(壓軸題)高中數(shù)學必修二第一章《立體幾何初步》測試卷(含答案解析)

一、選擇題1．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC120，22AP，ABAC4則三棱錐PABC的外接球的表面積是（）36．40．A18．72πD．BCABCDABCD的棱長為2，E為棱AA的中點，截面CDE交棱AB12．已知正方體11111于點F，則四面體CDFD的外接球表面積為（）139．41．43．C12．ABD444ABCDABCDC的棱長為2，E是CC的中點，則點到平面EBD的距離3．正方體為（）31111116．22D．5ABC．．24334．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）為（）4．AB．2D6．3C．45．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．24B．30C．47D．676EFCD．已知，是四面體的棱AB，的中點，過EF的平面與棱AD，BC分別相交于GH，，則（）BHAGBHGDAGH．平分EF，B．EF平分，GHHCGDHCAGBHAGBHGDHCAGC．EF平分，GHDGH．平分EF，HCGD7．如圖為某幾何體的三視圖，正視圖、左視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積是（）A．23C．638B．223D6．球面上有A,B,C三點，滿足ABAC214,BC27，則．已知球的半徑為，O5錐OABC的體三棱積為（）ABCD．147．77．142．714ABCDABCD9．在下面四個正方體中，點M、、均為NP所在棱的中點，過M、N、作正方體截面，則下列圖形中，平面MNP不與直線AC垂直的是（）PA．B．C．D．．設(shè)、是兩條不同的直線，是平面，、不在內(nèi)，下列結(jié)論中錯誤的是10mnmn（）n//n，則m//n．，Am．，，則mnBm．，，則mmnn//D．，Cmmn，則n//21111．如圖，長、寬、高分別為、、的長方體木塊上有一只小蟲從頂點出發(fā)沿著長方A體的外表面爬到頂點B，則它爬行的最短路程是（）3D．A10．B5．C．22為60，AB，ABl，A為垂足，CD，Cl，l12．已知二面角ACD45，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）1．2．43．41．ABCD42二、填空題ABCABC，ABBCAA42，若點是上底面P13．已知直三棱柱4，AC1111所在平面內(nèi)一動點，若三棱錐PABC的外接球表面積恰為411，則此時點構(gòu)PABC11成的圖形面積為________．ABCDABCD14．如圖，點E是正方體的棱DD的中點，點M在線段BD上運動，111111__________則下列結(jié)論正確的有．①直線AD與直線始終是異面直線CM1②存在點M，使得BMAE1③四面體的體積為定值EMAC時，平面EAC平面MAC④DM2MB當1AA2AB2AC215CAB90AB，則直線1．已知直三棱柱ABCABC1，，111與側(cè)面BCCB所成角的正弦值是______.11AOBC的大小，，記為二面角16AOB45中，已知．在正三棱錐OABC|m||mn|cosmn，其中，為整數(shù)，則以mn|n|，，分別為長、寬、高的長方__________．體的外接球直徑為17．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰三角形，則該幾何體的外接球表面_________.積為中，PAPB4，18PABC，AC8，ABBC．平面．在三棱錐BC42PABC的外接球，則球O是三棱錐PAB平面ABC，若球O的半徑為_________．19．如圖，已知ABC的頂點平面，點在平面的同一側(cè)，且CA,B5|AC|23,|BC|2．若AC,BC與平面所成的角分別為,，則ABC面積的124_____取值范圍是．二面角a,BFaF為垂足，為，20135，A，AEa，EB的大小為垂足，AE2,BF3，EF1，P是棱上動點，則APPB的最小值為_______．三、解答題正方形，PA底面21四棱錐中，底面是邊長為的1．如圖，在PABCDABCDABCD，PAAB，點是棱PD的中點.M1（）求證：平面；PB//ACM（）求三棱錐的體積PACM.2AB//CD,C60,AB2,BC3,CD6，點M．如圖，四邊形為梯形，22ABCD1在邊CD上，且CMCD．現(xiàn)沿AM將△ADM折起至AQM的位置，使3QB3．（）求證：QB平面ABCM；ⅠⅡAQM（）求直線BM與平面所成角的正弦值．ABCDABCDAA1AABB1，AB2，，直線BD與平面23．