布和條件分布

?Cx2y,x2?y?1,一、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)??

?0,其它1.試確定常數(shù)C；2.求邊緣概率密度。

二、設(shè)連續(xù)型隨機變量(X,Y)在以原點為中心，各邊平行于坐標軸，邊長為2a和2b的矩形內(nèi)聽從均勻分布，求：

1.(X,Y)的概率密度；2.關(guān)于X和Y的邊緣分布密度。

三、已知?的概率密度函數(shù)為P{??k}?(0.3)k(0.7)1?k,k?0,1,而且在??0及??1的條件下關(guān)于?的條件分布如下表：

?P{?|??0}P{?|??1}11/71/222/71/334/71/6試求：1.二維隨機變量(?,?)的聯(lián)合分布律；2.關(guān)于?的邊緣分布；

3.在??3的條件下關(guān)于?的條件分布律。四、設(shè)隨機變量(?,?)的概率密度f(x,y)???1,|y|?x,0?x?1,求條件概率密度

?0,其它f?|?(y|x),f?|?(x|y).

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練習3.4隨機變量的獨立性

一、填空

1.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示，則(p,q)?時，X與Y相互獨立。YX0122.離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：

?11/15q1/51p1/53/10(X,Y)P(1,1)1/6(1,2)1/9(1,3)1/18(2,1)1/3(2,2)(2,3)??若X與Y獨立，則??，??。二、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布為YX01

判斷X與Y是否相互獨立。

09/256/2516/254/25?32?xy,0?x院（系）班姓名學號

自測題(第三章)

一、填空（每題4分）

1.設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的分布律如表（1），則a?.2.設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的分布律如表（2），則P{X?1,Y?2}?.

2Y011X

1/61/310.10a11/920.30

21/181/9300.2

(1)(2)

3．設(shè)X與Y的分布律分別為

001YX

qqppkpkYX030.10.10400.201p0?p?1,p?q?1,且X與Y相互獨立，則(X,Y)的分布律為.

4.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X與Y均在[0，1]上聽從均勻分布，則(X,Y)的概率密度為.

二、（15分）設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為：

?ke?(2x?5y),x?0,y?0,f(x)??0,其它?(1)確定常數(shù)k;

(2)求(X,Y)的分布函數(shù)。

三、（10分）設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為：

?24y(1?x),0?x?1,0?y?x，求關(guān)于X、Y的邊緣分布密度。f(x)??0,其它?四、（15分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且它們的概率密度分別為：

?e?x,x?0,?2e?2y,,fY(y)??fX(x)???0,其它?0,y?0,其它

試求：1.(X,Y)的聯(lián)合分布密度與分布函數(shù)；2.P{0?X?1,0?Y?2}.

五、（10分）設(shè)隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為：

???siny,0?x?,0?y??sinx?F(x,y)??22

??0,其它求(X,Y)的概率密度，且問X與Y是否相互獨立？

六、（10分）設(shè)相互獨立的隨機變量X與Y的概率密度分別為：

xy?1?3?1?4?e,?e,x?0,,fY(y)??4fX(x)??3?0,?0,其它??y?0,其它

試求Z?X?Y的分布密度。

七、（10分）設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合分布是正方形G?{(x,y):1?x?3,1?y?3}上的均勻分布，試求隨機變量U?|X?Y|的概率密度f(u).

八、(14分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為：

?ce?(3x?4y),x?0,y?0,f(x)??0,其它?（1）確定常數(shù)c;

（2）求邊緣分布密度fX(x),fY(y);（3）求(X,Y)的聯(lián)合分布密度；（4）探討X與Y的獨立性；（5）求P{0?X?1,0?Y?2}.

