第六章三維變換與投影

孔令德三維變換與投影第六章三維幾何變換矩陣正交投影斜投影透視投影本章學(xué)習(xí)目標(biāo)6.1三維圖形幾何變換

6.2三維基本幾何變換矩陣

6.3三維復(fù)合變換

6.4坐標(biāo)系變換

6.5平行投影6.6透視投影

6.7本章小結(jié)本章內(nèi)容投影變換的分類(lèi)如圖6-1所示。投影就是從投影中心發(fā)出射線，經(jīng)過(guò)三維物體上的每一點(diǎn)后，與投影面相交所形成的交點(diǎn)集合，因此把三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槎S坐標(biāo)的過(guò)程稱為投影變換。根據(jù)投影中心與投影面之間的距離的不同，投影可分為平行投影與透視投影。投影中心到投影面的距離為有限值時(shí)得到的投影稱為透視投影，若此距離為無(wú)窮大，則稱為平行投影。平行投影又可根據(jù)投影方向與投影面是否垂直分為正投影與斜投影。本章重點(diǎn)介紹正交投影與透視投影。圖6-1投影變換的分類(lèi)同二維變換類(lèi)似，三維變換同樣引入了齊次坐標(biāo)技術(shù)，定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)以后，圖形變換就可以表示為圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。三維圖形幾何變換矩陣是一個(gè)4×4方陣，簡(jiǎn)稱為三維幾何變換矩陣。6.1三維圖形幾何變換

6.1.1三維幾何變換矩陣

（6-1）其中階子矩陣，對(duì)圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、反射與錯(cuò)切變換；對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；對(duì)圖形進(jìn)行投影變換；對(duì)圖形進(jìn)行整體比例變換。6.1.2三維幾何變換變換前圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為變換后圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為三維變換矩陣為三維幾何變換公式為

，可以寫(xiě)成（6-2）6.2三維基本幾何變換矩陣6.2.1平移變換（6-3）平移變換的坐標(biāo)表示為三維平移變換矩陣式中，Tx，Ty，Tz是平移參數(shù)。6.2.2比例變換比例變換的坐標(biāo)表示為三維比例變換矩陣式中，Sx，Sy，Sz是比例系數(shù)。（6-4）6.2.3旋轉(zhuǎn)變換（6-5）1.繞x軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)變換矩陣為2.繞y軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)為（6-6）（6-7）3.繞z軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)變換矩陣為旋轉(zhuǎn)變換矩陣為式中，β為正向旋轉(zhuǎn)角

6.2.4反射變換1.關(guān)于x軸的反射變換的坐標(biāo)為（6-8）2.關(guān)于y軸的反射變換的坐標(biāo)為（6-9）反射變換矩陣反射變換矩陣3.關(guān)于z軸的反射變換的坐標(biāo)為（6-10）4.關(guān)于xoy面的反射變換的坐標(biāo)為（6-11）反射變換矩陣為反射變換矩陣為5.關(guān)于yoz面的反射變換的坐標(biāo)為（6-12）6.關(guān)于xoz面的反射變換的坐標(biāo)為

（6-13）反射變換矩陣為反射變換矩陣為（6-14）1.沿x方向錯(cuò)切

（6-15）6.2.5錯(cuò)切變換三維錯(cuò)切變換的坐標(biāo)表示為三維錯(cuò)切變換矩陣b＝0，h＝0，c＝0，f＝0變換矩陣2.沿y方向錯(cuò)切

（6-16）3.沿z方向錯(cuò)切

（6-17）d＝0，g＝0，c＝0，f＝0d＝0，g＝0，b＝0，h＝0變換矩陣變換矩陣6.3三維復(fù)合變換

6.3.1相對(duì)于任一參考點(diǎn)的三維幾何變換

在三維基本幾何任意變換中，比例變換和旋轉(zhuǎn)變換是與參考點(diǎn)相關(guān)的。相對(duì)于任一參考點(diǎn)Q（x,y,z）的比例變換和旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)表達(dá)為復(fù)合變換形式。變換方法是首先將參考點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)作比例變換或旋轉(zhuǎn)變換，然后再進(jìn)行反平移將參考點(diǎn)平移回原位置。同二維復(fù)合變換類(lèi)似，三維復(fù)合變換是指對(duì)圖形作一次以上的基本幾何變換，總變換矩陣是每一步變換矩陣相乘的結(jié)果。，n>16.3.2相對(duì)于任意方向的三維幾何變換