如圖，已知長方體1111130°AE所成的角為，垂直BD于E．1FAB動點，試確定F的位置使得平面，AE//BCF若為棱上的并說明理由；111（）（）若F為棱上的2AB11中點；求點A到平面BDF的距離；端點，除外），求二面角FBDA的大小的取值A(chǔ)B11（）若F為棱上的3AB11動點（范圍．24．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是DAB60ABCDa且邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若為AD的中點，為GEBC的中點．1（）求證：BG//平面PDE；使平面DEF平面，若存在，F(xiàn)2（）在棱上是否存在PCFABCD一點，確定點的位置；若不存在，說明理出．25．如圖，在平面四邊形中，AABCCABCAA90MAC，在直線上，AAAC，ABAMMC，AAC繞AC旋轉(zhuǎn)．（）若AAC所在平面所在平面垂直，求證：平面．AC1與ABCAABAACB2（）若二面角大小為60，求直線AB與平面所ABM成角的正弦值．△PAC中，是邊長為的正三角形，是以262．如圖，已知在三棱錐PABCABCAC為斜邊的等腰直角三角形，若直線PB與平面ABC所成的角為．6（）若PBPC，求證：平面平面；PACABCⅠ（）若PBPC，求直線AB與平面所成角的正弦值．PACⅡ***【參考答案】試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】ABC先找出ABC的外接圓的半徑，然后取ABC的外接圓的圓心N，過N作平面的NGPANG于O，則O是外接球球心，為外接球半徑，求解半OA的中垂線，表面積即可.【詳解】垂線，作交徑并求如圖所示，BAC120，ABAC4，取BC中點M，連接AM并延長到N使AM=MN，則四邊形ABNC是兩個等邊三角形組成的菱形，AN=BN=CN，點N是ABC的定在垂線NG上，因為PA平面NABC過作平面的則球心一NG外接圓圓心，垂線，ABC，則PA//NG，PA與NG共面，在面內(nèi)作PA的中垂線，交NG于O，則O是外接球1ON中，AP2AN4，，故球心，半徑R=OA，RtAON2積S4R241872.R2232，故外接球的表面42故選:D.【點睛】求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球圓大直徑，點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的心，找其垂線，則球心一定在垂線上，本題就是采用這個方法.本題使用了定義法.2．BB解析：【分析】△F為AB的中點，設(shè)DD的中點為G，DFC的外接圓的球心為，四面體O11可證CDFD的外接球的球心為O，連接OG,OF,OO,AB，利用解三角形的方法可求111△DFC的外接圓的半徑，從而可求四面體CDFD的外接球的半徑.1【詳解】G，DFC的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為△設(shè)DD的中點為OCDFD111O，連接OG,OF,OO,AB，11AABB//平面DDCC，平面CDE平面AABBEF，因為平面1111111平面CDE平面DDCCDCEF//DC，，故11111EF//AB，故為的中點，而，故AB//DCFAB11110432555，cosDFC5，故所以DFCF144內(nèi)角，故sinDFC，故的外接圓的半徑為△DFC5因為∠DFC為三角形的125454，2OO平面ABCD，DD平面ABCD，故OO//DD，1111在平面GDOO中，OGDD,ODDD，故1OG//OD，1111故四邊形GDOO為平行四邊形，故OO//GD，OOGD，11141425所以四面體CDFD的外接球的半徑為11，164141，4故四面體CDFD的外接球表面積為4116B.故選：【點睛】方法點睛：三棱錐的外接球的球的半徑，關(guān)鍵是球心位置的確定，通常利用“球心在過底面外接圓的圓心且垂直于底面的直線上”來確定.3．BB解析：【分析】V利用等體積法V，設(shè)點到平面EBD的距離為d，利用三棱錐的體積公式C1CEBDDCEB11代入面積即求得d.【詳解】V如圖，利用等體積法，V，設(shè)點到平面EBD的距離為d，CCEBDDCEB111正方體ABCDABCDBD22,BEED5，如圖，的棱長為2，故11111BDh12236，2212hED2BD523，即S2EBD又點D到平面CEB的距離，即D到平面CCBB的距離，為CD=2，111S1121，2CEB1136d126.63由VV123得，，故dCEBDDCEB11B.