院（系）班姓名學號

a)隨機變量的數(shù)字特征練習4.1數(shù)學期望

一、填空

1.設(shè)隨機變量X的分布律為：

012X?1pk0.20.10.30.4

則E(X)?;E(|X|)?;E(X2)?;E(2X)?.

x??1,?0,??arcsinx,??1x?則1,a?;2.隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)??a?b?1,x?1,?b?;E(X)?;E(X2)?.?k,0?x?1，0?y?1,3.設(shè)隨機變量(X,Y)的分布密度為：f(x,y)??

0,其它?則k?;E(X)?;E(Y)?;E(XY)?.

24.設(shè)隨機變量X~N(?,?),則E(|X??|)?.

x?0,?0,?35.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)??x,0?x?1,則E(X)?.

?1,x?1,?6.設(shè)P(X?n)?1,(n?1,2,?,),則E(X)?.2n(n?1)（X）7.若隨機變量X的期望E存在，則E[E[E（X）]]?.

8.設(shè)X1,X2,X3都聽從[0，2]上的均勻分布，則E(3X1?X2?2X3)?.9.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示，則E(X,Y)?.Y01/103/101/201/1017/201/102X-12

二、對一臺儀器進行重復測試，直到發(fā)生故障為止，假定測試是獨立進行的，每次測試發(fā)生故障的概率均為0.1，求試驗次數(shù)X的數(shù)學期望。三、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)???2(1?x),0?x?1，,試求數(shù)學期望E(X).

其它?0,四、對圓的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間[a,b]內(nèi)，求圓面積的數(shù)學期望。

l交x軸于B（0,a),其中a?0,過A點的直線l與y軸的夾角為?，五、平面上點A的坐標為

點，已知?在[0,?4]上均勻分布，求?OAB的面積的數(shù)學期望。

六、設(shè)X與Y是相互獨立的兩個隨機變量，密度函數(shù)分別為：fX(x)???2x,?0,f?e?(y?5),y?5，Y(y)??求E(XY).?0,其它.

0?x?1，其它；院（系）班姓名學號

練習4.2方差

一、填空

1.設(shè)X為隨機變量，且E（X）?1,E(X2)?2,則D(X)?_______.2.設(shè)X~N(0，?2)，則D(aX?b)?_______.

（X）?2.4,D（X）?1.44,則二項分布的參數(shù)3.已知隨機變量X聽從二項分布，且En?,p?。

（X）存在，且E4.設(shè)隨機變量X的期望E（X）?a,E（X2）?b,c為常數(shù)，則

D（cX)?.（X）?3，D（X）?5.設(shè)隨機變量X聽從某一區(qū)間上的均勻分布，且E度為,P{X?2}?,P{1?X?3}?.

1，則X的概率密3（X）?,6.設(shè)隨機變量X聽從參數(shù)為?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},則ED（X）?.

（X）?.7.設(shè)X為一隨機變量，若D(10X?1)?10,則DX2X21?1)?2?1)?,則8.設(shè)隨機變量X的期望EX為一非負值，且E(,D(222E（X）?。

29.若隨機變量X~N(?,?),則Y?X?3聽從分布。231??010.若隨機變量X1,X2,X3相互獨立，且聽從一致的兩點分布?則X??Xi服?，

i?1?0.80.2?（X）?,D（X）?.從分布，且E二、設(shè)隨機變量X的分布律為P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1為常數(shù)，

（X）求D。

?x?x2?2e2?,x?0（X）三、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)???，其中??0的常數(shù)，求D。

?0,x?0?四、（1）設(shè)隨機變量X1,X2,X3,X4相互獨立，且有E（Xi）?i,D(Xi)?5?i,i?1,2,3,4,設(shè)

2Y?2X1?X2?3X3?1（Y）X4,求D.

2

院（系）班姓名學號

第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

練習6.1隨機樣本

一、填空：

1.設(shè)X為總體，若X1,X2,?,Xn滿足條件和,則稱

X1,X2,?,Xn為從總體得到的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本。

2.

樣

本

均

值

X?__________,x?__________,樣本方差

S2?____________,s2?__________.

