高考數(shù)學選擇題方法速解七大方法巧解選擇題

第一講選擇題速解方法——七大方法巧解選擇題題型解讀題型地位選擇題是高考數(shù)學試卷的三大題型之一．選擇題的分數(shù)一般占全卷的40%左右．解選擇題的快慢和成功率的高低對于能否進入做題的最佳狀態(tài)以及整個考試的成敗起著舉足輕重的作用．如果選擇題做得比較順手，會使應試者自信心增強，有利于后續(xù)試題的解答．題型特點數(shù)學選擇題屬于客觀性試題，是單項選擇題，即給出的四個選項中只有一個是正確選項，且絕大部分數(shù)學選擇題屬于低中檔題．一般按由易到難的順序排列，主要的數(shù)學思想和數(shù)學方法能通過它得到充分的體現(xiàn)和應用，并且因為它還有相對難度(如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等)，所以選擇題已成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一．其主要體現(xiàn)在以下三個方面：(1)知識面廣，切入點多，綜合性較強；(2)概念性強，靈活性大，技巧性較強；(3)立意新穎，構思精巧，迷惑性較強．由于解選擇題不要求表述得出結論的過程，只要求迅速、準確作出判斷，因而選擇題的解法有其獨特的規(guī)律和技巧．因此，我們應熟練掌握選擇題的解法，以“準確、迅速”為宗旨，絕不能“小題大做”．解題策略數(shù)學選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件．其解法的基本思想有以下兩點：(1)充分利用題干和選擇支提供的信息，快速、準確地作出判斷，是解選擇題的基本策略．(2)既要看到通常各類常規(guī)題的解題思想，原則上都可以指導選擇題的解答，更應看到，根據(jù)選擇題的特殊性，必定存在著一些特殊的解決方法．其基本做法如下：①仔細審題，領悟題意；②抓住關鍵，全面分析；③仔細檢查，認真核對．另外，從近幾年高考試題的特點來看，選擇題以認識型和思維型的題目為主，減少了繁瑣的運算，著力考查邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、選擇簡捷運算方法的能力，且許多題目既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解．所以做選擇題時最忌諱：(1)見到題就埋頭運算，按著解答題的解題思路去求解，得到結果再去和選項對照，這樣做花費時間較長，有時還可能得不到正確答案；(2)隨意“蒙”一個答案．準確率只有25%！但經(jīng)過篩選、淘汰，正確率就可以大幅度提高．總之，解選擇題的基本策略是“不擇手段”．例析方法一直接法直接對照型選擇題是直接從題設條件出發(fā)，利用已知條件、相關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，從而直接得出正確結論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確的選擇支．這類選擇題往往是由計算題、應用題或證明題改編而來，其基本求解策略是由因導果，直接求解．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例1))已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于()A．7 B．5C.－5 D．－7思維啟迪利用基本量和等比數(shù)列的性質，通過解方程求出a4，a7，繼而求出q3.答案D解析解法一：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，,a5a6＝a1q4·a1q5＝a\o\al(2,1)q9＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q3＝－2，,a1＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8.))∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q3＝－2，,a1＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8.))∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.探究提高直接法是解答選擇題最常用的基本方法.直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案.平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力，準確把握題目的特點.一般來說，涉及概念、性質的辨析或簡單的運算題目多采用直接法.跟蹤訓練1[2015·浙江高考]如圖，設拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)答案A解析由題可知拋物線的準線方程為x＝－1.如圖所示，過A作AA2⊥y軸于點A2，過B作BB2⊥y軸于點B2，則eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB2|,|AA2|)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).方法二概念辨析法概念辨析是從題設條件出發(fā)，通過對數(shù)學概念的辨析，進行少量運算或推理，直接選擇出正確結論的方法．這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性質，這需要平時注意辨析有關概念，準確區(qū)分相應概念的內涵與外延，同時在審題時要多加小心，準確審題以保證正確選擇．一般說來，這類題目運算量小，側重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設置的“陷阱”．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例2))已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，給出下列條件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝|a||b|；⑤xeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,2)yeq\o\al(2,1)≤2x1x2y1y2.其中能夠使得a∥b的個數(shù)是()A.1 B．2C.3 D．4思維啟迪本題考查兩個向量共線的定義，可根據(jù)兩向量共線的條件來判斷，注意零向量的特殊性．