故選：【點睛】方法點睛：空間中求點到平面的距離的常見方法：1（）定義法：直接作垂線，求垂線段長；2（）等體積法：利用三棱錐換底求體積，結(jié)合兩個面積和另一個高求未知高，即得距離；an3d（）向量法：過點的一個斜線段對應的向量，平面法向量，則.ann4．BB解析：【分析】.根據(jù)三視圖判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，利用椎體體積公式計算出該幾何體的體積【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示四棱錐，該棱錐滿足底面是直角梯形，且側(cè)棱平面，ABCDED11為V(12)222，所以其體積32B.故選：【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)根據(jù)幾何體三視圖求幾何體體積的問題，解題方法如下：1（）首先根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖還原幾何體；2（）結(jié)合三.公式求得結(jié)果視圖，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用體積5．DD解析：【分析】.先找到幾何體的原圖，再求出幾何體的高，再求幾何體的體積得解【詳解】PCDDE，由三視圖可知幾何體為圖中的四棱錐12AD4237，所以幾何體的高為7.由題得11所以幾何體的體積為(24)6767.32D故選：【點睛】方法點睛：（）直接法；（2）拼湊法；（3）模1通過三視圖找?guī)缀误w原圖常用的方法有：擇方法求解.型法.本題就是模型法.要根據(jù)已知利用的條件靈活選6．CC解析：【分析】舉特例舍去不正確選項，可得正確答案.【詳解】過EF的平面為平面ABF時，G在點，H在B點，ABH所以0AGGD，EF平分GH，HC即BHAGHCGD，所以舍去ABD，選CC故選：7．AA解析：【分析】是三棱錐，平面ACD平面ABC，ACDACB底面是等腰原幾何體ABDBCD由三視圖可知AC2，高為BE1，是邊長為角形，計2的等邊三直角三角形，底為算四個三角形面積之和即可求解.【詳解】由三視圖可知原幾何體是三棱錐：AC2，高BE1，平面平面ABC，ACD△底面是等腰直角三角形，底ACBACDACB，由三視圖知△ACB中，AC2，△ACB是等腰直角三角形，所以ABBC2，，AC2，2△ACD是等腰直角三角形，ADCDBDBE2DE22，1所以等腰直角三角形△ACB的面積為211，21等腰直角三角形△ACD的面積為211，23等邊△ABD的面積為等邊△BCD的面積為322，，42332224所以該幾何體的表面積是113323，22故選：A.8．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圓半徑，則可求出三棱錐的高，進而求出三棱錐體積.【詳解】設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，半徑為r，72，sinABC144在ABC中，cosABC2144，ACsinABC8，即r4，由正弦定理可得2r則OD543，221S3OD112142732144377.VOABCABCA.故選：【點睛】本題考查球內(nèi)三棱錐的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理求出ABC的外接圓半.徑，利用勾股關(guān)系求出高9．AA解析：【分析】BCDA.利用線面垂直的判定定理可判斷選項，利用假設(shè)法推出矛盾，可判斷選項【詳解】BC對于選項，連接，假設(shè)平面，ACAMNP在正方體ABCDABCD中，ABBC，所以，ABC為直角三角形，且ACB為銳角，因為M、N分別為BB、BC的中點，則MN//BC，所以，MN與AC不垂直，AB平面，BC平面，BBCCBBCC這與AC平面MNP矛盾，故假設(shè)AC，如下圖所示：即AC與平面MNP不垂直不成立，；B對于選項，連接BD、因為四邊形ABCD為正方形，則ACBD，CC平面ABCD，BD平面ABCD，CCBD，ACCCC，BD平面ACC，ACC，AC平面ACBD，M、分別為、AD的中點，則MN//BD，可得MPAC，PAB同理可證ACMN，MPMNM，AC平面MNP；CD、AN、CN、AP、對于C選項，連接的中點E，連接CE、，取ABPCPE，因為四邊形CCDD為正方形，則CDCD，CDAD，AD平面CCDD，CD平面CCDD，CDADD，CD平面，ACDAC平面ACD，ACCD，的中點，MN//CD，ACMN，M、N分別為、DDCDE、N分別為、CD的中點，AE//CN且AECN，AB在正方形ABCD中，AN//CE且ANCE，行四邊形，所以，所以，四邊形AECN為平同理可證四邊形CCEP為平行四邊形，CE//CP且CECP，所以，AN//CP且ANCP，所以，四邊形易得ANCN，所以，四邊形APCN為平所以，APCN為菱形，ACPN，行四邊形，MNPNN，AC平面MNP；對于D選項，連接AC、BD，因為四邊形ABCD為正方形，則ACBD，AA平面，BD平面，AABD，ABCDABCDACAAA，BD平面AAC，C，ACBD，AC平面AAM、N分別為CD、BC的中點，則MN//BD，ACMN，同理可證ACMP，MNMPM，AC平面.MNP故選：A.