二、在五塊條件基本上一致的田地上種某種家作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求樣本均值和樣本方差。三、設(shè)總體X聽從均值為

1?的指數(shù)分布，X1,X2,?,Xn為X的一個樣本，求

E(X),E(S2).

四、設(shè)X1,X2,?,Xn為（0—1）分布的一個樣本，E(Xi)?p,D(Xi)?p(1?p),求

E(X),D(X),E(S2).

五、設(shè)總體X~b(1,p),X1,X2,?,Xn為X的一個樣本,p未知，求對每個

p(0?p?1),n應(yīng)取多大，才能保證E(X?p)2?0.01.院（系）班姓名學號

練習6.2抽樣分布一、已知總體X~N(?,?2),其中?已知而?未知，設(shè)X1,X2,?,Xn為取自總體X的一

個樣本，試指出下面哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量：

21.X1?X2???Xn;2.Xi?2?;3.X12?X2;

24.

1?2??Xi?1ni?X?2;5.X1??2;6.max{X1,X2,?,Xn}

二、從總體N(56,6.32)隨機抽取一容量為36的樣本，求樣本均值X落在50.8到53.8之間的概率。

?102?三、設(shè)X1,X2,?,X10為N(0,0.3)的一相樣本，求P??Xi?1.44?.

?i?1?210Xi?022提醒：令Yi?,則?Yi~?(10).

0.3i?1四、在總體N(80,202)中隨機抽取容量為100的樣本，問樣本均值與總體均值的差的絕對值大于3的概率是多少？

五、求總體N(20,3)的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值的絕對值大于0.3的概率。六、查表求出以下諸值：

22?0),t0.05(9),F0.1(10,9),F0.05(10,9),F0.90(28,2),F0.999(10,10).05(10),?0.09(15七、設(shè)X1,X2,?,X16是總體X~N(?,?)的一個樣本，

2?,?2為未知，而

x?12.5,s2?5.333,求P{|X??|?0.4}.

院（系）班姓名學號

練習7.1—7.2點估計和估計量的評價標準一、設(shè)X1,X2,?,Xn為N(0,?2)的一個樣本，求?的極大似然估計。二、設(shè)X1,X2,?,Xn為總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為

2

??x??1,03.當??2時，求?的極大似然估計量。

?2e?2(x??),x??六、（15分）設(shè)總體X的概率密度為f(x)??,其中??0是未知參數(shù)，從總

?0,x????min(X,X,?,X).體X中抽取簡單隨機樣本X1,X2,?,Xn，記?12n1.求總體X的分布函數(shù)F(x);2.求統(tǒng)計量??的分布函數(shù)F?(x)；?3.假使用??作為?的估計量，探討它是否具有無偏性。

練習1.1

一、1.??{(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)};2.{0,1,2,3,4,5,6}。二、1.A1?A2?A3;2.A1A2A3;3.A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

三、1.A={至多出現(xiàn)2次正面}；2.A={至少出現(xiàn)4次正面}；3.A={至多出現(xiàn)2次反面}四、C?{5,6,7,8,9,10};A?C?{1,2,3,4,6,8,10};AC?{2,4};A?C?{6,8,10};

A?B??;AB??

五、（1）該生是三年級男生但不是運動員；（2）當某系的運動員全是三年級男生時；

（3）當某系除三年級外其它年級的學生都不是運動員時；

（4）當某系三年級的學生都是女生，而其它年級都沒有女生時。

練習1.2

一、1.0.9，0.3，0.6，0.7，0.2，0.9；2.0.6；3.P(A);4.0.7;5.7/12.

二、當A?B??時，P(AB)取到最小值為0.3；當AB?A時，P(AB)取到最大值0.6。

1910221C3?C17C17p?三、p1?;.四、1.；2.A??，但P(A)?0.p?1-121010288C20C2023P36536410,p2?1?五、p1?1?.1010365365六、提醒：利用P(AB)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)].