變換方法是首先對(duì)任意方向做旋轉(zhuǎn)變換，使變換方向與某個(gè)坐標(biāo)軸重合，然后對(duì)該坐標(biāo)軸進(jìn)行三維基本幾何變換，最后做反向旋轉(zhuǎn)變換，將任意方向還原到原來(lái)的方向。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角的分步變換矩陣。它與3個(gè)坐標(biāo)軸上的方向余弦分別為，求空間P(x，y，z)繞例6-1已知空間矢量一點(diǎn)如圖6-2所示。P1θP0βαγP圖

6-2三維點(diǎn)繞空間矢量旋轉(zhuǎn)(1)將P0(x0，y0，z0)點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，(2)將繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)y角，與yoz平面重合（6-18）（6-19）變換矩陣變換矩陣(3)將繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)x角，與y軸重合（6-20）(4)將P(x，y，z）點(diǎn)繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角（6-21）變換矩陣變換矩陣（5）將繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)x角（6-22）（6）將繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)y

角（6-23）變換矩陣變換矩陣投影值為n1、n2、n3。取y軸上一單位矢量將其繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θx角，再繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θy角，則此單位矢量將同單位矢量（7）將P0(x0，y0，z0)點(diǎn)平移回原位置，（6-24）變換矩陣式中，sinθx、cosθx、sinθy和cosθy為中間變量。如果其值已知，則變換矩陣就全部確定了?？紤]矢量的單位矢量重合，其變換過(guò)程為，它在3個(gè)坐標(biāo)軸上的根據(jù)矢量相等，可得同時(shí)考慮到，逐步求解sinθx、cosθx、sinθy和cosθy。由n2知道?？紤]到單位矢量的方向余弦，有因此，

而，所以由，解得由，解得將sinθx、cosθx、sinθy和cosθy分別代入（6-20）、（6-23）、（6-22）和（6-24）即可計(jì)算出變換矩陣T2、T3、T5和T6。復(fù)合變換矩陣6.4平行投影平行投影（Parallelprojection）的最大特點(diǎn)是無(wú)論物體距離視點(diǎn)多遠(yuǎn)，投影后的物體尺寸保持不變。平行投影可分成兩類(lèi)：正投影與斜投影。當(dāng)投影方向與投影面垂直時(shí)，得到的投影為正投影，否則為斜投影。投影變換分類(lèi)6.4.1正投影矩陣設(shè)物體上任一點(diǎn)的三維坐標(biāo)為P（x,y,z），向xOy面做正投影后的三維坐標(biāo)為P’（x’,y’,z’），正投影的齊次坐標(biāo)矩陣表示為正投影變換矩陣（6-26）6.4.2三視圖

三視圖也是正投影視圖，包括主視圖、俯視圖與側(cè)視圖，投影面分別與y軸、z軸和x軸垂直。即將三維物體分別對(duì)正面V（xOz面）、水平面H（xOy面）和側(cè)面W（yOz面）做正投影得到3個(gè)基本視圖。圖6-3（a）為正三棱柱的立體圖，圖6-4（b）為正三棱柱的三視圖。

