2022-2023學(xué)年湖北省武漢二中廣雅中學(xué)八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

2022-2023學(xué)年湖北省武漢二中廣雅中學(xué)八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、選擇題（每小題0分，共30分）1．若為二次根式，則a的取值為（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞12．下列計(jì)算中，正確的是（）A． B． C． D．3．下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A．1.5，2，2.5 B．5，12，14 C．30，40，50 D．1，2，4．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．5．若，則x2+2x+1的值是（）A．1 B．3 C． D．6．如圖所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE上的位置上，如圖，測(cè)得DB的長(zhǎng)0.5米，則梯子頂端A下落了（）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．17．設(shè)，，，則x，y，z的大小關(guān)系是（）A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．x＞z＞y D．z＞y＞x8．如圖，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個(gè)半圓，那么陰影部分的面積為（）A．14 B．18 C．24 D．489．已知xy＞0，化簡(jiǎn)二次根式x的正確結(jié)果為（）A． B． C．﹣ D．﹣10．如圖，AB＝AC＝4，P是BC上異于B、C的一點(diǎn)，則AP2+BP?PC的值是（）A．20 B．25 C．24 D．16二、填空題（每小題0分，共18分）11．計(jì)算＝，＝，＝．12．寫出命題“等邊三角形是等腰三角形”的逆命題．13．如圖，Rt△ABC的直角邊AB在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)為0，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．若CB＝1，AB＝2，則點(diǎn)D表示的實(shí)數(shù)為．14．如圖，一根竹子原高10尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高為x尺，則可列方程為．（不用化簡(jiǎn)）15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BC所在的直線于點(diǎn)F，連接AF，CD．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)△ABF是等腰三角形時(shí)，則t＝秒．16．如圖，∠MON＝30°，OA＝2，OD＝8，線段BC在射線ON上滑動(dòng)，，則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是．三、解答題17．計(jì)算：（1）；（2）．18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．19．已知，，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2；（2）．20．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，求證：∠AEF＝90°．21．如圖，是由49個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的7×7的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)O、A、M、N、B均在格點(diǎn)上．（1）直接寫出OM＝；（2）點(diǎn)E在網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，且△OME是以O(shè)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)E有個(gè)；（3）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，借助矩形MNBA和無刻度的直尺作出∠MON的角平分線，并保留作圖痕跡．22．如圖1是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．在圖1中畫出△ABC，其頂點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)，同時(shí)構(gòu)造長(zhǎng)方形DECF，使它的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，他們借助此圖求出了△ABC的面積．（1）在圖1中，所畫出的△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AB＝，BC＝，AC＝；△ABC的面積為．（2）在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△DEF（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）使DE＝，DF＝，EF＝，并直接寫出點(diǎn)D到EF的距離．（3）若△ABC中有兩邊的長(zhǎng)分別為a、，且△ABC的面積為4a2，試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）中畫出所有符合題意的△ABC（全等的三角形視為同一種情況），并求出它的第三條邊長(zhǎng)填寫在橫線上．23．已知△ACB是等腰直角三角形，CA＝CB，（1）如圖1，△CDE是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，CD＝CE，連接BD，求證：BE⊥AB；（2）如圖2，點(diǎn)F是斜邊AB上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是AB延長(zhǎng)線上動(dòng)點(diǎn)，總有∠FCB＝∠CGF，探究AF，GF，BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)H是AC一點(diǎn)，連接FH，若∠HFC＝45°，AF＝m，BF＝n，直接寫出△CHF的面積為（用m，n表示）．24．如圖1，點(diǎn)A（﹣a，0），點(diǎn)，（a＞0），點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，（1）求證：△ABC是正三角形；（2）如圖2，∠EOF＝120°，求的值；（3）如圖3，BN，AM交于點(diǎn)P，∠APN＝60°，若AQ＝AN，PQ＝5，PB＝8，求MP的大?。?/p>

