分數(shù)度量意義發(fā)展的認知根基及軌跡-分數(shù)圖式進階理論

分數(shù)度量意義發(fā)展的認知根基及軌跡:分數(shù)圖式進階理論摘要：斯特芬（Steffe）、撒冷（Tzur）等人通過長期的質的建構主義教學實驗研究，對西方兒童的分數(shù)學習軌跡進行了探索，提出的分數(shù)圖式進階理論為學生對分數(shù)度量意義理解的發(fā)展提供了認知依據(jù).撒冷的“活動一效果關系”反省理論可以解釋圖式的構建和轉化機制，迭代和均分是分數(shù)圖式構建的兩種重要認知操作,而分數(shù)圖式進階模型共包括8個進階水平,前4個圖式主要基于迭代操作，后4個圖式主要基于均分操作.總之，分數(shù)概念的本質不是“部分一整體”，而是度量意義；學生的分數(shù)圖式是對整數(shù)計數(shù)圖式的順應；迭代和均分操作能夠促進學生對分數(shù)度量意義的理解.關鍵詞：分數(shù)；分數(shù)圖式；迭代操作；均分操作；度量意義由于其在數(shù)系擴展方面的價值，分數(shù)一直都是小學數(shù)學的核心知識；又因其內涵的豐富性，使得學生在分數(shù)的學習中存在諸多的困難［1］，因而成為研究的熱點.一般認為分數(shù)具有多重意義，部分與整體的意義、度量意義、除法的結果、比的意義等.現(xiàn)行大部分的國內外的小學數(shù)學教材都是從“部分一整體”的意義引入分數(shù)的［2］，但是越來越多的研究發(fā)現(xiàn)通過“部分一整體”引入分數(shù)存在諸多弊端，主要原因就是學生的整數(shù)知識干擾了其分數(shù)學習，主要表現(xiàn)的就是“整數(shù)偏向”（wholenumberbias），比如認為分母越大，分數(shù)越大［3］.美國的數(shù)學教育研究者斯特芬（Steffe）等人通過長期的質的建構主義的教學實驗研究［4「5］,根據(jù)重組假設理論（reorganizationhypothesis）提出學生的分數(shù)圖式是對整數(shù)計數(shù)圖式（numericalcountingschemes）的順應而出現(xiàn)的回.而分數(shù)圖式理論的發(fā)展為理解分數(shù)的度量意義奠定了基礎.董文彬指出，無論是“圖形與幾何”領域的測量教學，還是“數(shù)與代數(shù)”領域的運算教學，“單位”都是貫穿兩大領域的核心詞，只不過在“圖形與幾何”領域強調的是測量單位，而在“數(shù)與代數(shù)”領域強調的是計數(shù)單位［7］.度量的核心是度量單位的產生、發(fā)展以及累加過程，也就是數(shù)出度量單位的個數(shù)以及度量單位轉換的過程.那么，分數(shù)的度量意義就不僅僅要強調分數(shù)也是數(shù)，是數(shù)軸上的一點，更強調分數(shù)產生的過程是對度量單位（也就是分數(shù)單位）的計數(shù)或者迭代.因此，分數(shù)度量意義是指每個分數(shù)都可以看成單位分數(shù)的累計或者迭代的結果，而單位分數(shù)是一個可以計數(shù)或者迭代的量阡9.研究試圖從圖式的概念與建構機制，分數(shù)圖式的認知操作方式以及進階水平幾個方面來系統(tǒng)地介紹和剖析分數(shù)圖式理論，并說明分數(shù)圖式發(fā)展如何促進和增強了學生對分數(shù)度量意義的理解.1圖式的概念與建構機制“圖式”（scheme，schema）一詞最早出現(xiàn)在18世紀哲學領域中［10］，指“一個通用的概括性概念，適用于某一范疇中的所有個體，是一個普遍的或者本質的類型或形態(tài)”.后來，該詞被瑞士心理學家皮亞杰（Piaget）引入他的發(fā)生認識論中，他認為［11］“圖式是動作的結構或組織，這些動作在同樣或類似的環(huán)境中由于重復而引起遷移或者概括.”簡單來說，圖式就是認知結構或行為模式［12］.馮?格拉斯菲爾德（vonGlasersfeld）［13］認為在某一具體領域下的任何一種圖式都是在個體經驗基礎上建構起來的.