答案D解析顯然①是正確的，這是共線向量的基本定理；②是錯誤的，這是兩個向量垂直的條件；③是正確的，因為由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3b)＝λ(2a－b)，當λ≠eq\f(1,2)時，整理得a＝eq\f(λ＋3,2λ－1)b，故a∥b；當λ＝eq\f(1,2)時，易知b＝0，a∥b；④是正確的，若設兩個向量的夾角為θ，則由a·b＝|a||b|cosθ，可知cosθ＝1，從而θ＝0，所以a∥b；⑤是正確的，由xeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,2)yeq\o\al(2,1)≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，從而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.探究提高平行向量共線向量是一個非常重要和有用的概念，應熟練掌握共線向量的定義以及判斷方法，同時要將共線向量與向量中的其他知識例如向量的數(shù)量積、向量的模以及夾角等有機地聯(lián)系起來，能夠從不同的角度來理解共線向量.跟蹤訓練2設a，b，c是空間任意的非零向量，且相互不共線，則以下命題中：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|＋|b|>|a－b|；③若存在唯一實數(shù)組λ，μ，γ，使γc＝λa＋μb，則a，b，c共面；④|a＋b|·|c|＝|a·c＋b·c|.真命題的個數(shù)是()A.0 B．1C.2 D．3答案B解析由向量數(shù)量積運算不滿足結合律可知①錯誤；由向量的加減法三角形法則可知，當a，b非零且不共線時，|a|＋|b|>|a－b|，故②正確；當γ＝λ＝μ＝0時，γc＝λa＋μb成立，但a，b，c不一定共面，故③錯誤；因為|a·c＋b·c|＝|(a＋b)·c|＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉≤|a＋b|·|c|，故④錯誤．答案為B.方法三特例檢驗法特例檢驗(也稱特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，再對各個選項進行檢驗，從而做出正確的選擇．常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．特例檢驗是解答選擇題的最佳方法之一，適用于解答“對某一集合的所有元素、某種關系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例3))設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的長軸的兩端點分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點，則PM與PN的斜率之積等于()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)思維啟迪本題直接求解較難，運算量較大，可利用特殊位置進行求解，由P為C上異于M，N的任一點，故可令P為橢圓短軸的一個端點．答案B解析取特殊點，設P為橢圓的短軸的一個端點(0，eq\r(3))，又取M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(\r(3),－2)＝－eq\f(3,4)，故選B.探究提高用特殊值法解題時要注意：1所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；,2特殊只能否定一般，不能肯定一般；,3當選取某一特例出現(xiàn)兩個或兩個以上的選項都正確時，要根據(jù)題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到找到正確選項為止.跟蹤訓練3如圖，在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為(A.3∶1 B．2∶1C.4∶1 D.eq\r(3)∶1答案B解析將P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC－AA1B＝VA1－ABC＝eq\f(VABC－A1B1C1,3).故選B.方法四排除法數(shù)學選擇題的解題本質就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論．篩選法(又叫排除法)就是通過觀察分析或推理運算各項提供的信息或通過特例對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例4))[2016·山東濰坊模擬]已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠0}，且滿足f(x)＋f(－x)＝0，當x>0時，f(x)＝lnx－x＋1，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象為()思維啟迪結合函數(shù)的奇偶性、單調性、定義域、特殊自變量所對應函數(shù)值與零的大小等對選項進行驗證排除．答案A解析因為函數(shù)y＝f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠0}，且滿足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數(shù)，故排除C、D，又f(e)＝1－e＋1<0，所以(e，f(e))在第四象限，排除B，故選A.探究提高1對于干擾項易于淘汰的選擇題，可采用篩選法，能剔除幾個就先剔除幾個，如本例的圖象問題.2允許使用題干中的部分條件淘汰選項.3如果選項中存在等效命題，那么根據(jù)規(guī)定——答案唯一，等效命題應該同時排除.4如果選項中存在兩個相反的或互不相容的判斷，那么其中至少有一個是假的.5如果選項之間存在包含關系，要根據(jù)題意才能判斷.跟蹤訓練4函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx－1,\r(3－2cosx－2sinx))(0≤x≤2π)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)) B．[－1,0]C.[－eq\r(2)，－1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))答案B解析令sinx＝0，cosx＝1，則f(x)＝eq\f(0－1,\r(3－2×1－2×0))＝－1，排除A、D；令sinx＝1，cosx＝0，則f(x)＝eq\f(1－1,\r(3－2×0－2×1))＝0，排除C，故選B.方法五數(shù)形結合法根據(jù)題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，這種方法叫數(shù)形結合法，有的選擇題可通過命題條件的函數(shù)關系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，得出結論，圖形化策略是以數(shù)形結合的數(shù)學思想為指導的一種解題策略．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例5))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x>0.))