（a）立體圖（b）三視圖圖6-3正三棱柱及其三視圖1.主視圖將圖6-3（a）所示的正三棱柱向yOz面作正交投影得到主視圖。設(shè)正三棱柱上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在yOz面內(nèi)投影后的坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=0，y’=y，z’=z。主視圖投影變換矩陣（6-27）2.俯視圖將正三棱柱向xOz面做正投影得到俯視圖。設(shè)正三棱柱上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在xOz面內(nèi)投影后坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=x，y’=0，z’=z。投影變換矩陣為了在yOz平面內(nèi)表示俯視圖，需要將xOz面繞z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)變換矩陣俯視圖的變換矩陣為上述兩個(gè)變換矩陣的乘積俯視圖變換矩陣3.側(cè)視圖將正三棱柱向xOy面做正投影得到側(cè)視圖。設(shè)正三棱柱上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在xOy面內(nèi)投影后坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=x，y’=y，z’=0。（6-28）投影變換矩陣為了在yOz平面內(nèi)表示側(cè)視圖，需要將xOy面繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)變換矩陣側(cè)視圖的變換矩陣為上面兩個(gè)變換矩陣的乘積側(cè)視圖投影變換矩陣（6-29）用上述三視圖變換矩陣?yán)L制的三視圖效果如圖6-3（b）所示，三視圖雖然位于同一平面內(nèi)，卻彼此粘連。這對(duì)于使用多視區(qū)分別繪制主視圖、俯視圖和側(cè)視圖時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生影響，如圖6-4（a）所示。如使用單視區(qū)繪制的三視圖，必須強(qiáng)制將三個(gè)視圖分開(kāi)?？蓪⑷晥D分別相對(duì)于原點(diǎn)各平移一段距離，如圖6-4（b）中的tx、ty、tz所示。a）多視區(qū)三視圖（b）單視區(qū)三視圖圖6-4多視區(qū)與單視區(qū)正投影圖對(duì)三視圖的變換矩陣再施加平移變換。其中主視圖的平移參數(shù)是（0，ty，tz），俯視圖的平移參數(shù)是（0，-tx，tz），側(cè)視圖的平移參數(shù)是（0，ty，-tx）。主視圖平移矩陣俯視圖平移矩陣側(cè)視圖平移矩陣由于三視圖中物體的一個(gè)投影面平行于坐標(biāo)平面，其投影能夠真實(shí)地反映物體的實(shí)際尺寸，3個(gè)視圖具有長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的特點(diǎn)，因此，機(jī)械工程中常用三視圖來(lái)表達(dá)三維物體的尺寸和角度。圖6-5所示的3組三視圖中，盡管主視圖和側(cè)視圖完全相同，但俯視圖的細(xì)微差異卻導(dǎo)致了物體的三種不同的立體結(jié)構(gòu)。三視圖的使用者一般需要接受“畫(huà)法幾何”、“機(jī)械制圖”等專(zhuān)業(yè)課程的培訓(xùn)。圖6-5三視圖確定物體形狀6.4.3斜投影

將三維物體向投影面內(nèi)作平行投影，但投影方向不垂直于投影面得到的投影稱為斜投影。與正投影相比，斜投影具有較好的立體感。斜投影也具有部分類(lèi)似正投影的可測(cè)量性，平行于投影面的物體表面的長(zhǎng)度和角度投影后保持不變。如圖6-6所示。斜投影線P1P2與P2P3構(gòu)成夾角α，P2P3與x軸構(gòu)成的夾角為β。設(shè)P2P3的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則有P1(x,y,z)P2(x’,y’,0)P3(x,y,0)αβL圖6-6

斜投影原理斜投影正投影P。斜投影的坐標(biāo)為即齊次坐標(biāo)表示為（6-30）斜投影變換矩陣（6-31）取β＝45°，當(dāng)cotα=1時(shí)，即投影方向與投影面成α=45°的夾角時(shí)，得到的斜投影圖為斜等測(cè)圖。這時(shí)，垂直于投影面的任何直線段的投影的長(zhǎng)度保持不變。將α和β代入式（6-30），有（6-32）取β＝45°，當(dāng)cotα=1/2時(shí)，有α≈63.4°，得到的斜投影圖為斜二測(cè)圖，這時(shí)，垂直于投影面的任何直線段的投影的長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。將α和β代入式（6-30），有（6-33）立方體的斜等測(cè)圖如圖6-7（a）所示，斜二測(cè)圖如圖6-7（b）所示。從圖中可以看出，斜等測(cè)投影圖的三維真實(shí)感較強(qiáng)。圖6-7中所示三維坐標(biāo)系中的z軸并不真正垂直于xOy坐標(biāo)平面，而是使用與x軸或y軸成135°夾角的虛擬軸代替，因此所繪制的圖形也被稱為準(zhǔn)三維圖形。