七、P(AB)?1?P(AB),而P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A?B)?0.7?0.3?0.4.故P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6

練習1.3

一、1.ac;a?b?ac;a?ac;二、

acb?ac;1?c;.2.0.54;3.0.2,0;4.1/18;5.0.829,0.988b1?a2。三、1.0.105；2.第一車間。32；2.0.4856。六、0.988。七、61.98%。5四、0.010376，0.0376，90。五、1.

練習1.4

一、1.1/3,1/15,17/36;2.0.52;3.26/27,4/9,7/27;4.0.3,3/7,0.6.

二、5次試驗不是相互獨立的，不能用二項概率公式。三、1.

313；2.。

53023四、C4(0.01)2(0.99)2;C4(0.01)30.99?(0.01)4.五、0.104。六、0.09693

3七、設(shè)Ai?{甲進i球}，Bi?{乙進i球}，i?0,1,2,3,則P(八、略。

自測題（第一章）

?AB)?0.32076.

iii?0一、1.等可能性，無窮的；2.不可能同時發(fā)生，必然至少有一個發(fā)生；3.互斥，P(AB);4.P(AB),獨立；5.A(B?C),A?(B?C);6.至多3次，至少7次；7.數(shù)學書全是90年后出版的中文版的；有外文版90年或90年前出版的數(shù)學書。二、1.錯2.對3.錯4.對5.對6.錯。三、1.??{3,4,5,6,?,10};2.??{七、1.0.9428；2.0.9979。

練習2.1

217012300,,，?,}.四、。五、。六、

332030303030F(a)?F(a?0),1?F(a),F(x2)?F(x1);3.1?(???)一、1.{X?x};2.F(a)，二、（1）不是，由于limF1(x)?2;(2)不是，由于F2(x)?sinx在?x??????,??內(nèi)單調(diào)下降；2??（3）是，但F3(x)在x?0不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故既非連續(xù)型也非離散型隨機變量的分布函數(shù)。

三、（2）=1，（1）=（3）=0.四、（1）A?

111,B?;(2).P{?1?X?1}?.2?2一、1.

21?N??練習2.2

012X;2.0.3;3.

pi

1/4516/4528/45

4.2；5.e二、

Xpi

012

22/3512/351/35

三、

X01230.7290.2430.0270.001pi

四、是。五、1.0.0729；2.0.4095。六、1?e

?5?5e?5.七、1.0.000069;2.0.986305,0.615961.

練習2.3

?1,900?x?1100?一、1.2；2.1.96；3.0.4；4.0.4931；5.f(x)??200,

??0,其它x?900?0,?x?900?F(x)??,900?x?1100;6.3/4,0,1/2,1/2;7.0.5328,0.9710,3;8.e?5

?200x?1100??1,二、錯。

??0,x?0?2??三、F(x)??sinx,0?x?;1?;

22???1,x???21x?e,x?0?11?e?1?2四、1.A?;2.;3.F(x)??.

122?1?e?x,x?0??2x?0?0,?2?x,0?x?1?2?1五、1?e;六、20/27;七、b?1,F(x)??

31??,1?x?2?2x?1,x?2?

練習2.4

Y?3?2?1012

一、1.

pi1/121/41/121/31/61/12

1121?22.P{Y?1}?,P{Y??1}?;3.fY(y)?y3f(y3)；

3331?2?lny,?y?1?4.fY(y)??y；e?0,其它???2ye?y,y?025.N(?,?);6.?Y(y)??

??0,yx?0?0,?2二、1.錯；2.錯；3.錯；4.對。三、F(x)??q,0?x?1.四、0.6+0.4ln0.4?0.2ln0.4.

?1,x?1??1??5?5五、1?e；2.5e。六、fY(y)??3??

