三角函數(shù)恒等變換解答題

三角函數(shù)恒等變換解答題一．填空題（共9小題）1．（2016春?南京期中）cos75°=．2．（2015?四川）sin15°+sin75°的值是．3．（2015?江蘇）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，則tanβ的值為．4．（2016春?上饒校級期中）已知tan（）=，tan（）=﹣，則tan（）=．5．（2016?黃浦區(qū)一模）函數(shù)y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．6．（2015?浙江）函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．7．（2015?普陀區(qū)二模）函數(shù)的最小正周期為．8．（2012?溫州一模）函數(shù)的最小正周期為．9．（2015春?福州校級期末）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則θ的值為．二．解答題（共12小題）10．（2016春?蘭州校級期中）已知tanα=2（1）求的值；（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．11．（2015秋?張家界期末）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．12．（2015春?商丘期中）已知，．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求的值．13．（2014?祁東縣一模）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）設的值．14．（2014?甘肅二模）已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．15．（2014?惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．16．（2014?西城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）當x∈[﹣，0]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．17．（2013?雁塔區(qū)校級一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且α∈[0，π]（1）求α的值；（2）若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，求滿足f（x）=1的x的值．18．（2012?寶安區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）=ωx+2sinωx?cosωx+ωx，其中ω＞0，且f（x）的最小正周期為π．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）利用五點法作出f（x）在[﹣，]上的圖象．19．（2011秋?九原區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）=2asin2x+2sinxcosx﹣a的圖象過點（0，﹣）．（1）求常數(shù)a；（2）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域．20．（2011春?長沙校級期末）已知函數(shù)f（x）=2asinx?cosx+2cos2x+1，，（1）求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）在的值域．21．（2011秋?保定校級期末）已知α為第三象限角，．（1）化簡f（α）；（2）若，求f（α）的值．三角函數(shù)恒等變換解答題參考答案與試題解析一．填空題（共9小題）1．（2016春?南京期中）cos75°=．【分析】將所求式子中的角75°變形為45°+30°，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，即可求出值．【解答】解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=×﹣×=．故答案為：【點評】此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．2．（2015?四川）sin15°+sin75°的值是．【分析】利用誘導公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案為：．【點評】本題考查兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力．3．（2015?江蘇）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，則tanβ的值為3．【分析】直接利用兩角和的正切函數(shù)，求解即可．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案為：3．【點評】本題考查兩角和的正切函數(shù)，基本知識的考查．4．（2016春?上饒校級期中）已知tan（）=，tan（）=﹣，則tan（）=1．【分析】觀察三個函數(shù)中的角，發(fā)現(xiàn)=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案為1【點評】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，解題的關鍵是觀察出=﹣（），即利用角的變換把要求三角函數(shù)值的角用另兩個已知三角函數(shù)值的角的線性組合表示出來，再利用差角公式求出tan（）的值，先進行角的變換，探究三角函數(shù)之間的關系，是此類求三角函數(shù)值的題常用的入手策略，要善于用此技巧．本題對觀察推理能力要求較高，題后應好好總結(jié)規(guī)律．5．（2016?黃浦區(qū)一模）函數(shù)y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．【分析】先利用二倍角的余弦化簡，再求出函數(shù)y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函數(shù)y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案為：π．【點評】本題考查二倍角的余弦公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．6．（2015?浙江）函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，最小值是．【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得最小正周期，最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=，最小值為：．故答案為：π，．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．7．（2015?普陀區(qū)二模）函數(shù)的最小正周期為π．【分析】利用倍角公式和正弦函數(shù)的周期公式即可得出．【解答】解：函數(shù)==﹣sin2x，∴．故答案為π．【點評】熟練掌握倍角公式和正弦函數(shù)的周期公式是解題的關鍵．8．（2012?溫州一模）函數(shù)的最小正周期為π．【分析】先利用正弦函數(shù)的差角公式進行化簡，然后利用二倍角公式和輔助角公式將其化成f（x）=Asin（ωx+φ）+B，最后根據(jù)周期公式解之即可．【解答】解：=sinx（sinxcos﹣cosxsin）=sin2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣（sin2x+cos2x）+=﹣sin（2x+）+T==π故答案為：π【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的周期，解題的關鍵是二倍角公式和輔助角公式的應用，屬于中檔題．9．（2015春?福州校級期末）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則θ的值為．【分析】首先對函數(shù)關系式進行恒等變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的奇偶性求出結(jié)果．【解答】解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2（）=當（k∈Z）即：由于：所以：當k=0時，θ=故答案為：【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，函數(shù)奇偶性的應用．屬于基礎題型．二．解答題（共12小題）10．（2016春?蘭州校級期中）已知tanα=2（1）求的值；（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．