【點睛】方法點睛：證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面），解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理）、直角梯形等等．10．D解析：D【分析】垂直的定義可判斷A選項的正利用線面平行的性質(zhì)定理和線面誤；由線面垂直的性質(zhì)定理誤；根據(jù)已知條件判斷直線與平面可判斷B選項的正n的位置關(guān)系，可判斷C選項的正誤；根據(jù)已知條件判斷直線與平面m的位置關(guān)系，可判斷D選項的正誤.【詳解】n行的性質(zhì)定理可知，過直線的平面與平面的交線平行l(wèi)對于A，n//，由線面平n于，m，l，ml，mn，故A正確；n，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得m//n，故B正確；對于B，若mn，又，，故C正確；nmnn//對于C，若，，則或mn//對于，若，，則或與相交或m，Dmnn//m//m而，則或與相交，故錯誤．mmm//DD故選：．【點睛】“”方法點睛：對于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是推理論證加反例推斷，即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進行證明，錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進行推理或者反駁．11．C解析：C【分析】小蟲有兩種爬法，一種是從點另一種是從點沿著側(cè)面ACGF和上底面BHFG爬行，AA沿著側(cè)面ACGF和側(cè)面BDCG爬行，將兩種情況下的兩個面延展為一個面，計算出平面.圖形的對角線長，比較大小后可得結(jié)果【詳解】長方體ACDEFGBH的長、寬、高分別為2、1、1，則由于小蟲從點沿著側(cè)面AAEHF和上底面FHBG爬行，以沿著側(cè)面ACGF和側(cè)面BDCG爬行，及小蟲從點這A兩條線的路最短路程相等.①若小蟲從點沿著側(cè)面ACGF和上底面爬行，BHFG將側(cè)面ACGF和上底面BHFGA延展為一個平面，如下圖所示：則ACBC2，最短路程為ABAC2BC222；②若小蟲從點沿著側(cè)面ACGF和側(cè)面爬行，BDCG將面ACGF和側(cè)面延展BDCGA為一個平面，如下圖所示：則ADACCD3，BD1，最短路程為因為2210，因此，小蟲爬行的最短路程為ABAD2BD10.222.C.故選：【點睛】1方法點睛：（）計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法“”“”進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即化折為直或化曲為直來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2（）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定.理求解12．BB解析：【分析】作出圖形，設(shè)，ADl，2，然后以、為鄰邊作平行四邊形CACDCD2ABACDE，可知為二面角l的平面角，異面直線AB與CD所成角為BAEBAD余弦定理計算出cosBAE，即可.得解或其補角，計算出△ABE三邊邊長，【詳解】利用如下圖所示：設(shè)，ADl，，以、為鄰邊作平行四邊形ACDE，CACDCD2AB2在平面內(nèi)，ADl，，ACD45，則CD2ADCDsinACD2，ACCDcos452，ABl，ADl，AB，AD，BAD60，所以，為二面角l的平面角，即BADABAD2，ABD為等邊BD三角形，則2，四邊形ACDE為平行四邊形，DE//AC，即DE//l，ADl，ABl，∴DEAB，DEAD，ABADA，平面，DEABDBD平面，DEBD，則BEDE22，BD2ABDAE//CD且AECD2，在平行四邊形ACDE中，所以，異面直線AB與CD所成角為BAE或其補角，在△ABE中，AB，AEBE2，由余弦定理可得2cosBAEAB2AE2BE22ABAE2.42因此，異面直線AB與CD所成角的余弦值為.4B.