（a）斜等測(cè)圖

（b）斜二測(cè)圖圖6-7斜投影圖視徑（R）視距（d）觀察者屏幕6.5透視投影

透視投影（perspective

projection）的特點(diǎn)是所有投影線都從與投影面相距有限遠(yuǎn)的空間一點(diǎn)投射，該點(diǎn)稱為視點(diǎn)或投影中心。離視點(diǎn)近的物體投影大，離視點(diǎn)遠(yuǎn)的物體投影小，小到極點(diǎn)消失，稱為滅點(diǎn)（vanishingpoint）。一般將屏幕放在觀察者與物體之間，如圖6-8所示。物體圖6-8透視投影中屏幕的位置投影線與屏幕的交點(diǎn)就是物體上一點(diǎn)的透視投影。觀察者的眼睛位置稱為視點(diǎn)，垂直于屏幕的視線與屏幕的交點(diǎn)稱為視心，視點(diǎn)到視心的距離稱為視距（如果視點(diǎn)放置照相機(jī)，則稱為焦距）。視點(diǎn)到物體的距離稱為視徑。視點(diǎn)代表人眼、照相機(jī)或攝像機(jī)的位置，是觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)。視心是屏幕坐標(biāo)系的原點(diǎn)。視距常用d表示，視徑常用R表示。6.5.1透視投影坐標(biāo)系圖6-9透視變換坐標(biāo)系透視投影中，物體中心位于世界坐標(biāo)系{Ow;xw,yw,zw}的原點(diǎn)Ow，視點(diǎn)位于觀察坐標(biāo)系{Ov;xv,yv,zv}的原點(diǎn)Ov，屏幕中心位于屏幕坐標(biāo)系{Os;xs,ys,zs}的原點(diǎn)Os。世界坐標(biāo)系、觀察坐標(biāo)系與屏幕坐標(biāo)系的關(guān)系如圖6-9所示。1.世界坐標(biāo)系世界坐標(biāo)系{Ow;xw,yw,zw}為右手直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)位于Ow點(diǎn)。視點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Ov（a，b，c），視點(diǎn)的球面坐標(biāo)表示為Ov（R，θ，φ）。OwOv的長(zhǎng)度為視徑R，OwOv與yw軸的夾角為φ，Ov點(diǎn)在xwOwzw平面內(nèi)的投影為M（a,c），OwM與zw軸的夾角為θ。視點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為，0≤R≤＋∞且且