他認為所有圖式都有3個成分：（1）識別一個具體情境或者經驗的模板；（2）和經驗相關的具體心智活動（活動本身也是一個經驗）；（3）一個預期的結果，簡言之就是“情境一活動一結果”.當個體具有了某個圖式，就具有了解決某水平問題的能力.但是當個體遇到超越這個水平的問題時，他還會嘗試使用已有的圖式來解決新問題，因此會遭遇失敗，引起認知沖突，從而激發(fā)個體構建新的圖式.比如，一個具有了加法“接著數(shù)”（countingon）圖式的兒童，在遇到“原來有5個蘋果，再給你3個蘋果，一共有多少個蘋果”的問題的時候，他會識別這個問題是一個加法問題（情境），這個問題會激發(fā)他有關這類問題的經驗，也就是接著數(shù)（心智活動），他知道可以使用“在5的基礎上接著數(shù)3

個數(shù)”的策略解決這個問題（預期的結果）.這個對結果的預期與實際的結果是相符的.但是當這個學生遇到“3袋蘋果，每袋有5個蘋果，一共有多少個蘋果”的問題，他采取的可能也是“接著數(shù)”的策略，并預期這個操作可以解決問題.這時候，預期的結果與實際的結果不符，需要建構新的圖式來解決新的問題.圖式的建構機制要追溯到皮亞杰的反省抽象（reflectiveabstraction）理論.鄭毓信認為皮亞杰的反省抽象是指“把已發(fā)現(xiàn)結構中抽象出來的東西投射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”［14］.撒冷進一步指出圖式的建構就是個體對“活動一效果關系”的反省過程［15］.“活動一效果關系”的反省機制中包括兩種類型的反思：其一是學習者預期的“活動一效果”和實際的“活動一效果”之間的比較，通過比較整理出“活動一效果”的記錄；其二是對這些活動一效果記錄進行比較，通過比較和反思抽象出預期的、規(guī)律性的“活動一效果關系”.同樣是前面的例子，當學生遭遇“5x3”的問題的時候，一開始使用的還是“接著數(shù)”的加法圖式，預期這個問題的結果是8（個蘋果），但是這與真實計數(shù)的結果15（個蘋果）是不符的，通過對比預期的活動一效果（8）與真實的活動一效果（15），學生會發(fā)現(xiàn)二者的差別（第一種類型的反思）.通過變換問題情境，學生慢慢地就會建立新的臨時的活動一效果之間的關系（需要數(shù)3個5來解決這個問題），并在解決不同情境或者數(shù)字的乘法問題中，不斷地對活動一效果關系的記錄進行比較（第二種類型的反思），最終抽象出初步的乘法推理圖式.因此，由反省抽象建立的數(shù)學概念并不是通過不停地試誤得到的，而是個體對已有概念的重組.上述兩種類型的反思使得學生在構建一個新的圖式時經歷兩個階段：參與階段（participatorystage）和預期階段（anticipatorystage）.在參與階段，學習者建立對于活動一效果關系的新的臨時結構，學習者需要在這個臨時結構建立的情境中才能想起并使用該結構來解決當前的問題.也就是說，學習者需要相應的提示或線索才能激活這個臨時結構來解決相關問題，這個結構也是不穩(wěn)定的，如果不經過強化，可能會消退.在預期階段，學習者對活動一效果關系形成了牢固的、穩(wěn)定的結構，而且不再依賴提示，可以獨立自發(fā)地調用、使用和遷移該圖式.撒冷認為第一種類型反思的價值在于構建臨時的活動一效果關系，也就是參與階段的臨時結構（不穩(wěn)定的圖式），而第二種類型的反思對于將參與階段的圖式轉換為預期階段的新圖式（穩(wěn)定的、真正的圖式）是非常關鍵的［16］.2促進學生分數(shù)度量意義圖式發(fā)展的認知操作通過對比不同版本的教材，研究者發(fā)現(xiàn)學生對分數(shù)度量意義的理解，要么被安排在“部分一整體”意義之后，要么與“部分一整體”意義同時進行［2］.但是撒冷［1認為從“部分一整體”角度理解分數(shù)，限制了學生對分數(shù)本質的理解，并容易造成學生對“假分數(shù)大于整體”等概念的理解困難.