故選：【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：1（）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；2（）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；3（）計算：求該角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．二、填空題13．【分析】確定是等腰直角三角形的中點分別是和的外心由直棱柱性質(zhì)得的外接球的球心在上外接球面與平面的交線是圓是以為圓心為半徑的圓求出可得面積【詳解】則設(shè)分別是的中點則分別是和的外心由直三棱柱的性質(zhì)得平面解析：4【分析】確定ABC是等腰直角三角形，AC,AC的中點分別是ABC和△ABCD,D的外111111心，由直棱柱性質(zhì)得PABC的外接球的球心O在DD上，外接球面與平面ABC的交1111線是圓，是以D為圓心，DP為半徑的圓，求出PD可得面積．111【詳解】ABBC4,AC42，則ABC90，設(shè)AC,AC的中點，則1D,D分別是1D,D11分別是ABC和△ABC的外心，由直三棱柱的性質(zhì)得DD平面ABC，1111所以PABC的外接球的球心O在DD上，如圖，141，24(OA)241，則OPOA412ODOA2AD2(22)23，22ODDDODAAOD43522所以，11141252PDOP2OD22，2211PABC的外接球面與平面ABC的交線是圓，是以D為圓心，DP為半徑的圓，11111其面積為S24．2故答案為：4．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中動點軌跡問題的求解，重點考查了幾何體的外接球的有關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心位置，結(jié)合勾股定理得出動點所滿足的具體條件，結(jié)論：三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上．14②③④①．【分析】取點為線段的中點可判斷建立空間直角坐標系假設(shè)存②在點使得利用解出的值即可判斷；連接交于點證明線段到平面的距離為定值③④可判斷；求出點的坐標然后計算平面和平面的法向量即可判斷【詳解】對②③④.解析：【分析】取點M為線段BD的中點可判斷，建立空間直角坐標系假設(shè)存在點M，使得①1BMAE，利用AEBMAEBBBD0解出的值即可判斷②；連接1111OAC、BD交于點，證明EO//BD，線段到平面的距離為定值，可判斷BDAEC1111③；求出點M的坐標，然后計算平面和平面MAC的法向量，即可判斷④.AEC【詳解】對于：連接交于點，當點M在點時直線AD與直線相交，故不ACBD①OOCM1①11正確，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為2，則，，，，D0,0,0A2,0,0C0,2,0E0,0,1B2,2,0，D0,0,2，1B2,2,2，12,0,1②AE對于：，假設(shè)存在點M，使得BMAE，10,1BMBBBD0,0,22,2,22,2,22，，1111AEBM4220，解得，所以當DM2MB時BMAE，所以3111②故正確；③對于：連接、BD交于點，ACO1因為點E是棱DD1EO//BD的中點，此時，故線段11BD到平面AEC的距離為定值，所以四面體EMAC的體積為定值，故③正確；12,0,1AC2,2,0，，設(shè)平面442M,,④對于：當DM2MB1時，AE，333mAE2xz0z2x11mx,y,z，由AEC的法向量為令，可得，11mAC2x2y0111111y1，可得nx,y,zm1,1,2，設(shè)平面MAC的法向量為，1222nAC2x2y0242MA,,，由242nMAxyz033322222:y0x1可得2解得，令3332z2，所以mn，n1,1,1，因為mn11111202所以平面EAC平面MAC④，故正確；②③④.故答案為：【點睛】方法點證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的睛：判定定理，先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另外一個平面內(nèi)或與另外一個平面內(nèi)的一條直線平行即可；（客觀題常用）；（2）利用性質(zhì)：（3）面面垂直的（4）向量方//,定義（不常用）；0.