2.觀察坐標(biāo)系觀察坐標(biāo)系{Ov;xv,yv,zv}為左手直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)取在視點(diǎn)Ov上。zv軸沿著視線方向OvOw指向Ow點(diǎn)，相對(duì)于觀察者而言，視線的正右方為xv軸，視線的正上方為yv軸。3.屏幕坐標(biāo)系屏幕坐標(biāo)系{Os;xs,ys,zs}也是左手直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)Os位于視心。屏幕坐標(biāo)系的xs和ys軸與觀察坐標(biāo)系的xv軸和yv軸方向一致，也就是說(shuō)屏幕垂直于視線，zs軸自然與zv軸重合。6.5.2三維坐標(biāo)系變換在進(jìn)行三維觀察時(shí)，需要將物體的描述從世界坐標(biāo)系變換到觀察坐標(biāo)系，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)視點(diǎn)可以觀察物體的全貌。同一種變換既可以看作是點(diǎn)變換也可以看作是坐標(biāo)系變換。點(diǎn)變換是物體上點(diǎn)的位置發(fā)生改變，而坐標(biāo)系位置固定不動(dòng)；坐標(biāo)系變換是描述物體的坐標(biāo)系位置發(fā)生改變，而物體的位置固定不動(dòng)。在{O;x,y,z}坐標(biāo)系中，給定平移參數(shù)為（Tx，Ty，Tz），將P點(diǎn)平移變換到P’點(diǎn)，這是點(diǎn)變換，如圖6-10（a）所示。P’（x’，y’，z’）P(x,y,z)（a）點(diǎn)變換如果用坐標(biāo)系變換表示上述平移變換，則是保持P點(diǎn)位置不動(dòng)，將{O;x,y,z}坐標(biāo)系的原點(diǎn)從O點(diǎn)平移到{O’;x’,y’,z’}坐標(biāo)系的原點(diǎn)O’點(diǎn)，坐標(biāo)系平移參數(shù)為（-Tx，-Ty，-Tz），如圖6-10（b）所示。P(x,y,z)(P’（x’，y’，z’）)（b）坐標(biāo)系變換1.平移變換矩陣式中，平移參數(shù)取為負(fù)值。（6-35）2.旋轉(zhuǎn)變換矩陣（1）繞x軸的逆時(shí)針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣（6-36）（2）繞y軸的逆時(shí)針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣（6-37）（3）繞z軸的逆時(shí)針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣（6-38）式中，β為旋轉(zhuǎn)角。坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換使用的是點(diǎn)變換的反向旋轉(zhuǎn)變換矩陣.3.反射變換矩陣直接采用點(diǎn)變換的反射變換矩陣。6.5.3世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換將世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ow平移到觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ov，然后將世界右手坐標(biāo)系變換為觀察左手坐標(biāo)系，就可以實(shí)現(xiàn)從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換。這里使用了坐標(biāo)系變換的概念。1.原點(diǎn)到視點(diǎn)的平移變換把世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ow平移到觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ov，形成新坐標(biāo)系{Ov;x1,y1,z1}，視點(diǎn)在世界坐標(biāo)系{Ow;xw,yw,zw}內(nèi)的直角坐標(biāo)為Ov（a，b，c），如圖6-11所示。圖6-11平移變換平移變換矩陣（6-39）1.繞y1軸的旋轉(zhuǎn)變換將坐標(biāo)系{Ov;x1,y1,z1}先繞y1軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得z1軸位于xwOwyw平面內(nèi)，且x1軸垂直于xwOwyw平面指向讀者。再繼續(xù)繞y1軸作90°－θ角的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換，使z1軸位于OvMOw平面內(nèi)，形成新坐標(biāo)系{Ov;x2,y2,z2}，如圖6-12所示。圖6-12繞y1軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換（6-40）旋轉(zhuǎn)變換矩陣3.繞x2軸的旋轉(zhuǎn)變換將坐標(biāo)系{Ov;x2,y2,z2}繞x2作90°－φ的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換，使z2軸沿視線方向，形成新坐標(biāo)系{Ov:x3,y3,z3}，如圖6-13所示。（6-41）圖6-13繞x2軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換4.關(guān)于y3Ovz3面的反射變換坐標(biāo)軸x3作關(guān)于y3Ovz3面的反射變換，形成新坐標(biāo)系{Ov;xv,yv,zv}，如圖6-14所示，這樣就將觀察坐標(biāo)系變換為左手系，并且zv軸沿著視線方向指向{Ow;xw,yw,zw}坐標(biāo)系的原點(diǎn)。圖6-14坐標(biāo)軸x3的反射變換反射變換矩陣變換矩陣觀察變換矩陣為（6-43）將世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)Pw（xw,yw,zw）變換為觀察坐標(biāo)系中的點(diǎn)Pv（xv,yv,zv），齊次坐標(biāo)矩陣表示為寫(xiě)成展開(kāi)式為（6-44）使用常數(shù)代替三角函數(shù)令，則有將k1～k8代入式（6-44）展開(kāi)（6-45）式（6-34）中的視點(diǎn)坐標(biāo)使用k1～k8統(tǒng)一表示為（6-46）使用式（6-45）可以繪制物體的三維旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)。改變，視點(diǎn)就會(huì)沿著緯度方向旋轉(zhuǎn)；改變?chǔ)?，視點(diǎn)就會(huì)沿著經(jīng)度方向旋轉(zhuǎn)；增大視徑R，視點(diǎn)遠(yuǎn)離物體，投影變?。粶p小視徑R，視點(diǎn)靠近物體，投影變大。6.5.4觀察坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的變換將描述物體的參考系從世界坐標(biāo)系變換為觀察坐標(biāo)系，如果需要在屏幕上畫(huà)出物體的投影，則需要進(jìn)一步將觀察坐標(biāo)系中描述的物體投影到屏幕坐標(biāo)系。如果只是簡(jiǎn)單地將三維物體頂點(diǎn)的z坐標(biāo)取為0，則在屏幕坐標(biāo)系可以觀察到物體的正交投影。如果需要在屏幕上繪制物體的透視投影，則需要將觀察坐標(biāo)系中的物體以視點(diǎn)為投影中心向屏幕坐標(biāo)系作透視投影。圖6-15中屏幕坐標(biāo)系為左手系，且zs軸與zv軸同向。視點(diǎn)Ov與視心Os的距離為視距d。假定觀察坐標(biāo)系中物體上的一點(diǎn)為Pv（xv,yv,zv），視線OvPv與屏幕的交點(diǎn)在觀察坐標(biāo)系中表示為Pe（xe,ye,d），其中，（xe,ye）在屏幕坐標(biāo)系中可表示為（xs,ys），即交點(diǎn)為Pe（xs,ys,d）。在屏幕坐標(biāo)系中，Pe（xs,ys,d）表示為Ps（xs,ys,0）代表物體上的Pv點(diǎn)在屏幕上的透視投影。圖6-15透視投影變換由點(diǎn)Pv向xvOvzv平面內(nèi)作垂線交于N點(diǎn)，再由N點(diǎn)向zv軸作垂線交于Q點(diǎn)。連接OvN交xs軸于M點(diǎn)。根據(jù)直角三角形MOvOs與直角三角形NOvQ相似，有（6-47）（6-48）根據(jù)直角三角形PsOvM與直角三角形PvOvN相似，有（6-49）由式（6-48）與（6-49）得到（6-50）將式（6-47）寫(xiě)成坐標(biāo)形式（6-51）將式（6-50）寫(xiě)成坐標(biāo)形式（6-52）于是有（6-53）寫(xiě)成矩陣形式為式中透視矩陣為式中投影矩陣為透視投影變換矩陣為（6-54）三維幾何變換分成4個(gè)子矩陣，其中子矩陣是投影變換。這里r＝1/d。