參考答案一、選擇題（每小題0分，共30分）1．若為二次根式，則a的取值為（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可．解：為二次根式，∴a﹣1≥0，∴a≥1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．2．下列計(jì)算中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則依次判斷即可．解：A、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D、與不能合并，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A．1.5，2，2.5 B．5，12，14 C．30，40，50 D．1，2，【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)的邊的平方，再看看是否相等即可．解：A．∵1.52+22＝2.52，∴以1.5，2，2.5為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵52+122≠142，∴以5，12，14為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵302+402＝502，∴以30，40，250為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵12+（）2＝22，∴以1，2，為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．4．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，逐項(xiàng)判定即可解答．解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、，選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．5．若，則x2+2x+1的值是（）A．1 B．3 C． D．【分析】先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．解：x2+2x+1＝（x+1）2，當(dāng)時(shí)，原式＝＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求代數(shù)式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．如圖所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE上的位置上，如圖，測(cè)得DB的長(zhǎng)0.5米，則梯子頂端A下落了（）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AC＝2米，由于梯子的長(zhǎng)度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得CE＝1.5米，所以AE＝0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2.5米，BC＝1.5米，∴AC＝＝＝2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴CE2+CD2＝DE2，∵AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，∴EC＝＝＝1.5米，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5（米）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)注意梯子的長(zhǎng)度不變，分別運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．7．設(shè)，，，則x，y，z的大小關(guān)系是（）A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．x＞z＞y D．z＞y＞x【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后比較大小即可．解：，，，∴z＞x＞y，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式的化簡(jiǎn)及大小比較，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．8．如圖，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個(gè)半圓，那么陰影部分的面積為（）A．14 B．18 C．24 D．48【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓的面積加上一個(gè)直角三角形ABC的面積減去一個(gè)以AB為直徑的半圓的面積．解：S陰影＝直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC﹣直徑為AB的半圓的面積＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC＝AC×BC＝×6×8＝24．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形面積的計(jì)算公式，陰影部分的面積可以看作是幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差．9．已知xy＞0，化簡(jiǎn)二次根式x的正確結(jié)果為（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】二次根式有意義，y＜0，結(jié)合已知條件得y＜0，化簡(jiǎn)即可得出最簡(jiǎn)形式．解：∵xy＞0，∴x和y同號(hào)，∵x的中，≥0，∴y＜0，∴x＜0，y＜0，∴x＝﹣＝﹣，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．10．如圖，AB＝AC＝4，P是BC上異于B、C的一點(diǎn)，則AP2+BP?PC的值是（）A．20 B．25 C．24 D．16【分析】分析題意，要求解AP2+BP?PC的值，不能直接得出，需要添加輔助線來解答．過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ADP與Rt△ABD中，運(yùn)用勾股定理可表示出AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2．根據(jù)AB＝AC，AD⊥BC，運(yùn)用三線合一以及線段之間的轉(zhuǎn)化可得BP?PC＝BD2﹣DP2．解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AD⊥BC，∴△ADP與△ABD都為直角三角形，∴AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵PC＝CD+DP，BD＝CD，∴PC＝BD+DP，∵BP＝BD﹣DP，PC＝BD+DP，∴BP?PC＝BD2﹣DP2，∵AP2＝AD2+DP2，BP?PC＝BD2﹣DP2，∴AP2+BP?PC＝AD2+BD2，∵AB2＝AD2+BD2，AP2+BP?PC＝AD2+BD2，∴AP2+BP?PC＝AB2，∵AB＝4，∴AP2+BP?PC＝16，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，以及等腰三角形的三線合一，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題0分，共18分）11．計(jì)算＝12，＝﹣，＝．【分析】根據(jù)二次根式的乘方運(yùn)算及求算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可．解：，，，故答案為：12；；．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算及算術(shù)平方根的求法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．12．寫出命題“等邊三角形是等腰三角形”的逆命題等腰三角形是等邊三角形．【分析】把命題“等邊三角形是等腰三角形”的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到逆命題解答．解：命題“等邊三角形是等腰三角形”的逆命題為：等腰是三角形是等邊三角形，故答案為：等腰三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆命題的寫法，命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．