法：證明兩個平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于15．【分析】取中點連接證明平面可得為直線與側(cè)面所成的角進而可得答案【詳解】取中點連接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影為故為直線與側(cè)面所成的角中中中故答案為：【點睛】方法點睛：求直線與平面所成的10解析：10【分析】AD,BD，證明AD平面BCCB，可得ABD為直線1AB與側(cè)取BC中點D，連接1111111面BCCB所成的角，進而可得答案.11【詳解】取BC中點D，連接AD,BD，111直三棱柱中，BB平面ABC，AD平面ABC，11111111BBAD，11又ABAC1，ADBC，1111111又BCBBB，BC,BB面BBCC，111111111AD平面BCCB，111AB在平面BCCB上的射影為DB，111故ABD為直線AB與側(cè)面BCCB所成的角，1111ABAB2BB11125，RtABB中，222111112BC122，2RtBAC中，AD11112112RtABD中，AD210，1AB510sinABD11110故答案為：.10【點睛】方法點睛：求直線與平面所成的角有兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面.的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可16．【分析】過作垂足為連接則為二面角的平面角即在中利用余弦定理結(jié)合為整數(shù)求出的值進而可得外接球直徑【詳解】如圖過作垂足為連接則為二面角的平面角即不妨設(shè)因為所以所以所以在中因為為整數(shù)所以則設(shè)以為長寬高的長解析：6【分析】過A作AHOB，垂足為H，連接CH，則AHC為二面角AOBC的平面角，即AHCmnmnAHC，在中，利用余弦定理結(jié)合，為整數(shù)，求出，的值，進而可得外接球直徑．【詳解】A作AHOB，垂足為H，如圖，過連接CH，則AHC為二面角AOBC的平面角，即AHC．CHaAHOH，2aAOB45，所以不妨設(shè)，因為OC所以HB(21)a，BCHB2HC2(422)a2AC2．所以2HA2HC2AC2HAHCa2a2(422)a221mn，2a2在AHC中，cos2n2|m|1|n|2|mn|1．m1，，則，，mn因為，為整數(shù)，所以|m||mn|設(shè)以，、寬、高的長方體的外接球半徑為|n|，為長R，則(2)||||||6Rmnmn，所求外接球的直徑為6．2222故答案為：6【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查二面角的應用，考查幾何體的外接球，考查解三角形，解決本題的關(guān)鍵點是利用定已知條件求出義法找出二面角的平面角，在AHC中，利用余弦定理結(jié)合mn，的值，考查學生空間想象能力，考查計算能力，屬于中檔題．17．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖進一步求出幾何體的外接球的半徑最后求出球的表面積【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體是底面為等腰三角形高為的2三棱錐體如圖所示設(shè)底面外接:H圓的半徑為t圓心為則解得41解析：4【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進一步求出幾何體的外接球的半徑，最后求出球的表面積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體是底面為等腰三角形，高為2的三棱錐體．如圖所示:51(2)tt，解設(shè)底面外接圓的半徑為t,圓心為H，則t2得，224設(shè)外接球的半徑r，球心為O，則OH底面，且OH1，5414則r()21244141.4所以S4()1641故答案為：4【點睛】關(guān)鍵點點睛：球心與底面外接圓圓心連線垂直底面，且OH等于棱錐高的一半，利用勾股定理求出球的半徑，由面積公式計算即可.184．【分析】取中點連接再根據(jù)題意依次計算進而得球的球心即為（與重合）【詳解】解：因為所以又因為所以所以因為平面平面平面平面平面所以平面取中點連接所以所以平面所以此時所以即球的球心球心即為（與重合）半徑4解析：【分析】取AB,AC中點D,E，連接DE，DP，再根據(jù)題意依次計算EAEBECEP4，進而得球O的球心O即為E（O與E重合）【詳解】解：因為BC42，AC8，ABBC，所以AB42，又因為PAPB4，PAPB2AB2，所以PAPB，所以2因為平面PAB平面ABC，平面平面ABCAB，ABBC，BC平面PABABC，所以BC⊥平面PAB，取AB,AC中點D,E，連接DEDP，，DE//BCDE22DP22所以，所以平面PAB，所以DEPD，DE1此時，EBACEAEC4，EPDP2DE24，2EAEBECEP4，所以半徑為EA4.