二元二次方程約束條件下的最值1

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一模試題分析之一

二元二次方程約束條件下的最值一道?？碱}的思考

湖州市2023年一模文科試卷中有下面一道試題：

已知x，y為實(shí)數(shù)，且?x?y??x?2y??1，則2x?y的最小值為．221.試題分析診斷此題形式幽美，入口平寬，解法眾多，是一道不可多得的好題.2.典型解法浮現(xiàn)

解法1（構(gòu)造一元二次方程）

設(shè)2x2?y2?t?0,則2x?y?t?t?x?y???x?2y?,化簡(jiǎn)整理，

2222得?t?2?x?txy??2t?1?y?0.當(dāng)y?0時(shí)，x2?1,此時(shí)t?2；

2?x??x?x5當(dāng)y?0時(shí)，?t?2????t????2t?1??0.當(dāng)t?2時(shí)，??；

y2?y??y?當(dāng)t?2時(shí)，關(guān)于

x2的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，故??t?4?t?2??2t?1??0，y即9t?12t?4?0，,解得t?22?232?232?23,或t?,由于t?0，故t?.3332?23.3綜上所述，2x?y的最小值為解法2（等比換元法）

22設(shè)x?y?t，則2x?y?，解得x?21t1?1?1?1?2t?,y?2t?????，3?t?3?t?22?1?1?1?1?1?22?23故2x?y??2t????2t????2t2?2???.9?t?9?t?3?t?9322解法3（均值不等式法）

?x?y??x?x?2y??x?y?x2x2?y22x?y??

x?2yx?y?x?y??x?2y??x?y??x?2y?222?x?y3x?2?x?y?2x?yx?2y22?23.??????x?2y3(x?y)3x?2y3(x?y)333.解法小結(jié)拓展

①形如Ax2?By2?Cx?Dy?Exy?F?0,(A,B,C,D,E,F為非零常數(shù)).

求Gx?Hy(G,H為非零常數(shù))或Ixy(I為非零常數(shù))或JJx2?Ky2（J,K為非零常數(shù)）的取值范圍時(shí)，一般令Gx?Hy?t或（Ixy?t），然后轉(zhuǎn)化成x（或y）的二次（或雙二次）方程，通過(guò)判別式以及韋達(dá)定理來(lái)處理，再求出t的取值范圍.

例①已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足關(guān)系式xy?x?y?1，則x2?y2的最小值為（）.A.3?22B.6?42C.1D.6?42②已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足關(guān)系式x?xy?y?1，則(x?y)2的最大值為（）.A.3B.6C.9D.12③若正數(shù)a,b滿(mǎn)足ab?1，求M?2211?的最小值.1?a1?2b經(jīng)過(guò)筆者細(xì)心研究，發(fā)現(xiàn)均可通過(guò)解法1，構(gòu)造一元二次方程的方法來(lái)統(tǒng)一求解.①解：由于x2?y2?(x?y)2?2xy?(x?y)2?2(x?y)?2，故只需研究x?y的取值范圍.即可令x?y?t，則y?t?x，代入xy?x?y?1，得x(t?x)?x?(t?x)?1，整理得關(guān)于x的方程x?tx?t?1?0，故??t2?4(t?1)?0，解得t?2?22或

2t?2?22（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?y?t222時(shí)取得），所以x?y?(x?y)?2(x?y)?2=2(t?1)2?3，結(jié)合圖像可得：當(dāng)x?1?2，y?1?2；或x?1?2，y?1?2時(shí)，x2?y2取到最小值6?42.

評(píng)注:由x?y?(x?y)?2xy?(xy?1)?2xy?(xy)?4xy?1，故也可以研究xy的取值范圍，再研究x?y的取值范圍，過(guò)程大體一致，同學(xué)們不妨一試.

②解：由于(x?y)?x?y?2xy?3(1?xy)，故只需研究xy的取值范圍即可.令

2222222222xy?t，當(dāng)x?0時(shí)，代入y2?3，此時(shí)，(x?y)2?3；當(dāng)x?0時(shí)，y?t，代入xx2?xy?y2?3，整理得關(guān)于x的雙二次方程x4?(t?3)x2?t2?0.設(shè)此方程的兩根分

2別為?,?，則??(t?3)2?4t2?0，解得?3?t?1，又x?0且???t2?0，故

?????(t?3)?0，即t?3，綜上可得?3?t?1.由(x?y)2?3(1?xy)?3(1?t)，

得0?(x?y)2?12，當(dāng)且僅當(dāng)x?y??1時(shí)，(x?y)2取得最小值0；當(dāng)且僅當(dāng)x?3，

y??3；或x??3，y?3時(shí)，(x?y)2取得最大值12.

ababba1aa2?2a?2M???????③解：由ab?1得，，

ab?aab?2bb?1a?2a?1a?2a2?3a?2整理得關(guān)于a的方程(M?1)a2?(3M?2)a?2(M?1)?0（a??1且a??2）.當(dāng)

M?1時(shí)，a?0，不合題意，舍去；當(dāng)M?1時(shí)，(M?1)a2?(3M?2)a?2(M?1)?0為一元二次方程，設(shè)此方程的兩根分別為?,?，故??(3M?2)2?8(M?1)2?0，即

M2?4M?4?0，解得M??2?22或M??2?22（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a??時(shí)取得），又?????3M?22(M?1)3M?22?0,???2?0，解得?M?1.綜上所述，

M?13?2?22?M?1,故當(dāng)且僅當(dāng)a?2，b?5.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練檢驗(yàn)

2時(shí)，M取得最小值為22?2.222例1已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足關(guān)系式2x?2y?2xy?x?y?1，求x?y的取值范圍.22解：令x?y?t?0，則y?t?x，代入2x?2y?2xy?x?y?1，整理得關(guān)于x的一

元二次方程2x?5tx?2t?t?1?0，設(shè)此方程的兩根分別為?,?，則

222t2?t?1?0，解得1?t?2??(?5t)?20(2t?t?1)?0，且????t?0,???522（其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?y?1時(shí)取得）.

A1x2?B1x?C1x②形如y?(A1A2?0),求y的取值范圍時(shí)，一般通過(guò)去分母，整理成2A2x?B2x?C2x關(guān)于x的一元二次方程.當(dāng)x為任何常數(shù)時(shí)，通過(guò)判別式??0，就可以求出y的取值范圍；當(dāng)x受到限制時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成給定范圍內(nèi)有解來(lái)處理.

x2?x例2求函數(shù)y?2中y的取值范圍.

x?x?12解：注意到x?x?1=(x?123)??0，故x為任意實(shí)數(shù)，變形整理得：24方程(y?1)x2?(1?y)x?y?0無(wú)解，不合題意，(y?1)x2?(1?y)x?y?0.當(dāng)y?1時(shí)，

舍去；當(dāng)y?1時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程(y?1)x2?(1?y)x?y?0有實(shí)數(shù)根，即??(1?y)2?4y(y?1)?0，解得?1?y?1.綜上所述,y的取值范圍是3?11?y?1.(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?時(shí)取得).

236.解法穩(wěn)定練習(xí)

回歸上面解法要領(lǐng)，嘗試完成下面問(wèn)題：

①已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)