?y?f??,3a?y?3b4。七、3??50,其它練習3.1

?e?(x?y),x?0,y?012一、1.5；2.2??1;3.f(x,y)??;

ee?0,其它?24.F(x,y)?(?11x11yarctg)(?arctg);2?42?55.(1)F(b,c)?F(a,c);(2)F(a,b);(3)F(+?,a)?F(??,0);(4)1?F(a,b)?F(??,b)?F(a,??)

x?0或y?0?0,?1?,0?x?1且0?y?1?4二、F(x,y)??

?1,0?x?1且1?y或1?x且0?y?1?2?1,1?x且1?y?3653r22r(1?)三、。四、1.;2.2?R372R3R1;3x?1或y??1?0,?1/4,1?x?2,-1?y?0??2.F(x,y)??5/12,x?2,?1?y?0

?1/2,1?x?2,y?0?1?x且1?y??1五、1.a?

練習3.2-3.3

?75?212421?x(1?x),?1?x?1?y2,0?y?1一、1.C?;2.fX(x)??8;fY(y)??2

4??0,其它?0,其它?二、1.

?1,在給定的矩形內(nèi)?；2.f(x,y)??4ab??0,在給定的矩形外?1?,|x|?afX(x)??2a??0,其它；

?1?,|y|?b;fY(y)??2b??0,其它三、1.?123?012.

0.10.150.20.10.40.05?pi

123

0.250.30.45

1230.250.30.45?pi010.5450.455

??P{?|??3}010.5450.455

pi

?1?1?y,y?x?1??1?,|y|?x?1?1四、f?|?(y|x)??2x；f?|?(x|y)??,?y?x?1

??1?y?0,其它?0,其它??

練習3.4

一、1.(1/10,2/15);2.2/9,1/9.

?1?3y2,0?y?1?x,0?x?2二、是。三、fX(x)??2；fY(y)??

?0,其它??0,其它四、a?121,b?,c?.1896?1?124?x,?2?x?24?y2,?2?y?2??五、1.fX(x)??2?,fY(y)??2?;

??0,其它0,其它??2.X,Y不獨立。

?25e?5y,0?x?0.2,y?0六、1.f(x,y)??;2.0.3679

0,其它?

練習3.5

一、1.FZ(z)?FX(x)FY(y),FW(w)?1?[1?FX(x)][1?FY(y)]；

22.Z~N(a1?a2,?12??2);3.N(0,5)

二、

X?Ypi

357

0.180.540.28

0?z?1?z,?三、fZ(z)??2?z,1?z?2

?0,其它?四、提醒：利用{X?Y?Z}??{X?i,Y?Z?i}.

i?0z0,z?0??32?31?(1?z),0?z?1?3五、fZ(z)??z?z,0?z?1,fZ(z)??2

2??2?1,其它1,z?1???0,z?0六、fZ(z)??；七、略;八．(0.158)4?0.00063.?z?1?(z?1)e,z?0

自測題（第三章）

一、1.2/9;2.0.5;3.01XY0q2pq14.f(x,y)??pqp2?1,0?x?1,0?y?1

其它?0,?(1?e?2x)(1?e?5y),0?x,0?y二、1.k?10;2.F(x,y)??

0,其它??12x2(1?x),0?x?1?12y2(1?y)2,0?y?1三、fX(x)??,fY(y)??

0,其它0,其它???(1?e?x)(1?e?2y),0?x,0?y?2e?(x?2y),0?x,0?y四、1.f(x,y)??,F(x,y)??

0,其它其它??0,2.(1?e?1)(1?e?4)

???cosx?cosy,0?x?,0?y??五、f(x,y)??22,相互獨立。

?0,其它?11?z?z?3?4六、FZ(z)??e?e,z?0.

?0,其它??1?(2?u),0?u?2七、f(u)??2

?其它?0,?3e?3x,x?0?4e?4y,y?0八、1.12；2.FX(x)??,FY(y)??

0,其它0,其它???(