即球O的球心球心O即為E（O與E重合），.故答案為：4【點睛】在本題中，△PAB,△ABC均為本題解題的關(guān)鍵在于尋找球心，直角三角形，故易得AC中點即為球心.考查空間思維能力，運算求解能力，是中檔題.∠ACB19．【分析】由題意可得AB的軌跡得到當ACBC與軸l共面時取到最大值和最小值求得sin∠ACB積公式得答案【詳解】∵ACBC的范圍代入三角形面α|AC|＝2|BC|2成的角分別為且＝則A與平面所解析：[3,3]【分析】∠ACB的軌跡，得到當AC、BC與軸l共面由題意可得A，B時，取到最大值和最小值，求得sin∠ACB【詳解】的范圍，代入三角形面積公式得答案．5∵ACBCα，與平面所成的角分別為|AC|2|BC|2，，且＝3，＝，124AB則，分別在如圖所示的兩個不同的圓周上運動，ACBCl∠ACB當直線，與軸在同一平面內(nèi)時，取到最大值和最小值，3于是，有ACB，6∴sin∠sinACBsin1，即23，sin∠ACB6321而ABC的面積＝|AC||BC|sin∠ACB＝23sin∠ACB．S2∴3S3．故答案為：[3,3]【點睛】AB解題的關(guān)鍵.關(guān)鍵點睛：根據(jù)題意得到，的軌跡，利用幾何直觀和空間想象進行分析是20．【分析】首先將二面角展平根據(jù)兩點距離線段最短求最小值【詳解】如圖將二面角沿棱展成平角連結(jié)根據(jù)兩點之間線段最短可知就是的最小值以為鄰邊作矩形由可知三點共線則故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何解析：26【分析】求APPB最小值.首先將二面角展平，根據(jù)兩點距離線段最短，【詳解】將二面角沿棱a展成平角，連結(jié)AB，根據(jù)兩如圖，點之間線段最短，可知AB就是APPB的最小值，CFa,BFa可知三點共線，C,F,BAE,EF以為鄰邊，作矩形AEFC，由21232則ABAC2BC226.故答案為：26【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何中的折線段和的最小值，一般都是沿交線展成平面，利用折.線段中，兩點間距離最短求解，本題與二面角的大小無關(guān)三、解答題2．（）證明見解析；（）．21123【分析】1OM//PB，從而得證線面平行；（）連接BD交于點，由中位線定理得ACOPACD的體積后可得．，求出三棱錐2（）由M是PD中點，得VMACD1V2PACD【詳解】1ACOO（）如圖，連接BD交于點，連接OM，則是BD中點，又M是PD中點，∴OM//PB，又平面ACM，OM平面ACM，PB所以PB//平面ACM；2（）由已知S12222，VPACD1SPA1224，△ACD333ACD12VPACD2又M是PD中點，所以VMACD，3VPACDVMACD2．3所以VPACM【點睛】思路點睛：本題考查證明線面平行，求三棱錐的體積．求三棱錐的體積除掌握體積公式外，還需要注意割補法，不易求體積的三棱錐（或一個不規(guī)則的幾何體）的體積可通過幾個規(guī)則的幾何體（柱、錐、臺等）的體積加減求得．三棱錐的體積還可通過轉(zhuǎn)化頂點，轉(zhuǎn)移底面利用等體積法轉(zhuǎn)化為求其他三棱錐的體積，從而得出結(jié)論．37Ⅱ見解析；（）．1422Ⅰ．（）證明【分析】QBAM，再由勾股定理證設(shè)DBAMO，證明所以AM平面QOB，得Ⅰ（）明QBBO，后可得證線面垂直；BPQOPAQM于，證明BMP即是BM與平面所成的Ⅱ（）作角．在直角三角形中計算可得．【詳解】解：因為BC3,CD6,C60，所以由余弦定理得Ⅰ（），從而BD2BC2CD2，所以DBBC，BD3262236cos6033四邊形，所以DBAM，由已知得ABMC，所以ABCM為平行得AMQO,AMBO，又設(shè)DBAMO，則QOBOO，QO,BOQBAM，折后可QOBQBQOB平面，所以AM平面，平面，所以BQOQBBO，因為QO23,OB3,QB3，即QB2BO2QO2，所以因為AMBOO，AM,BO平面ABCM，所以QB平面ABCM；BPQOP于，則由AM平面QOB，得AQMAQMAMBP，Ⅱ（）在平面BOQ內(nèi)作又QOAMO，QO,AM平面，所以BP平面，射影，所以BMP即是AQM連MP，則MP是BM在平面上的AQM與平面所成BM的角．QBOB333QO因為BPBC2CM22BCCMcos607，，BM232BP37BM14所以sinBMP．