13．如圖，Rt△ABC的直角邊AB在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)為0，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．若CB＝1，AB＝2，則點(diǎn)D表示的實(shí)數(shù)為﹣．【分析】首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AD的長(zhǎng)，再根據(jù)A點(diǎn)表示0，可得D點(diǎn)表示的數(shù)．解：AC＝＝＝，則AD＝，∵A點(diǎn)表示0，∴D點(diǎn)表示的數(shù)為：﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．同時(shí)考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸．14．如圖，一根竹子原高10尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高為x尺，則可列方程為x2+32＝（10﹣x）2．（不用化簡(jiǎn)）【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的長(zhǎng)度即可．解：根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故答案為：x2+32＝（10﹣x）2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BC所在的直線于點(diǎn)F，連接AF，CD．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)△ABF是等腰三角形時(shí)，則t＝5或或4秒．【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，由勾股定理得：，當(dāng)FA＝FB時(shí)，DF⊥AB，∴，∴t＝10÷2＝5；當(dāng)AF＝AB＝20時(shí)，∠ACB＝90°，則BF＝2BC＝24，∴，即，解得：，由勾股定理得：，∴；當(dāng)BF＝AB＝20時(shí)，∵BF＝20，BC＝12，∴CF＝BF﹣BC＝8，由勾股定理得：，∵BF＝BA，F(xiàn)D⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝16，∴，∴t＝8÷2＝4；綜上所述，△ABF是等腰三角形時(shí)，t的值為5或或4，故答案為：5或或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．16．如圖，∠MON＝30°，OA＝2，OD＝8，線段BC在射線ON上滑動(dòng)，，則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是．【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，EF＝BC，連接BE，CF，過點(diǎn)O作OP垂直于直線EF于P，過點(diǎn)D作DG垂直直線EF于G，交射線ON于H，設(shè)AE交射線ON于Q，連接BE，CF，DF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AQ＝QE，AQ⊥ON，AB＝BE，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AQ＝QE＝1，，，證明四邊形OPGH是矩形，得到，同理可證四邊形OPQE是矩形，得到，則DG＝5，，即可求出，證明四邊形BEFC是平行四邊形，得到AB＝BE＝CF，推出當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF+CD最小，即四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，最小為，由此即可得到答案．解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，EF＝BC，連接BE，CF，過點(diǎn)O作OP垂直于直線EF于P，過點(diǎn)D作DG垂直直線EF于G，交射線ON于H，設(shè)AE交射線ON于Q，連接BE，CF，DF，∴AQ＝QE，AQ⊥ON，AB＝BE，∵∠MON＝30°，∴，∵DG⊥EF，EF∥ON，∴DG⊥ON，同理得：，∴，，∵OP⊥PG，HG⊥PG，HG⊥OH，∴四邊形OPGH是矩形，∴，同理可證四邊形OPQE是矩形，∴，∴DG＝DH+GH＝5，，∴，∵OD＝8，OA＝2，∴AD＝6，∵EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴AB＝BE＝CF，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝＝，∴當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF+CD最小，即四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，最小為，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線確定出周長(zhǎng)最小時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先將二次根式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減法即可；（2）先把除變乘利用分配律計(jì)算即可．解：（1）＝＝；（2）＝（4﹣3）×＝﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【分析】利用二次根式的性質(zhì)將原式化簡(jiǎn)，然后由平方差公式得出xy＝4，代入求解即可．解：＝＝，∵，y＝，∴，∴原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)及求代數(shù)式的值，平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．已知，，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）先將分式進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，然后代入求解即可．解：（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2，當(dāng)，時(shí)，原式＝＝16；（2）＝＝，當(dāng)，時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)求值，乘法公式、因式分解、熟練掌握各運(yùn)算法則和公式是解題關(guān)鍵．20．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，求證：∠AEF＝90°．【分析】利用正方形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，設(shè)出邊長(zhǎng)為a，進(jìn)一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理判定即可．【解答】證明：∵ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°．設(shè)AB＝BC＝CD＝DA＝a，∵E是BC的中點(diǎn)，且CF＝CD，∴BE＝EC＝a，CF＝a，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝a2，同理可得：EF2＝EC2+FC2＝a2，AF2＝AD2+DF2＝a2，∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF為直角三角形，∴∠AEF＝90°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理、勾股定理逆定理的運(yùn)用，注意在正方形中的直角三角形的應(yīng)用．