【分析】把所要求的式子得分母添項并作代換：1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同時除以cos2α，把已知代入可求【解答】解：∵tanα=2（1）=（2）=【點評】本題主要考查了同角平方關系sin2θ+cos2θ=1在三角化簡中變換的技巧：若已知三角函數(shù)的正切值，求有關正余弦的二次三角函數(shù)值，常在原式上添1，并作代換1=sin2θ+cos2θ，然后分子、分母同除以cos2θ，從而化為”切“11．（2015秋?張家界期末）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由角的范圍及同角三角函數(shù)基本關系式的應用可求cosα的值，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式可求tanα的值．（2）利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡所求，利用（1）的結(jié)論即可計算求值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵，∴，…（3分）∴；…（6分）（2）原式==，…（9分）=…（12分）【點評】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．12．（2015春?商丘期中）已知，．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可得，結(jié)合角的范圍可得sinα＜0，即可計算求解．（Ⅱ）利用誘導公式化簡所求，即可計算求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴…（2分）∵，∴sinα＜0，∴．…（6分）（Ⅱ）原式==．…（12分）【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．13．（2014?祁東縣一模）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）設的值．【分析】（1）把代入f（x）即可得出；（2）把，3β+2π分別代入f（x）化簡整理再利用平方關系，再利用兩角和的余弦公式、倍角公式即可得出．【解答】解：（1）==．（2）==2sinα=，∴．∵，∴．==，解得．∵，∴．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==．∵，∴，∴＞0，∴==．【點評】本題綜合考查了三角函數(shù)的平方關系、兩角和的余弦公式、倍角公式等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．14．（2014?甘肅二模）已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理求得函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最小正周期T和單調(diào)增區(qū)間．（Ⅱ）利用f（a）=3求得sin（2a+）的值，進而求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，=sin2x+2﹣+1=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2．所以最小正周期為：T==π當﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），即﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）時函數(shù)單調(diào)增，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+）+2，∴f（α）=2sin（2α+）+2=3，∴sin（2α+）=，∵，∴2α+∈（，），∴2α+=，∴α=．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．要充分利用好三角函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決三角函數(shù)的相關問題．15．（2014?惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．【分析】（1）把x=代入函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)sinα的值求出cosα，代入f（）進行化簡．【解答】解：（1）f（）=cos2+sin=（）2+（2）f（x）=cos2x+sinxcosx===∴f（）===∵sinα=，且α∈（，π）∴cosα=﹣f（）==【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．16．（2014?西城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）當x∈[﹣，0]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）對函數(shù)解析式進行化簡，求得關于正弦函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最小正周期T．（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，求得2x﹣的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣+1=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π．（Ⅱ）∵x∈[﹣，0]，∴﹣≤2x﹣≤﹣．∴﹣1≤sin（2x﹣），∴≤sin（2x﹣）+≤1，即≤f（x）≤1；當2x﹣=﹣時，即x=﹣時，函數(shù)f（x）取到最小值，當2x﹣=﹣，即x=﹣時，函數(shù)f（x）取到最大值1．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換的運用．注意對三角函數(shù)圖象，性質(zhì)，以及倍角公式等公式的熟練掌握．17．（2013?雁塔區(qū)校級一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且α∈[0，π]（1）求α的值；（2）若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，求滿足f（x）=1的x的值．【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)是偶函數(shù)，求出α的值；（2）若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，通過f（x）=1得到三角函數(shù)的方程，然后求出x的值．【解答】解：（1）=由f（x）為偶函數(shù)得∴又（2）由f（x）=1得又x為三角形內(nèi)角，x∈（0，π）∴【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)的應用，考查計算能力，?？碱}型．18．（2012?寶安區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）=ωx+2sinωx?cosωx+ωx，其中ω＞0，且f（x）的最小正周期為π．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）利用五點法作出f（x）在[﹣，]上的圖象．【分析】（1）由二倍角公式、輔助角公式對已知函數(shù)化簡可得，f（x）=2sin（ωx+），利用周期可求ω，進而可求函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）列表，利用五點法作出函數(shù)在所給區(qū)間上的圖象【解答】解：（1）∵f（x）=ωx+2sinωx?cosωx+ωx，=（ωxωx）+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（ωx+）∵T=π∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）令﹣≤2x+≤可得，k∈Z∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[k，kπ+]，k∈z（2）列表如下：2x+0π2πx﹣y020﹣20f（x）在[﹣，]上的圖象如圖．【點評】本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式的應用，正弦函數(shù)的性質(zhì)及利用五點法作正弦函數(shù)的圖象．19．（2011秋?九原區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）=2asin2x+2sinxcosx﹣a的圖象過點（0，﹣）．（1）求常數(shù)a；（2）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域．【分析】（1）只需將點（0，﹣）代入函數(shù)表達式，利用0弧度角的三角函數(shù)值即可解得a的值；（2）先利用兩角差的正弦公式和特殊角三角函數(shù)值，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函數(shù)的圖象求f（x）的值域即可【解答】解：（1）把點（0，﹣）代入函數(shù)表達式，得﹣=2asin20+2sin0cos0﹣a，化簡得a=（2）f（x）=2sin