因此，撒冷匯總了斯特芬和奧利弗［18］、撒冷［19］、哈肯伯格（Hackenberg）［20］等人有關學生分數(shù)推理發(fā)展的教學實驗研究成果，提出了的八階段分數(shù)圖式理論［21］.該理論強調迭代（iterating）和均分（partitioning）操作是構建分數(shù)度量意義圖式的最基本的認知操作方式.下面結合撒冷等設計的“均分薯條游戲”［22來具體說明兩種操作方式的內涵，以及兩種操作對學生構建分數(shù)度量意義圖式的價值.“均分薯條游戲”流程游戲目的：該游戲通過讓學生完成“均分薯條”的任務，來培養(yǎng)學生的分數(shù)推理.工具準備：一個未均分的黃色紙條（代替薯條）和一個未均分的白色紙條（幫助均分薯條）、一只筆（做標記，保留操作過程）.活動形式：兩個學生合作完成“均分薯條”的任務.活■動流程：首先，教師會讓大家將黃色薯條平均分給兩個人（沒有任何限制），幫助學生通過對折建立相等的概念以及了解活動規(guī)則.其次，教師提出挑戰(zhàn)性任——如何將薯條平均分給3個人？并加入限制條件，要求學生在進行“均分薯條”的任務中，兩張紙條都不可以折或者切分，也不能用尺子或者其它具有刻度的材料度量紙條的長度，但是可以用鋼筆在紙條上做標記.圖1在分薯條的過程中，教師觀察并引導學生使用重復策略：（1）估計長度（一個人所分得的長度）；（2）重復上述長度（重復次數(shù)為平分的個數(shù)）；（3）比較（你的重復結果和原來的整體長度）；（4）調整長度（如果需要的話），然后重復上述步驟.如圖1所示，學生先估計一個長度為每個人得到的薯條的長度（白色是一小份），然后重復這個長度3次，結果發(fā)現(xiàn)比原來的薯條短.因此，需要調整估計的長度.教師可以追問，“下一份應該長一點，還是短一點”？然后讓學生重復上述過程，直到學生能夠找到“那一份”，就是整體的1/3,因為將這一份迭代3次就是整體.也就是說，單位分數(shù)是單位量1/n與整體1之間的倍數(shù)關系.圖1再次，如果學生能夠將薯條平均分給3個人，那么給學生新的任務，把薯條平均分給4個人（限制條件不變），并且問學生：平均分給4個人，每人分到的薯條比分給3個人的是長一點還是短一點？然后讓學生對他們的估計進行驗證.然后，可以根據(jù)學生的表現(xiàn)情況，繼續(xù)給學生平均分給5個人、7個人等任務，在每一次均分之前都要求學生基于上一輪均分的結果預估下一次均分的大小，以此來幫助學生建立重復次數(shù)與所重復量的大小之間的逆關系.也就是，重復次數(shù)越多，每一份就越小.例如1/3大于1/4是因為1/3重復3次與整體相等而1/4要重復4次才等于整體.這個活動能夠幫助學生理解單位分數(shù)的大小關系，從而，對抗“整數(shù)偏向”的影響.最后，當學生經歷了多次的操作練習（改變均分組數(shù)）后初步建立了重復次數(shù)與整體的關系，以及每份的大小與重復次數(shù)的逆向關系之后，可以給出符號表征，也就是1/n.并通過強化練習進一步鞏固學生對1/n和1的關系，以及1/n和1/m大小關系的理解.薯條游戲不但清晰地呈現(xiàn)了均分和迭代的過程，而且展示了均分和迭代的密切關系.均分指的是把一個整體平均分成幾份，迭代指的是指連續(xù)地復制和粘貼一個量.在傳統(tǒng)的分數(shù)教材中，一般通過對折等方式理解均分，而在上面的案例中，通過限制條件，促使學生使用重復策略，也就是迭代的方式從另外一個角度體會均分的意義.在迭代的過程中，復制的量是完全相等的，當?shù)糠忠欢ǖ拇螖?shù)（n次）正好等于整體的時候，就說明整體被均分為n份.同時，也可以幫助學生建立重復的量（分數(shù)單位）的度量意義，也就是整體里有n個1/n.其次,上述游戲也說明了均分和迭代操作是對整數(shù)推理中復合單位（compositeunits）操作的一種順應[17].在整數(shù)推理中，復合單位是指個體將大于1的數(shù)看成一個整體，對之進行操作.