第17講 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算（解析版）

第17講導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算初等函數(shù)的求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算初等函數(shù)的求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一：導(dǎo)數(shù)的概念：1．導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量，函數(shù)y相應(yīng)有增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。即：（或）【點(diǎn)石成金】：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；②導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。2．導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對于每一個(gè)，都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況?！军c(diǎn)石成金】：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3．導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)及其附近一點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y)，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y)沿曲線無限接近于點(diǎn)P(x0，y0)，即△x→0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng)△x→0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。【點(diǎn)石成金】：①若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。②，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。(3)曲線的切線方程如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：?？键c(diǎn)二：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），考點(diǎn)三：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）考點(diǎn)四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)?！军c(diǎn)石成金】：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)?！究键c(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01：導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用1、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)?！窘馕觥俊摺唷??！咀兪?-1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。【答案】（1），（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，∴所求切線的斜率為?！嗨笄芯€方程為，整理得5x+16y+8=0?！咀兪?-2】求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.【解析】設(shè).由f(1)=3，故切點(diǎn)為（1，3），切線方程為y―3=5(x―1)，即y=5x―2.考點(diǎn)02：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4【解析】（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）【變式2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）【變式2-1】求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）；（2）y=x2sinx;（３）y=；（４）y=【解析】（1）法一：去掉括號(hào)后求導(dǎo).法二：利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==考點(diǎn)03：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題3．求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），..（2），∴（3），.∴（4），，∴.【變式3-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；（2）（3）y=ln（x＋）；（4）【答案】(1)令,,（2）令（3）=＝（4）考點(diǎn)04：曲線的切線方程求解問題4．已知為偶函數(shù)，當(dāng)QUOTEQUOTEx<0x<0時(shí)，QUOTEQUOTEfx=ln-x+3xfx=ln-x+3x，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______________．【解析】當(dāng)時(shí)，，則．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【變式4-1】（2014碑林區(qū)校級(jí)一模）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，求實(shí)數(shù)的值.【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則解得：或，則切線的斜率或，若，此時(shí)切線的方程為由，消去，可得，其中，即解得：若，且切線方程為，由，消去可得又由可得解得：故.5.已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解析】(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．【變式】曲線在（0，1）處的切線與的距離為，求的方程.【答案】由題意知，∴曲線在（0，1）處的切線的斜率∴該切線方程為設(shè)的方程為，則，解得，或.當(dāng)時(shí)，的方程為；當(dāng)時(shí)，的方程為綜上可知，的方程為或.【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)01求導(dǎo)數(shù)的切線方程(1)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為__________．(2)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)【答案】(1)x－y－3＝0(2)B【解析】(1)f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，則f′(1)＝1，故該切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.（2）函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝eq\f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，則a＝2－eq\f(1,x).因?yàn)閤>0，所以2－eq\f(1,x)<2，所以a的取值范圍是(－∞，2)．【變式1-1】(1)已知曲線S：y＝－eq\f(2,3)x3＋x2＋4x及點(diǎn)P(0，0)，那么過點(diǎn)P的曲線S的切線方程為____．(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，過點(diǎn)A(－eq\f(1,e2)，0)作函數(shù)y＝f(x)圖像的切線，那么切線的方程為____．【答案】（1）y＝4x或y＝eq\f(35,8)x（2）x＋y＋eq\f(1,e2)＝0【解析】(1)設(shè)過點(diǎn)P的切線與曲線S切于點(diǎn)Q(x0，y0)，則過點(diǎn)Q的曲線S的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4，又當(dāng)x0≠0時(shí)，kPQ＝eq\f(y0,x0)，∴－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(y0,x0).①∵點(diǎn)Q在曲線S上，∴y0＝－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)＋4x0.②將②代入①得－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(－\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)＋4x0,x0)，化簡，得eq\f(4,3)xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝eq\f(3,4)或x0＝0，當(dāng)x0＝eq\f(3,4)時(shí)，則k＝eq\f(35,8)，過點(diǎn)P的切線方程為y＝eq\f(35,8)x.當(dāng)x0＝0時(shí)，則k＝4，過點(diǎn)P的切線方程為y＝4x，故過點(diǎn)P的曲線S的切線方程為y＝4x或y＝eq\f(35,8)x.(2)設(shè)切點(diǎn)為T(x0，y0)，則kAT＝f′(x0)，∴eq\f(x0lnx0,x0＋\f(1,e2))＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0.設(shè)h(x)＝e2x＋lnx＋1，則h′(x)＝e2＋eq\f(1,x)，當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴h(x)＝0最多只有一個(gè)根.又heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝e2×eq\f(1,e2)＋lneq\f(1,e2)＋1＝0，∴x0＝eq\f(1,e2).由f′(x0)＝－1得切線方程是x＋y＋eq\f(1,e2)＝0.【變式1-2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)若直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程．【解析】(1)由函數(shù)f(x)的解析式可知點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，∴切線的方程為y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)(方法1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又∵直線l過點(diǎn)(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．(方法2)設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(xeq\o\al(3,0)＋x0－16,x0).又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(xeq\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．(3)∵曲線f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴該切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))故切線方程為y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.易錯(cuò)02導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用2、已知函數(shù)，和直線，且．(1)求的值；(2)是否存在，使直線既是曲線的切線，又是曲線的切線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．【解析】：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直線m恒過定點(diǎn)(0,9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，則設(shè)切點(diǎn)為(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切線方程為y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將(0,9)代入切線方程，解得x0＝±1.