【點睛】方法點睛：本題考查證明線面垂直，考查求直線與平面所成的角，求線面角常用方法：（1）定義法：作出直線與平面所成的角并證明，然后在直角三角形中計算可得；（2）向量法：建立空間直角坐標系，由直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值計算．．BF1，證明見解析；（2）25；（）52313,．（）BA314211【分析】DNDM，連接MN,AN，可（1）延長交于M，在上取點，使得AECDCDN1111BF1BF11證得AM//AN，從而可得CF//AN，由此可得1BA3，再由BA3證明線面平1111111行即得；（2）用等體積法可求得點A到平面BDF的距離；PQBDFQFQP是二面角于E，連接，（3）作FPAB，垂足為，作PBFx，(0x2)，求出平面角的正切值可得范圍，從而FBDA的平面角，設(shè)1得角的范圍．【詳解】BF1（1）BA3時，平面AE//BCF，證明如下：1111延長AE交CD于M.因為AD平面ABBA，所以DBA是直線BD與平面ABBA所成的角，即111123．3DBA30，所以ADABtan302由AEBD，所以DAE30，DMADtan30，32在CD上取點N，使得DN，連接MN,AN，11113BF1243∵，則BF，AFCN，又AF//CN，∴AFCN是平行四邊1BA31131111111AN//FC1形，，1DNDM,DN//DM，DNMD是平行四邊形，111∴MN//DD//AA,MNDDAAAAMN1，∴是平行四邊形，∴AM//AN11111∴AM//CF1，又AM平面BCF，CF平面BCF，∴AM//平面BCF，即1111AE//平面BCF．1123223，V1132323，2（）S△ABD233FABD3943，DF30，∵BF2FD2BD2，3由長方體性質(zhì)可得BF2，BD3∴BFDF，123015，設(shè)A到平面BDF的距離為h，則由V3∴SVFABDABDF△BDF23得115h23，∴h25．3395PQBDQ于，連接FQ，則FP平面ABCD，作FPAB，垂足為，作3（）PBD平面ABCD，∴FPBD，同理FPPQ，∵FPPQP，F(xiàn)P,PQ平面FPQ，∴BD平面FPQ，而FQ平面FPQ，∴BDFQ，∴FQP是二面角FBDA的平面角，設(shè)BFx，(0x2)，則由BBFP是矩形得BPx，F(xiàn)PBB1，111則PQBPsin301x，2∴FPQ,．42FP2(1,)，F(xiàn)QP是銳角，PQx∴tanFQP．∴二面角FBDA的范圍是,42【點睛】方法點睛：本題考查線面平行的性質(zhì)與判定，考查等體積法求點到平面的距離，考查二面角．求點到平面的距離的方法有三種：一是根據(jù)定義作出點到平面的垂線段，求出垂線段的長即得，二是等體積法，三是空間向量法．用定義法求二面角注意三個步驟：一是作出二面角的平面角，二是證明作出的角是二面角的平面角，三是計算．241．（）2證明見解析；（）PC的中點，證明見解析.點F為【分析】（）1連接DE,PE，可證明四邊形DGBE是平行四邊形，得出BG//DE，利用線面平行的判斷定理即可證明；F為的中點時，平面DEF平面，再利用面面垂直的性質(zhì)定理PCABCD2（）猜想點證明PG平面ABCD，OF//PG，可得平面OFABCD，利用面面垂直的判定定理.即可證明【詳解】1DE,PE（）連接，因為G為AD的中點，E為BC的中點，11所以DGDA，BEBC，22因為底面ABCD是菱形，所以AD∥BC，DGBE所以，所以行四邊形，四邊形DGBE是平所以BG//DE，又因為BG平面PDE，DE平面PDE，BG//平面PDE，所以F為的中點時，平面DEF平面，2PCABCD（）點G側(cè)面PAD為正三角形，為AD的中點，如下：因為證明所以PGAD，因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PGAD，PG平面PAD，ABCD所以PG平面，連接CG交DE于點O，則點O是的中點，CG所以O(shè)F//PG，ABCD所以O(shè)F平面，又因為平面DEF，OF所以平面DEF平面ABCD.【點睛】方法點睛：證明面面垂直的方法1（）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另外一個平面內(nèi)或與另外一個平面內(nèi)的一條直線平行即可；（客觀題常用）；2//,（）利用性質(zhì)：3（）面面垂直的定義（不常用）；4.（）向量方法：證明兩個平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于06．（）證明見解析；（）．25124【分析】ABAC可得AB1ABAC，再由（）由面面垂直以及平面AAC，進而