這個復合單位是由一組單位量迭代而成，比如6是由6個“1”或者3個“2”迭代組成.而在分數(shù)中，復合單位的內涵擴展了，1本身就是一個復合單位，由5個可迭代的單位分數(shù)（1/5）組成.也就是說，整體1可以被均分成5份，每一份是1/5；單位分數(shù)1/5可以被迭代5次，從而形成整體1.再次，薯條游戲也為分數(shù)圖式的進一步發(fā)展提供了操作基礎.比如，當?shù)蚓滞瓿蓵r候，學生可以對迭代或均分的結果再次進行迭代或均分，也就是遞歸迭代（recursiveiterating）和遞歸均分（recursivepartitioning）.而遞歸迭代擴展了學生的迭代的單位（從單位分數(shù)到復合分數(shù)，從1/n到m/n），遞歸均分則產生了新的單位分數(shù)（單位分數(shù)的單位分數(shù)（unitofunit），1/n的1/m，即1/mn）.在遞歸迭代的過程中，單位分數(shù)和整體1都沒有改變，始終保持著相同的倍數(shù)關系，因此，對學生來說相對簡單.而在遞歸均分的過程中，盡管整體與一開始的單位分數(shù)和新產生的單位分數(shù)之間依然保持著倍數(shù)關系，但是單位分數(shù)所對應的整體發(fā)生過變化（1的1/n，1/n的1/m，1的1/mn），單位分數(shù)也發(fā)生了變化（從“1/n”到“1/m”，再到“1/mn”）.因此，遞歸均分要比均分和遞歸迭代都更復雜，但是理解遞歸均分對于學生解決分數(shù)乘除法問題有著重要的奠基作用.總之，均分和迭代是構建分數(shù)度量意義圖式進階的兩個核心操作，因此，撒冷和斯特芬等人建構的分數(shù)圖式進階可以稱之為“基于均分和迭代的分數(shù)圖式進階”.依據(jù)該理論，整個分數(shù)概念的進階過程被細化為8個圖式階段，前4個圖式主要基于迭代（包括遞歸迭代）操作，后4個圖式主要基于遞歸均分操作.3基于迭代一均分操作的分數(shù)圖式進階斯特芬和奧利弗認為分數(shù)圖式是指在學生解決分數(shù)問題時的語言和行為背后所蘊含的分數(shù)推理過程，包括情境識別、操作活動以及預期的結果[18].分數(shù)圖式進階是指學生在分數(shù)學習過程中構建的分數(shù)圖式的發(fā)展順序.為便于理解，借助“彩帶任務”情境（圖2）具體說明基于迭代一均分操作的分數(shù)圖式的每個階段的情境一活動一結果，并用圖示的方式展示頭腦中的認知操作過程，并分析每個圖式階段與日常分數(shù)學習的關系.3.1單位/均分分數(shù)圖式兒童先預期（估計）一個長度，然后通過迭代這個長度n次，得到一個與原來的整體相等的整體，以此構建單位分數(shù)和整體的乘法關系，并把這一份作為連續(xù)的、可以通過迭代產生整體的單位，具體情境見圖2,解釋可參考"均分薯條游戲”.3.2迭代分數(shù)圖式迭代分數(shù)圖式（IterativeFractionScheme）是指對單位分數(shù)或非單位分數(shù)（真分數(shù)）的迭代可以超過整體的限制.活動解讀：（情境參考圖4）在單位分數(shù)圖式的基礎上,學生能夠理解每個小朋友分到一個完整彩帶的1/7,那么只需要將1/7重復8次得到8/7根彩帶，也是1根完整的彩帶再加上1/7根彩帶.在實際教學中，有一些學生會說結果應該是8/8.他們給出的原因是一共有8段彩帶.這樣的理由暗示了學生并沒有建立迭代分數(shù)圖式，也就是不能將單位分數(shù)作為一個迭代單位，而這個單位分數(shù)其實在迭代過程中是不變的.本質上,他們忽略了單位分數(shù)與整體之間的倍數(shù)關系.情境活動結果如果重復某個單位分數(shù)3次，正好等于單位1如果重復某個單位分數(shù)3次，正好等于單位1，那么就得到1/3.與分給3個人相比，如果將彩帶平均分給5個人，每一份短一點．（1）把一根完整的彩帶平均分給3個小朋友，一個小朋友得到多長的彩帶？解讀：先估計一個小朋友會得到多長的彩帶，重復估計的長度3次，如果與整體正好相等，那么估計的長度就是每個小朋友得到的彩帶的長度.