當(dāng)x0＝－1時(shí)，切線方程為y＝9；當(dāng)x0＝1時(shí)，切線方程為y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1處，y＝f(x)的切線方程為y＝－18；在x＝2處，y＝f(x)的切線方程為y＝9，∴y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11；在x＝1處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10；∴y＝f(x)與y＝g(x)的公切線不是y＝12x＋9.綜上所述，y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9，此時(shí)k＝0.【變式2-1】已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線上一點(diǎn)的切線方程為__________________．【變式2-2】若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0(2)－e【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，則a＝f′(eq\f(π,4))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，當(dāng)P點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，則b＝1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)．故過曲線y＝x3上的點(diǎn)P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(3,0))，∴切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，∵P(a，b)在曲線y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(1－x0)，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切點(diǎn)為，∴此時(shí)的切線方程為，綜上，滿足題意的切線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切線的斜率k＝lnx0＋1，故切線方程為y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，與y＝2x＋m比較得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.【鞏固提升】1．已知函數(shù)，，若方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，進(jìn)而得到函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，若直線與的圖象相切，得到切點(diǎn)坐標(biāo)為和切線方程，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，且方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，作出在上的大致圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，若直線與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，可得切線過點(diǎn)，所以，解得或(舍去)，所以該切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以數(shù)形結(jié)合可得.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：把方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵.2．已知函數(shù)，若，使成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，可得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，得出不等式，求得；②當(dāng)時(shí)，求得的值域?yàn)椋瑵M足題意，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，①當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?，使成立，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，所以，即，解得，所以；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?，滿足對，使成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，（為的導(dǎo)函數(shù)）.若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)函數(shù)，求得時(shí)，，得到當(dāng)時(shí)，，得到函數(shù)的單調(diào)性，把任意的，恒成立，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由為偶函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋杂蓪θ我獾?，恒成立，可得，即，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.4．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A．7 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則，轉(zhuǎn)化為在直線上，根據(jù)表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，得到，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，設(shè)為函數(shù)在上的零點(diǎn)，則，即，即點(diǎn)在直線上，又由表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則，即，令，則，因?yàn)?，所以，可得函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.6．已知函數(shù).若方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把方程在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線在圖象的上方，故當(dāng)時(shí)，，由方程在區(qū)間上有解，可得在區(qū)間上有解，令，，則，因?yàn)椋?，則由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故先：C.【點(diǎn)睛】含參數(shù)的方程有解問題的處理方法常常是分參數(shù)法，通常將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，對于分子?分母都有對數(shù)式的式子的求導(dǎo)，常常需要變形，分離出常數(shù)，如本題中的函數(shù)，直接求導(dǎo)比較繁瑣，可變形轉(zhuǎn)化為，再求導(dǎo)就比較簡單.7．函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在一次函?shù)，使得對于任意的，都有恒成立，則稱函數(shù)是函數(shù)在上的弱漸進(jìn)函數(shù).下列結(jié)論正確的是（）①是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；②是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；③是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；④是在上的弱漸進(jìn)函數(shù).A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)弱漸進(jìn)函數(shù)的新定義，對4個(gè)命題分別構(gòu)建①由構(gòu)建關(guān)系，并分子有理化，由不等式性質(zhì)可知符合題意，正確；②由構(gòu)建關(guān)系，由雙勾函數(shù)值域可知不符合題意，錯(cuò)誤；③由構(gòu)建關(guān)系，取特值，不符合題意，錯(cuò)誤；④構(gòu)建關(guān)系，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求得值域，符合題意，正確.【詳解】①由于，因?yàn)?，所以，所以①正確；②設(shè)，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以②錯(cuò)誤；③設(shè)取特值，不符合，所以③錯(cuò)誤；④設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以；又時(shí)，，，即，所以，④正確.綜上，①④正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，需根據(jù)定義精準(zhǔn)對應(yīng)定義要求，屬于難題.8．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．存在唯一極值點(diǎn)，且B．恰有3個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D．若且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定，可判定A正確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在，單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，可判定B不正確；由，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判定C正確；由，化簡得到，結(jié)合單調(diào)性，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以A正確；由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)?，所以，函?shù)在單調(diào)遞減；又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)?，所以，函?shù)在單調(diào)遞減；又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在定義域內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；令，即，即，設(shè)，，可得，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，因?yàn)?，則，且過原點(diǎn)的直線，結(jié)合圖象，即可得到函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；由，若時(shí)，因?yàn)?，可得，即，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，同理可知，若時(shí)，可得，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.9．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（）A．的單調(diào)減區(qū)間是B．的極小值是C．當(dāng)時(shí)，對任意的且，恒有（a）（a）D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】由，知，令，得，，分別求出函數(shù)的極大值和極小值，知錯(cuò)誤，正確；由，且，令利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，再根據(jù)切割線的定義即可判斷，故正確；【詳解】解：，其導(dǎo)函數(shù)為．令，解得，，當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確；令，則故在上，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)切割線的定義可知，當(dāng)時(shí)，對任意的，恒有，即對任意的，恒有，即，故正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．10．關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】.【分析】設(shè)，當(dāng)和時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，得到，必有，解得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式，有無窮多個(gè)整數(shù)解，不符合題意；若時(shí)，無解，不符合題意；若時(shí)，可得，則必有，解得，所以，當(dāng)時(shí)，