2023屆北京市東城區(qū)高三第二學(xué)期綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)理

北京市東城區(qū)2023-2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（理科）2023.4本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)若集合,，則(A) (B)(C) (D)(2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知，且，則下列不等式一定成立的是(A) (B)(C)(D)(4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點（，），則的值為(A) (B) (C)(D)(5)設(shè)拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是2，則P到該拋物線焦點的距離是(A)1(B)2(C)3(D)4(6)故宮博物院五一期間同時舉辦“戲曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“歷代青綠山水畫展”、“趙孟頫書畫展”四個展覽．某同學(xué)決定在五一當(dāng)天的上、下午各參觀其中的一個，且至少參觀一個畫展，則不同的參觀方案共有(A)6種（B)8種（C)10種（D)12種(7)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，為其前項和，則“d>0”是“為遞增數(shù)列”的(A）充分而不必要條件（B)必要而不充分條件(C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件(8)某次數(shù)學(xué)測試共有4道題目，若某考生答對的題大于全部題的一半，則稱他為“學(xué)習(xí)能手”，對于某個題目，如果答對該題的“學(xué)習(xí)能手”不到全部“學(xué)習(xí)能手”的一半，則稱該題為“難題”．已知這次測試共有5個“學(xué)習(xí)能手”，則“難題”的個數(shù)最多為(A)4(B)3(C)2(D)1第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a2+c2=b2+ac，則B=.(10)在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離為.(11)若x，y滿足，則2x+y的最大值為.(12)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(13）設(shè)平面向量a,b,c為非零向量．能夠說明“若a?b=a?c，則b=c”是假命題的一組向量a,b,c的坐標(biāo)依次為.(14）單位圓的內(nèi)接正n(n≥3)邊形的面積記為，則f(3)=;下面是關(guān)于的描述：①②的最大值為③④其中正確結(jié)論的序號為．（注：請寫出所有正確結(jié)論的序號）三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x.（Ⅰ）求的最小正周期；(Ⅱ)求在上的最大值和最小值．(16)（本小題13分）從高一年級隨機(jī)選取100名學(xué)生，對他們期中考試的數(shù)學(xué)和語文成績進(jìn)行分析，成績?nèi)鐖D所示．(Ⅰ)從這100名學(xué)生中隨機(jī)選取一人，求該生數(shù)學(xué)和語文成績均低于60分的概率；(II）從語文成績大于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取兩人，記這兩人中數(shù)學(xué)成績高于80分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(Ill）試判斷這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差a與語文成績的方差b的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）(17)（本小題14分）如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將△PAD,△PBC沿PA,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖2．在三棱錐P-OAB中，E為PB中點．(Ⅰ)求證：PO⊥AB;(II）求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大小．(18)（本小題13分）已知橢圓（）的離心率為，且過點A(2,0).（Ⅰ）求橢圓的方程；(II）設(shè)M,N是橢圓上不同于點A的兩點，且直線AM，AN斜率之積等于，試問直線MN是否過定點？若是，求出該點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．(19)（本小題14分）已知函數(shù).若曲線在處的切線斜率為0，求a的值；(Ⅱ）若恒成立，求a的取值范圍；(Ⅲ）求證：當(dāng)a時，曲線(x>0)總在曲線的上方．(20)（本小題13分）在nXn(n≥2)個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表中，表示第i行第j列的數(shù)，記．若｛-1,0,1}()，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，兩兩不等，則稱此表為“n階H表”，記H={r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.(I）請寫出一個“2階H表”;(II）對任意一個“n階H表”，若整數(shù)，且，求證：為偶數(shù)；(Ⅲ）求證：不存在“5階H表”.北京市東城區(qū)2023-2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（理科）本試卷共頁,共分.考試時長分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.【答案】【解析】由題易知，故選2.【答案】【解析】,所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第二象限,故選3.【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增可知,故選4.【答案】【解析】由正切函數(shù)定義可知:，，故選5.【答案】【解析】在拋物線中,焦點準(zhǔn)線點到軸的距離為即故選6.【答案】C【解析】法一：種法二：種.故選C7.【答案】D【解析】充分條件的反例，當(dāng)，時，，，充分不成立.必要條件的反例，例，，，必要不成立.故選D.8.【答案】D【解析】由題意可知每位“學(xué)習(xí)能手”最多做錯道題，位“學(xué)習(xí)能手”則最多做錯道題.而至少有個“學(xué)習(xí)能手”做錯的題目才能稱之為“難題”，所以難題最多道.故選D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.【答案】【解析】,10.【答案】【解析】即求圓心到直線的距離，的圓心為.距離為.11.【答案】【解析】可行域如右圖所示：設(shè)即，當(dāng)過時，取最大值，所以.12.【答案】【解析】該幾何體如圖所示：可知,為等邊三角形,所以,所以四邊形的面積為,所以.13.【答案】，，（答案不唯一）【解析】設(shè)，，,則，，所以但，所以若，則為假命題。14.【答案】；①③④【解析】內(nèi)接正邊形可拆解為個等腰三角形，腰長為單位長度，頂角為.每個三角形的面積為，所以正邊形面積為.，①正確；正邊形面積無法等于圓的面積，所以②不對；隨著的值增大，正邊形面積也越來越大，所以③正確；當(dāng)且僅當(dāng)時，有，由幾何圖形可知其他情況下都有，所以④正確.解答題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，驗算步驟或證明.【解析】(Ⅰ)由題意得：,(Ⅱ)當(dāng)時，當(dāng)時,即時,取得最大值.當(dāng)時,即時,取得最小值.所以在上的最大值和最小值分別是和.【解析】（Ⅰ）由圖知有9名學(xué)生數(shù)學(xué)和語文成績均低于60分,則從100名學(xué)生中隨機(jī)選一人,該生數(shù)學(xué)和語文成績均低于60分的概率為.（Ⅱ）由題可知,的可能取值為0,1,2012（Ⅲ）17.【解析】（Ⅰ）由圖1知由圖2知重合于點.則面面面,又面（Ⅱ）由題知為等邊三角形過取延長作建立如圖空間直角坐標(biāo)系則易知面的法向量為設(shè)與平面夾角為則直線與平面所成角正弦值為（Ⅲ）由（Ⅱ）知面的法向量為設(shè)面法向量為易知為中點，，即令則則由圖知二面角為銳角，二面角為18．【解析】（Ⅰ），，過，，，，（Ⅱ）①當(dāng)斜率不存在時，設(shè)，則，，，又在橢圓上，，解得，，．②當(dāng)斜率存在時，設(shè)，與橢圓聯(lián)立，由得，，即，設(shè)，，則，，，，，或，當(dāng)時，，恒過不符合①，當(dāng)時，，結(jié)合①，恒過，綜上，直線恒過．19. 【解析】（Ⅰ），由題可得，即，故（Ⅱ）①當(dāng)時，恒成立，符合題意。②當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不符合題意，舍去；③當(dāng)時，令，解得當(dāng)變化時，和變化情況如下極小值，由題意可，即，解得。綜上所述，的取值范圍為（Ⅲ）由題可知要證的圖像總在曲線上方，即證恒成立，即要證明恒成立，構(gòu)造函數(shù)，令，故，則在單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增.因為，，由零點存在性定理可知，在存在唯一零點，設(shè)該零點為，令，即，且當(dāng)變化時，和變化情況如下極