（2）把一根完整的彩帶平均分給5個小朋友，與分給3個小朋友相比，每一份是長一點，還是短一點？解讀：可以先估計一下如果分給5個小朋友，每個小朋友得到的彩帶的長度，然后重復該長度5次，并與整體比較.圖2“單位/均分分數(shù)圖式”情境圖撒冷認為迭代分數(shù)圖式不是對單位分數(shù)圖式以及部分分數(shù)圖式的簡單擴展，關鍵在于轉換學生分數(shù)的概念.也就是要把單位分數(shù)作為整體中的部分的觀念轉換到把單位分數(shù)作為和整體具有倍數(shù)關系的一個量［23］.因此，學生在部分分數(shù)圖式階段，可能還有整體大于部分的觀念.而在迭代分數(shù)圖式中，學生能夠超越整體的限制，把單位分數(shù)和真分數(shù)都看成是一個可以迭代的量，構建了所有的非單位分數(shù)（包括真分數(shù)、假分數(shù)和帶分數(shù)）和單位分數(shù)之間的倍數(shù)關系.這種關系建立之后，學生對于分數(shù)與整數(shù)的乘法，同分母分數(shù)的加減法將會有概念性的理解.情境活動結果把一根完整的彩帶平均分給7個小朋友，其中4個小朋友共得到多長的彩帶？解讀：想要知道4個小朋友共得到多長的彩帶，首先需要知道一個小朋友分到彩帶的長度，然后再得到4個小朋友的彩帶長度.a_、*4個小朋友得到的彩帶是一個小朋友得到的那段彩帶的4倍，也就是4/7.圖3“部分分數(shù)圖式”情境圖情境活動結果每個小朋友得到1根彩帶的1/7，8個小朋友一共得到多長的彩帶？情境解讀：每個小朋友有一根彩帶的1/7，那么可以將1/7迭代8次得到所求部分.丫 111111pI,； _Lj_1；_1迭代一次是1/7，8次是8/7.圖4“迭代分數(shù)圖式”情境圖3.3可逆分數(shù)圖式可逆分數(shù)圖式（ReversibleFractionScheme），是指從任何未被均分的非單位分數(shù)（可能是真分數(shù)，也可能是假分數(shù)）中產生整體，先通過均分操作得到一個單位分數(shù)，然后通過迭代單位分數(shù)得到整體［24］.活動解讀：（情境等參考圖5）因為學生已經具有了部分分數(shù)圖式和迭代分數(shù)圖式，因此，在這個階段就是要利用非單位分數(shù)與單位分數(shù)之間的倍數(shù)關系對非單位分數(shù)進行逆向操作，也就是分裂操作［25］（能夠同時預期一個分數(shù)的均分和迭代的雙向關系，也就是既能理解一個量是由整體均分成n份得到，也理解這個量迭代n次可以產生整體，因此整體是這個量的n倍），獲得單位分數(shù)，然后再將單位分數(shù)迭代，得到整體，見圖5活動部分.具體操作過程是首先將已知的3/7分裂后，獲得1/7,然后將1/7迭代7次得到7/7,也就是完整的彩帶.沒有構建可逆分數(shù)圖式的學生往往只注意到分母m表

示單位分數(shù)和整體之間的均分關系，而忽略了非單位分數(shù)與單位分數(shù)的倍數(shù)關系.因此，對于任何分數(shù)，一上來就直接分成m份.而發(fā)展了迭代分數(shù)圖式的學生較好的建立了非單位分數(shù)和單位分數(shù)的關系.在實際教學中，教師常常忽視概念的逆向理解，認為學生能夠正向理解一個概念，就能夠反向應用這個概念.實際上，這是兩個不同的操作（一個正向，一個逆向），都需要幫助學生建立.而在上述例子中，第一步的分裂操作不但需要學生充分理解迭代分數(shù)圖式，能夠解釋n/m為n個1/m，同時，也能夠建立對迭代分數(shù)圖式的逆向理解，也就是將n/m平均分成n份可以得到單位分數(shù)1/m.可逆分數(shù)圖式為解釋分數(shù)或百分數(shù)問題中的求單位1的問題（比如一個數(shù)的3/5是3,求這個數(shù)；一件商品漲價20%后是90元，請問該商品原價是多少元）提供了重要認知基礎.3.4遞歸均分圖式通過均分一個單位分數(shù)（1/m的1/n），將會生成一個新的單位分數(shù)［1/（nxm）］,也就是單位的單位（Unit-of-Unit）［26］.