21．如圖，是由49個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的7×7的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)O、A、M、N、B均在格點(diǎn)上．（1）直接寫出OM＝5；（2）點(diǎn)E在網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，且△OME是以O(shè)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)E有3個(gè)；（3）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，借助矩形MNBA和無刻度的直尺作出∠MON的角平分線，并保留作圖痕跡．【分析】（1）利用勾股定理即可求出OM的長(zhǎng)；（2）由OM＝5，得OE＝5，根據(jù)網(wǎng)格即可找到點(diǎn)E；（3）連接AN和BM交于點(diǎn)D，連接OD，即可作出∠MON的角平分線．解：（1）根據(jù)網(wǎng)格可知：OM＝＝5，故答案為：5；（2）如圖，由OM＝5，∴OE＝5，所以滿足條件的點(diǎn)E有3個(gè)，分別為E1，E2，E3．故答案為：3；（3）如圖，連接AN和BM交于點(diǎn)D，連接OD，則OD即為∠MON的角平分線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．22．如圖1是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．在圖1中畫出△ABC，其頂點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)，同時(shí)構(gòu)造長(zhǎng)方形DECF，使它的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，他們借助此圖求出了△ABC的面積．（1）在圖1中，所畫出的△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AB＝2，BC＝，AC＝3；△ABC的面積為6．（2）在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△DEF（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）使DE＝，DF＝，EF＝，并直接寫出點(diǎn)D到EF的距離．（3）若△ABC中有兩邊的長(zhǎng)分別為a、，且△ABC的面積為4a2，試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）中畫出所有符合題意的△ABC（全等的三角形視為同一種情況），并求出它的第三條邊長(zhǎng)填寫在橫線上或4a．【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，AC，根據(jù)正方形的面積公式、三角形的面積公式求出△ABC的面積；（2）根據(jù)勾股定理畫出△DEF，根據(jù)矩形的面積公式、三角形的面積公式求出△DEF的面積；利用等積法，求得點(diǎn)D到EF的距離；（3）根據(jù)勾股定理，結(jié)合格點(diǎn)構(gòu)造△ABC，使其滿足兩邊的長(zhǎng)分別為、，且△ABC的面積為4a2即可．解：（1）根據(jù)勾股定理，結(jié)合格點(diǎn)圖形可得：，，故答案為：；（2）如圖所示，，，，過點(diǎn)D作DH⊥EF，，又，，所以，即點(diǎn)D到EF的距離為；故答案為：；（3）如圖所示，△ABC（A'BC）即為所求，其中，第三邊或A'C＝4a，且△ABC的面積為4a2，故答案為：或4a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)、三角形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．23．已知△ACB是等腰直角三角形，CA＝CB，（1）如圖1，△CDE是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，CD＝CE，連接BD，求證：BE⊥AB；（2）如圖2，點(diǎn)F是斜邊AB上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是AB延長(zhǎng)線上動(dòng)點(diǎn)，總有∠FCB＝∠CGF，探究AF，GF，BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)H是AC一點(diǎn)，連接FH，若∠HFC＝45°，AF＝m，BF＝n，直接寫出△CHF的面積為（用m，n表示）．【分析】（1）設(shè)BE、CD交于O，證明△ACD≌△BCE，得到∠ADC＝∠BEC，再由∠COE＝∠BOD，可得∠OBD＝∠OCE＝90°，即可證明BE⊥AB；（2）如圖所示，將△ACF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH，連接HG，先求出∠A＝∠ABC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得FA＝BH，∠A＝∠CBH＝45°，即可推出∠HBG＝90°，再證明△CFG≌△CHG，得到FG＝GH，由勾股定理得到GH2＝BH2+BG2，即可得到FG2＝AF2+BG2；（3）如圖所示，將△CFB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CMA，連接MF，AM，則∠CMF＝∠CFM＝45°，進(jìn)而證明M、H、F三點(diǎn)共線，同理可證∠MAF＝90°，由勾股定理得：，則，求出，過點(diǎn)H作HQ⊥AM于Q，HP⊥AF于P，利用角平分線的性質(zhì)HQ＝HP，即可推出S△MAH：S△FAH＝n：m，進(jìn)而得到MH：HF＝n：m，則．【解答】（1）證明：設(shè)BE、CD交于O，∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，CD＝CE，CA＝CB，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，又∵∠COE＝∠BOD，∴∠OBD＝∠OCE＝90°，∴BE⊥AB；（2）解：FG2＝AF2+BG2，理由如下：如圖所示，將△ACF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH，連接HG，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得FA＝BH，∠A＝∠CBH＝45°，∴∠ABH＝∠ABC+∠CBH＝90°，∴∠HBG＝90°，∵∠FCB＝∠CGF，∠ABC＝∠BCG+∠CGF＝45°，∴∠FCB+∠BCG＝45°，∴∠FCG＝∠HCG＝45°，又∵CF＝CH，CG＝CG，∴△CFG≌△CHG（SAS），∴FG＝GH，在Rt△HBG中，由勾股定理得：GH2＝BH2+BG2，∴FG2＝AF2+BG2；（3）解：如圖所示，將△CFB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CMA，連接MF，AM，∴△MCF為等腰直角三角形，AM＝BF，∴∠CMF＝∠CFM＝45°，又∵∠CFH＝45°，∴M、H、F三點(diǎn)共線，同理可證∠MAF＝90°，在Rt△MAF中，由勾股定理得：，∴，∴，過點(diǎn)H作HQ⊥AM于Q，HP⊥AF于P，∵∠MAC＝∠BAC＝45°，∴HQ＝HP，∴，∴MH：HF＝n：m∴，故答案為：；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的