若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________．思維啟迪研究函數(shù)零點的個數(shù)問題可轉化為圖象交點的個數(shù)，進而考慮數(shù)形結合法求解．答案(1,2)解析作出函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)圖象觀察出函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1＝a|x|的圖象交點的情況，然后利用判別式等知識求解．畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．函數(shù)y＝f(x)－a|x|有4個零點，即函數(shù)y1＝a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a>0)．當a＝2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1＝a|x|的圖象有3個交點．故a<2.當y＝a|x|(x≤0)與y＝|x2＋5x＋4|相切時，在整個定義域內，f(x)的圖象與y1＝a|x|的圖象有5個交點，此時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－ax，,y＝－x2－5x－4))得x2＋(5－a)x＋4＝0.當Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，則當1<a<2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點．故實數(shù)a的取值范圍是1<a<2.探究提高數(shù)形結合就是通過數(shù)與形之間的對應和轉化來解決數(shù)學問題.它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面.一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結合法.運用數(shù)形結合法解題一定要對有關函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇.跟蹤訓練5[2016·山東濟南模擬]若至少存在一個x(x≥0)，使得關于x的不等式x2≤4－|2x－m|成立，則實數(shù)m的取值范圍為()A.[－4,5] B．[－5,5]C.[4,5] D．[－5,4]答案A解析由x2≤4－|2x－m|可得4－x2≥|2x－m|，在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝4－x2(x≥0)，y＝|2x－m|的圖象如圖所示．①當y＝|2x－m|位于圖中實折線部分時，由CD：y＝－2x＋m與y＝4－x2相切可得m＝5，顯然要使得至少存在一個x(x≥0)，使得原不等式成立，需滿足m≤5；②當y＝|2x－m|位于圖中虛折線部分時，由AB：y＝2x－m過點(0,4)可得－m＝4，顯然要使得至少存在一個x(x≥0)，使得原不等式成立，需滿足－m≤4，即m≥－4.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為[－4,5].方法六構造法構造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚恚瑯嬙炫c問題相關的數(shù)學模式，揭示問題的本質，從而溝通解題思路的方法．eq\o(\s\up7(),\s\do5(例6))已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，且對于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有()A.e2016f(－2016)<f(0)，f(2016)>e2016B.e2016f(－2016)<f(0)，f(2016)<e2016C.e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)>e2016D.e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)<e2016思維啟迪根據(jù)選項的結構特征，構造函數(shù)，由函數(shù)的單調性進行求解．答案D解析構造函數(shù)g(x)＝eq\f(f(x),ex)，則g′(x)＝eq\f(f′(x)ex－(ex)′f(x),(ex)2)＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)，因為?x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且ex>0，所以g′(x)<0，故函數(shù)g(x)＝eq\f(f(x),ex)在R上單調遞減，所以g(－2016)>g(0)，g(2016)<g(0)，即eq\f(f(－2016),e－2016)>f(0)，eq\f(f(2016),e2016)<f(0)，也就是e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)<e2016f探究提高構造法求解時需要分析待求問題的結構形式，特別是研究整個問題復雜時，單獨摘出其中的部分進行研究或者構造新的情景進行研究.跟蹤訓練6若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列五個命題：①四面體ABCD每組對棱相互垂直；②四面體ABCD每個面的面積相等；③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°；④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分；⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長．其中正確命題的個數(shù)是()A.2 B．3C.4 D．5答案B解析構造長方體，使三組對棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對角線，在此背最下，長方體的長、寬、高分別為x，y，z.對于①，需要滿足x＝y(tǒng)＝z，才能成立；因為各個面都是全等的三角形(由對棱相等易證)，則四面體的同一頂點處對應三個角之和一定恒等于180°，故②正確，③顯然不成立；對于④，由長方體相對面的中心連線相互垂直平分判斷④正確；每個頂點出發(fā)的三條棱的長恰好分別等于各個面的三角形的三邊長，⑤顯然成立．故正確命題有②④⑤.方法七估算法由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程．因此，有些題目不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量，但是加強了