活動解讀：（情境等參考圖6）觀察學生遞歸均分操作，也就是把1/5份再進行7等分，再取出等分后的一份（也就是1/5的1/7，1/5X1/7）,迭代該部分7次后得到1/5,而整體中有5個1/5.因此,能夠預期迭代該部分35次等于整體.相比于前面介紹的幾種分數(shù)圖式，遞歸均分圖式對學生在概念認知上的要求更高.學生需要能夠注意到不同單位分數(shù)和對應的整體之間的變換.比如1/5對應的整體是整根彩帶，而1/7對應的整體是1/5根彩帶，最后1/35對應的整體又變回整根彩帶.這整個變換的過程需要借助學生對乘法推理的理解，也就是整體是由5個1/5組成，每一個1/5是由7個1/7組成，那么整體就是“35（5/7）”個“1/5的1/7”.遞歸均分圖式是分數(shù)通分、化簡，以及異分母分數(shù)運算，和小數(shù)理解的基礎.遞歸均分圖式(RecursivePartitioningFractionScheme),情境活動結果情境活動結果因為3/7因為3/7是1/7的3倍，所以將3/7分成3份以后，得到1/7，1/7的7倍是7/7，也就是整體1.已知一根彩帶的3/7，請畫出整根彩帶.解讀：已經一根彩帶的3/7,要畫出整根彩帶，學生需要先將3/7的彩帶平均分成3份，迭代其中的1份7次，得到整根彩帶.圖5“可逆分數(shù)圖式”情境圖情境活動結果我有一根完整彩帶的1/5，我分享這個彩帶的1/7給一個朋友，請問我的朋友得到整個彩帶的幾分之幾？解讀：想要知道每一份是整根彩帶的幾分之幾.所以，需要先將1/5平均分成7份，再看看其中的1份是整根彩帶的幾分之幾.因為整體是1/5的5倍，1/5是“1/5的1/7〃的7倍，所以整體是“1/5的1/7〃的35倍，也就是朋友分到的是整根彩帶的1/35.圖6“遞歸均分圖式”情境圖3.5單位分數(shù)組合圖式單位分數(shù)組合圖式（UnitFractionCompositionScheme）是對遞歸均分圖式的擴展，指通過協(xié)調遞歸分數(shù)圖式和可逆分數(shù)圖式解決單位分數(shù)和非單位分數(shù)相乘的問題.活動解讀：（情境等參考圖7）首先，利用可逆分數(shù)圖式，學生能夠將真分數(shù)3/7逆向分解為3個1/7.然后，利用已經掌握的遞歸均分圖式，學生能夠計算1/5的1/7是1/35.最后，利用迭代分數(shù)圖式，1/35的3倍是3/35.從學生的活動來看，單位分數(shù)組合圖式需要學生將非單位分數(shù)再次進行均分的同時還要兼顧迭代的數(shù)量，而遞歸均分圖式（單位分數(shù)的單位分數(shù)）只需要將單位分數(shù)進行均分和取出，而不需要迭代.因此，單位分數(shù)組合圖式對學生的操作水平要求更高，而且該圖式階段能夠促進幫助學生對分數(shù)乘分數(shù)的理解.3.6分配均分圖式分配均分圖式（DistributivePartitioningFractionScheme）,通過將給定數(shù)量的整體進行均分得到單位分數(shù)，重新組合后，得到一個非單位分數(shù)，也就是將n個物體平均分m份，或者說將每個1/m分配（將一個單位的數(shù)分給另外一個單位）到n中.該圖式是最高級均分活動一一分配均分（把每一個單位按照分配的數(shù)量進行等分，取出等分后的單位分數(shù)部分，然后把所有的單位分數(shù)部分相加［26］）.活動解讀：（情境等參考圖8）觀察學生的分配均分操作.將每個彩帶4等分，然后將第一根彩帶中的1/4分給一個小朋友，對第二根第三根彩帶也如此操作，最后，每一個小朋友都得到了3個1/4根彩帶，也就是3/4根彩帶.分配均分圖式可以被用于解釋整數(shù)或者分數(shù)被整數(shù)等分除的運算法則.例如解決3/4-5,通常的操作是將除法變成乘

