2023年九年級數(shù)學中考一輪復習《圖形的位似》專題提升訓練【含答案】

2023年九年級數(shù)學中考一輪復習《圖形的位似》專題提升訓練一．選擇題1．如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A（2，2）、B（2.5，0.8），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD，則端點C的坐標為（）A．（3，1.6） B．（4，3.2） C．（4，4） D．（6，1.6）2．如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝：，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為（）A．： B．2：3 C．2：5 D．4：93．如圖，兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點N B．點O C．點M D．點P4．如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，△ABC與△DEF的面積之比為1：4，若OB＝2，則OE的長為（）A．1 B．2 C．4 D．85．如圖，在平面直角坐標系xOy中有兩點A（﹣2，0）和B（﹣2，﹣1），以原點O為位似中心作△COD，△COD與△AOB的相似比為2，其中點C與點A對應，點D與點B對應，且CD在y軸左側，則點D的坐標為（）A．（4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（1，） D．（﹣1，﹣）6．如圖，直角坐標系中，△OAB頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點C坐標（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（﹣2，﹣1）7．在如圖所示的網格中，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，位似中心是點O，則四邊形ABCD與四邊形NPMQ的位似比是（）A．1：2 B．2：1 C．1： D．：18．如圖，以點O為位似中心，把△ABC中放大到原來的2倍得到△A'B'C'．以下說法中錯誤的是（）A．△ABC∽△A'B'C' B．點C，O，C'三點在同一條直線上 C．AO：AA'＝1：2 D．AB∥A'B'二．填空題9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C'與矩形OABC位似，位似中心是原點O，且矩形OA′B'C'的面積等于矩形OABC面積的，則點B'的坐標是．10．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，點A的坐標為（0，2），則點E的坐標是．11．在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關于原點O的位似圖形，若點A的坐標為（2，4），則其對應點A1的坐標是．12．如圖，△ABC∽△DEF，則△ABC與△DEF是以為位似中心的位似圖形，若＝，則△DEF與△ABC的位似比是．三．解答題13．如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．過點O作OE⊥BC于點E，連接DE交OC于點F，過點F作FG⊥BC于點G，則△ABC與△FGC是位似圖形嗎？若是，請說出位似中心，并求出相似比；若不是，請說明理由．14．如圖，點A，D在∠XOY的邊OX上，點B，E在OY邊上，射線OZ在∠XOY內，且點C，F(xiàn)在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．＝．（1）試說明△ABC與△DEF是位似圖形；（2）求△ABC與△DEF的位似比．15．如圖，在6×6的正方形方格中，每個小正方形的邊長都為1，頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形，如圖①中，△ABC是一個格點三角形．（1）在圖①中，請判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由；（2）在圖②中，以O為位似中心，畫一個格點三角形△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．16．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．（1）在坐標系中原點O的異側，畫出以O為位似中心的位似圖形△A'B'C，使得△A'B'C與△ABC的位似比為2，則點C′的坐標為：．（2）△A'B'C的面積為：．（3）在x軸上找一點P，使得△PAC的周長最小，則點P的坐標是：．17．如圖，在正方形網格中，△OBC的頂點分別為O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．（1）以點O（0，0）為位似中心，按比例尺2：1在位似中心的異側將△OBC放大為△OB'C'，放大后點B、C兩點的對應點分別為B'、C'，畫出△OB'C'，并寫出點B'、C'的坐標；（2）在（1）中，若點M（x，y）為線段BC上任一點，寫出變化后點M的對應點M'的坐標．18．小明同學在研究如何在△ABC內做一個面積最大的正方形時，想到了可以利用位似知識解決這個問題，他的做法是：（如圖1）先在△ABC內作一個小正方形DEFG，使得頂點D落在邊AB上，頂點E、F落在邊BC上，然后連接BG并延長交AC邊于點H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，則正方形HIJK就是所作的面積最大的正方形．（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，請求出小明所作的面積最大的正方形的邊長．（2）拓展運用：如圖2，已知∠BAC，在角的內部有一點P，請畫一個⊙M，使得⊙M經過點P，且與AB、AC都相切．（注：并簡要說明畫法）19．如圖，正三角形ABC的邊長為3+．（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．20．我們知道：如果兩個三角形不僅是相似三角形，而且每對對應點所在的直線都經過同一個點，那么這兩個三角形叫做位似三角形，它們的相似比又稱為位似比，這個點叫做位似中心．利用三角形的位似可以將一個三角形縮小或放大．（1）選擇：如圖1，點O是等邊三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形．此時，△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為；（A）2、點P，（B）、點P，（C）2、點O，（D）、點O；（2）如圖2，用下面的方法可以畫△AOB的內接等邊三角形．閱讀后證明相應問題．畫法：①在△AOB內畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內接三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．

