2022年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）（含答案）

2022

年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）一、選擇題：本題共

12

小題，每小題

5

分，共

60

分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合 ，則 （

）A． B． C． D．2．某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取

10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這

10

位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于

70%講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于

85%講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．若 ．則 （

）A． B． C． D．4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為

1，則該多面體的體積為（

）A．8B．12C．16D．205．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線

C，若

C

關(guān)于

y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．從分別寫有

1，2，3，4，5，6

的

6

張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取

2

張，則抽到的

2

張卡片上的數(shù)字之積是

4

的倍數(shù)的概率為（

）A． B．C．D．7．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A．B．C．D．8．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A．-1B．C．D．19．在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A．B．AB

與平面所成的角為C．D． 與平面 所成的角為10．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A．B．C．D．11．已知橢圓的離心率為，分別為

C

的左、右頂點(diǎn)，B

為C

的上頂點(diǎn)．若，則

C

的方程為（

）A．B．C．D．12．已知A．B．，則（

）C．D．二、填空題：本題共

4

小題，每小題

5

分，共

20

分。已知向量 ．若 ，則設(shè)點(diǎn)

M在直線 上，點(diǎn) 和為

．

．均在上，則的方程15．記雙曲線的離心率為

e，寫出滿足條件“直線與

C

無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值

．16．已知 中，點(diǎn)

D

在邊

BC

上，小值時(shí)，

．．當(dāng)取得最三、解答題：共

70

分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第

17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第

22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由

A和

B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的

500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有

90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？記 為數(shù)列 的前

n

項(xiàng)和．已知 ．證明： 是等差數(shù)列；若 成等比數(shù)列，求 的最小值．小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為

8（單位：cm）的正方形， 均為正三角形，且它們所在的平面都與平面 垂直．證明： 平面 ；求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．已知函數(shù) ，曲線線 的切線．若 ，求a：求a

的取值范圍．在點(diǎn)處的切線也是曲21．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為

F，點(diǎn)，過(guò)的直線交

C

于

M，N

兩點(diǎn)．當(dāng)直線

MD

垂直于

x

軸時(shí)，．（1）求

C

的方程：（2）設(shè)直線與

C

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為

A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng) 取得最大值時(shí)，求直線

AB的方程．四、選考題：共

10

分。請(qǐng)考生在第

22、23

題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t

為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s

為參數(shù)）．寫出 的普通方程；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，求 與 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及 與23．已知

a，b，c

均為正數(shù)，且 ，證明：（1） ；（2）若 ，則 ．的極坐標(biāo)方程為交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．答案解析部分【答案】A【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】C【答案】A【答案】B【答案】D【答案】C【答案】B【答案】A13．【答案】或-0.7514．【答案】【答案】2（滿足【答案】

或皆可）17．【答案】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，A

共有班次

240+20=260

次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有

240

次，設(shè)

A

家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則 ；則

A

家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B

共有班次

210+30=240

次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有

210次，設(shè)

B

家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為

N，則 .B

家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為 .（2）解：列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有

90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).18．【答案】（1）已知 ，即 ①，當(dāng) 時(shí)，②，①-②得，即 ，，即 ，所以，且，所以 是以

1

為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）中 可得，，，，又 ， ， 成等比數(shù)列，所以，即 ，解得，所以 ，所以，所以，當(dāng) 或 時(shí)．19．【答案】（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又平面， 平面 ，所以，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知為平行四邊形，所以 ，又平面 ．為全等的正三角形，所以，平面 平面，同理可得 平面，所以四邊形平面 ，所以中點(diǎn) ，平面平面，而平面 ，（2）解：分別取由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐因?yàn)轶w積的倍．， ，點(diǎn) 到平面的距離即為點(diǎn) 到直線的距離， ，所以該幾何體的體積．20．【答案】（1）解：由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2）解：，則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01-0+0-0+-1則 的值域?yàn)?，故21．【答案】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為的取值范圍為.，當(dāng)與

x

軸垂直時(shí)，點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)為p，此時(shí) ，所以 ，所以拋物線

C

的方程為 ；（2）解：設(shè)，直線，由 可得 ，，由斜率公式可得 ，，直線 ，代入拋物線方程可得，，所以 ，同理可得，所以又因?yàn)橹本€

MN、AB

的傾斜角分別為所以 ，，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.22．【答案】（1）解：因?yàn)?，，所以，即普通方程為?/p>