情境活動結果我有整根彩帶的1/5,我打算把我的彩帶的3/7給朋友，朋友將會得到整根彩帶的幾分之幾？情境解讀：如果想知道朋友得到的彩帶（1/5的情境活動結果我有整根彩帶的1/5,我打算把我的彩帶的3/7給朋友，朋友將會得到整根彩帶的幾分之幾？情境解讀：如果想知道朋友得到的彩帶（1/5的3/7）是整根彩帶的幾分之幾.我需要先求出我的彩帶的1/7是整根彩帶的幾分之幾，然后再迭代該部分3次就是朋友得到的彩帶占整根彩帶的幾分之幾. - 1jj""；； " . "「"1 ?11/5的3/7是3/35，因為3/7是1/7的3倍，同時1/5的1/7是1/35，因此1/5的3/7是1/35的3倍，也就是3/35.法，也就是3/4xl/5,而學生很難理解為什么要顛倒相乘， 成乘以1/5.所以，分配均分圖式賦予了分配意義下的分數(shù)而上述對分配均分圖式的演繹解釋了為什么除以5可以變 除法以合理解釋.圖7“單位分數(shù)組合圖式”情境圖任意分數(shù)組合圖式（anyFractionCompositionScheme）是對前面分數(shù)圖式的進一步順應，可以解決任意分數(shù)乘除法的問題.在這個圖式中，學生會靈活地使用迭代、分裂、遞歸均分、分配均分等操作來解決問題.活動解讀：（情境等參考圖9）無論是上述哪種做法，都是建立在單位分數(shù)組合圖式的基礎上，也就是需要先遞歸均分，然后再迭代，如圖9.可以先將自己的彩帶（2/5）進即得到所求部分，也就是整體的6/35.通過對基于“迭代一均分”操作的分數(shù)圖式理論的每個階段的闡釋可知，小學生的分數(shù)圖式的發(fā)展是循序漸進的，新的圖式階段是對舊的圖式階段的擴展及重組［19］.一方面，新的圖式可以被看作是對舊圖式的超越，能夠解決舊圖式沒有解決的問題，或者更好地解決舊圖式已經解決的問題；另一方面，舊圖式的操作出現(xiàn)在新圖式中，卻是為不同的目的而服務.行遞歸均分（2/5的1/7），得到2/35,然后將2/35迭代3次,情境活動結果將3根彩帶平均分為4個小朋友，每個人得到一根彩帶的幾分之幾？解讀：由于3根彩帶不夠4個小朋友整分，因此，可以先將每根彩帶4等分，然后分別從各自整體中取出1/4部分給1個小朋友，每個小朋友就得到3個1/4.1 ] 11 11□~11 LZI~~11 □~11~rrrTrrncmcm3 3 34 4 ?因為每個人可以得到一根彩帶的1/4，有3根彩帶，所以，每個人可以得到3個1/4，也就是3/4．圖8“分配均分圖式”情境圖情境活動結果我有一根完整彩帶的2/5，我把自己彩帶的3/7給了朋友，朋友得到整根彩帶的幾分之幾？解讀：要解決這個問題，可以有兩種不同的解決方法，一種是先求出2/5的1/7，再迭代3次；一種是先求出1/5的3/7，再迭代2次。無論是哪一種方式，都是對單位分數(shù)組合圖式的迭代．2/5x3/7=1/5x1/7x2x3=6/35 2/根據(jù)單位分數(shù)組合圖式，每個2/5里的1/7是2/35，而3個2/35就是6/35，因此，朋友得到整根彩帶的6/35.圖9“任意分數(shù)組合圖式”情境圖4研究結論基于“迭代一均分”操作的分數(shù)圖式進階模型是基于斯特芬、撒冷等學者質的建構主義教學實驗研究成果總結和概括的.通過對該理論的認知基礎以及進階階段的綜述和分析，可以得出以下結論.4.1度量是分數(shù)概念的本質意義正如奧利弗所說，基倫（Kieren）提出的分數(shù)的部分一整體意義［2］是度量意義的一種特例，分數(shù)的度量意義不只是從整體中取出部分，而是指對單位分數(shù)的迭代［28］.撒冷認為先學習分數(shù)“部分一整體”意義妨礙了學生對分數(shù)本質意義的理解［17］.因此，分數(shù)的度量意義應該被看作是對分數(shù)的部分一整體意義的超越.分數(shù)的本質不是整體的一部分，而是一種乘法關系（單位分數(shù)和整體，單位分數(shù)和非單位分數(shù)），而這正是分數(shù)度量意義的本質，也就是強調分數(shù)是一個具有度量意義的、可以計數(shù)的數(shù).