參考答案一．選擇題1．解：∵以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD，∴A點與C點是對應點，∵C點的對應點A的坐標為（2，2），位似比為1：2，∴點C的坐標為：（4，4）故選：C．2．解：∵四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，OA：OA'＝：，∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比：（）2：（）2＝2：3，故選：B．3．解：如圖，因為位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點M、N為對應點，所以位似中心在M、N所在的直線上．因為點P在直線MN上，所以點P為位似中心．故選：D．4．解：∵＝（）2＝，∴＝＝，∴＝，∴EO＝4，故選：C．5．解：∵點A（﹣2，0）和B（﹣2，﹣1），以原點O為位似中心作△COD，△COD與△AOB的相似比為2，點C與點A對應，點D與點B對應，且CD在y軸左側，∴點D的坐標為（﹣4，﹣2）．故選：B．6．解：∵以點O為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，∴點C坐標為（﹣×4，﹣×3），即（﹣1，﹣）．故選：B．7．解：如圖，連接OD，OQ，∵四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，位似中心是點O，∴四邊形ABCD與四邊形NPMQ的位似比＝OD：OQ＝：2＝1：2．故選：A．8．解：∵點O為位似中心，把△ABC中放大到原來的2倍得到△A'B'C'，∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′經過點O．故選：C．二．填空題9．解：∵矩形OA′B'C'的面積等于矩形OABC面積的，∴矩形OA'B'C'與矩形OABC位似比為1：2，∵B（6，4），∴B′點的坐標為（3，2）或（﹣3，﹣2）．故答案為（3，2）或（﹣3，﹣2）．10．解：∵四邊形ABCO為正方形，而A（0，2），∴B（2，2），∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖，點O為位似中心，位似比為2：3，∴E點坐標為（2×，2×），即E（3，3）．故答案為（3，3）．11．解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關于原點O的位似圖形，而點A的坐標為（2，4），∴點A對應點A1的坐標為（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），即（4，8）或（﹣4，﹣8）．故答案為（4，8）或（﹣4，﹣8）．12．解：如圖所示：△ABC∽△DEF，則△ABC與△DEF是以O為位似中心的位似圖形，若＝，則△DEF與△ABC的位似比是：．故答案為：O，．三．解答題13．解：△ABC與△FGC是位似圖形，∵OE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴OE∥FG，又OF、EG的連線相交于點C，∴△ABC與△FGC是位似圖形，位似中心是點C，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OB＝OD，又OE⊥BC，∴OE∥CD，∴OE是△BCD的中位線，∴OE＝CD，∵OE∥CD，∴＝＝，則＝，∴△ABC與△FGC的相似比是3．14．解：（1）∵AC∥DF，BC∥EF，∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，＝＝，＝，∴∠DFE＝∠ACB，＝，∴△ACB∽△DFE，∴△ABC與△DEF是位似圖形；（2）∵△ABC與△DEF是位似圖形，＝，∴△ABC與△DEF的位似比為：．15．解：（1）相似．理由如下：∵AB＝1，BC＝＝，AC＝＝2，DE＝＝，EF＝＝，DF＝4，∴＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）如圖②，△A1B1C1為所作．16．解：（1）如圖，△A'B'C即為所求，點C′的坐標為（﹣4，﹣2）．故答案為：（﹣4，﹣2）；（2）S△A′B′C′＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6，故答案為：6；（3）如圖，點P即為所求，P（，0），故答案為：（，0）．17．解：（1）如圖，△OB′C′即為所求．B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）．（2）M′（﹣2x，﹣2y）．18．解：（1）如圖1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，設正方形邊長為x．在RT△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，∴BM＝2，AM＝2，∵∠C＝∠MAC＝45°，∴AM＝MC＝2，∴BC＝2+2∵IH∥BC，∴＝，∴＝，∴x＝∴小明所作的面積最大的正方形的邊長為．（2）如圖2中，①作∠BAC的平分線AQ，②在AQ上取一點O，作⊙O和AB、AC相切，③連接AP交⊙O于E、F．④作PM1∥OE交AQ于M1，⑤以M1為圓心PM1為半徑作⊙M1，⊙M1即為所求．同法，作PM2∥OF，交AQ于M2，以M2為圓心PM2為半徑作⊙M2，⊙M2即為所求．19．解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．（2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x，∵△ABC為正三角形，∴AE′＝BF′＝x．∵E′F′+AE′+BF′＝AB，∴x+x+x＝3+，∴x＝，即x＝3﹣3，（x≈2.20也正確）（3）如圖②，連接NE、EP、PN，則∠NEP＝90°．設正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），它們的面積和為S，則NE＝，PE＝n．∴PN2＝NE2+PE2＝2m2+2n2＝2（m2+n2）．∴S＝m2+n2＝PN2，延長PH交ND于點G，則PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2＝PG2+GN2＝（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF＝AB，即m+m+n+n＝+3，化簡得m+n＝3．∴S＝[32+（m﹣n）2]＝+（m﹣n）2①當（m﹣n）2＝0時，即m＝n時，S最小．∴S最?。?；②當（m﹣n）2最大時，S最大．即當m最大且n最小時，S最大．∵m+n＝3，由（2）知，m最大＝3﹣3．∴S最大＝[9+（m最大﹣n最小）2]＝[9+（3﹣