進(jìn)行的當(dāng)投影中心位于無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，透視投影轉(zhuǎn)化為平行投影。即d→∝時(shí)，r→0。從世界坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的透視投影整體變換矩陣為6.5.5透視投影分類(lèi)

圖6-16小路的透視投影透視投影中，與屏幕平行的平行線投影后仍保持平行。不與屏幕平行的平行線投影后匯聚為滅點(diǎn)，滅點(diǎn)是無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)在屏幕上的投影。每一組平行線都有其不同的滅點(diǎn)。坐標(biāo)軸上滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)。透視投影中主滅點(diǎn)數(shù)目是由屏幕切割坐標(biāo)軸的數(shù)量來(lái)決定，并據(jù)此將透視投影分類(lèi)為一點(diǎn)、二點(diǎn)和三點(diǎn)透視。一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即屏幕僅與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行；二點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即屏幕僅與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行；三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即屏幕與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交（a）一點(diǎn)透視（b）二點(diǎn)透視（c）三點(diǎn)透視

圖6-17透視投影圖滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)6.5.6立方體的透視圖設(shè)立方體的邊長(zhǎng)為2a，立方體體心位于用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)，立方體幾何模型如圖6-18所示。圖6-18立方體幾何模型1.一點(diǎn)透視當(dāng)φ＝90°，θ＝0°時(shí)，屏幕平行于xOz面，得到一點(diǎn)一點(diǎn)透視透視圖。將φ＝90°、θ＝0°，代入式（6-55），得到一點(diǎn)透視變換矩陣，立方體的一點(diǎn)透視圖如圖6-19所示。圖6-19一點(diǎn)透視投影一點(diǎn)透視變換矩陣（6-56）當(dāng)φ＝90°、0°＜θ＜90°時(shí)，屏幕與x軸和z軸同時(shí)相交，但平行于y軸，得到二點(diǎn)透視圖。將φ＝90°、θ＝30°代入式（6-55），得到二點(diǎn)透視變換矩陣，立方體的二點(diǎn)透視圖如圖6-20所示。1.二點(diǎn)透視圖6-20二點(diǎn)透視投影圖二點(diǎn)透視變換矩陣（6-57）1.三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視圖是屏幕與3個(gè)坐標(biāo)軸都相交時(shí)的透視投影圖。當(dāng)φ≠0°、90°、180°；且θ≠0°、90°、180°、270°時(shí)，屏幕與x軸、y軸和z軸都相交，得到三點(diǎn)透視圖。將φ＝45°、θ＝45°代入式（6-55），立方體的三點(diǎn)透視圖，如圖6-21所示。圖6-21三點(diǎn)透視投影圖三點(diǎn)透視變換矩陣為（6-58）6.5.7屏幕坐標(biāo)系的偽深度坐標(biāo)對(duì)于透視投影，場(chǎng)景中所有投影均位于以視點(diǎn)為頂點(diǎn)，連接視點(diǎn)與屏幕四角點(diǎn)為棱邊的沒(méi)有底面的正四棱錐內(nèi)。當(dāng)屏幕離視點(diǎn)太近或太遠(yuǎn)時(shí)，物體因變得太大或太小而不可識(shí)別。在觀察坐標(biāo)系內(nèi)定義視域四棱錐的zv向近剪切面和遠(yuǎn)剪切面分別為Near和Far，經(jīng)zv向裁剪后的視域正四棱錐轉(zhuǎn)化為正四棱臺(tái)，也稱為視景體或觀察空間，如圖6-22所示。6-22透視投影的觀察空間在屏幕坐標(biāo)系中用二維坐標(biāo)（xs,ys）繪