而分數(shù)的度量意義給分數(shù)的概念和運算的理解都提供了一個統(tǒng)一的概念框架.張皖等的研究表明：60%的六年級學生能較好地掌握度量意義，“部分一整體”意義不一定是教學的必須途徑，而度量意義掌握好的學生對其它意義的掌握水平也較高[功.這也在某個程度上證明了從度量意義出發(fā)學習分數(shù)會促進學生對分數(shù)其它意義的理解.4.2學生的分數(shù)圖式是對其整數(shù)計數(shù)圖式的順應雖然分數(shù)圖式的產生解決了整數(shù)計數(shù)圖式沒有解決的問題，但是分數(shù)圖式的發(fā)展并沒有脫離整數(shù)計數(shù)圖式的發(fā)展，分數(shù)圖式可以被認為是對整數(shù)計數(shù)圖式的重組，即整數(shù)計數(shù)圖式中的操作方式出現(xiàn)在一個新的情境中[6].整數(shù)計數(shù)圖式中的“復合單位”以及乘法推理中“雙軌協(xié)同計數(shù)”(doublecounting)[30]的概念對學生學習分數(shù)起著至關重要的作用.只不過在整數(shù)情境中，復合單位是大于1的整數(shù)，雙軌計數(shù)中的兩個序列一個是以“1”為單位的數(shù)，一個是復合單位，比如1(3)、2(6)、3(9)……而在分數(shù)情境中，協(xié)同的一個以“1”為單位的數(shù)，一個是復合分數(shù)，比如1(2/5)、2(4/5)、3(6/5).因此，整數(shù)的學習并不會妨礙分數(shù)的學習，而是在分數(shù)情境里，激發(fā)了學生的整數(shù)計數(shù)圖式.甚至可以說，學生整數(shù)計數(shù)圖式的發(fā)展，特別是雙軌計數(shù)圖式的發(fā)展對其分數(shù)思維的發(fā)展起到了促進的作用.4.3迭代和均分操作能夠促進學生對分數(shù)度量意義的理解首先,迭代操作不但能夠構建單位分數(shù)與整體之間的倍數(shù)關系，還能使學生對分數(shù)的理解超越“部分一整體”關系的限制.迭代操作在不同分數(shù)圖式階段都有所體現(xiàn)，但是最基礎的基于迭代的分數(shù)圖式分別是單位分數(shù)圖式、部分分數(shù)圖式和迭代分數(shù)圖式.學生通過迭代部分產生與整體相等的新的整體,體會單位分數(shù)和整體之間的倍數(shù)關系以及迭代次數(shù)與迭代部分大小之間的逆關系，從而構建單位分數(shù)圖式.然后，通過迭代單位分數(shù)構建真分數(shù)圖式，盡管該階段學生能夠理解單位分數(shù)與真分數(shù)之間的倍數(shù)關系，但是還有整體大于部分的觀念.當學生迭代單位分數(shù)或非單位分數(shù)能夠超越整體的限制時，學生不僅能突破整體大于部分的思維定式，還能將部分看作是可迭代的量，從而深刻理解分數(shù)的本質，即分數(shù)的度量意義，也就是分數(shù)是一個數(shù)，可以計數(shù)和度量.其次，均分操作是為小學生分數(shù)圖式的深度發(fā)展而服務的.具體而言，均分操作包括平均均分(equi-partitioning)、遞歸均分、分配均分[18].首先，平均均分操作是最基礎的均分操作，需要協(xié)調兩個水平的單位，即單位分數(shù)和迭代單位分數(shù)產生的整體.其次是遞歸均分操作，需要協(xié)調3個水平的單位，即整體、單位分數(shù)、均分單位分數(shù)產生的新的單位分數(shù).而分配均分操作是最高級的均分操作，在均分的同時還需要考慮分配的數(shù)量，因此也需要協(xié)調兩個三水平的單位.隨著分數(shù)圖式水平的提升，學生在頭腦中的操作也越來越復雜，而基于迭代一均分操作的活動教學能夠幫助學生構建越來越成熟和穩(wěn)定的分數(shù)圖式，為學生后續(xù)的數(shù)學學習提供認知基礎.5建議分數(shù)圖式進階理論對中國小學生分數(shù)概念發(fā)展的研究、教材編寫和教師的教學具有重要的理論價值和實踐