復(fù)變函數(shù)12 復(fù)平面上的點(diǎn)集

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§1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集

我們?cè)谏瞎?jié)中提到過的復(fù)平面上的線段、直線和圓周等都是復(fù)平面上的點(diǎn)集.今后,我們的研究對(duì)象-解析函數(shù),其定義域和值域都是復(fù)平面上的某個(gè)點(diǎn)集.

1.平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念

定義1.1由不等式z?z0??所確定的平面點(diǎn)集(以后平面點(diǎn)集均簡(jiǎn)稱點(diǎn)集),就是以zo為心,以?為半徑的圓,稱為點(diǎn)zo的?-鄰域,常記為N??z0?.

定義1.2考慮點(diǎn)集E.若平面上一點(diǎn)z0(不必屬于E)的任意鄰域都有E的無窮多個(gè)點(diǎn),則稱z0為E的聚點(diǎn)或極限點(diǎn);若z0屬于E,但非E的聚點(diǎn),則稱z0為E的孤立點(diǎn);若z0不屬于E,又非E的聚點(diǎn),則稱z0為E的外點(diǎn).

定義1.3若點(diǎn)集E的每個(gè)聚點(diǎn)皆屬于E,則稱E為閉集;若點(diǎn)集E的點(diǎn)z0有一鄰域全含于E內(nèi),則稱z0為E的內(nèi)點(diǎn);若點(diǎn)集E的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn),則稱E為開集;若在點(diǎn)z0的任意鄰域內(nèi),同時(shí)有屬于點(diǎn)集E和不屬于E的點(diǎn),則稱z0為E的邊界點(diǎn);點(diǎn)集E的全部邊界點(diǎn)組成的點(diǎn)集稱為E的邊界.點(diǎn)集E的邊界常記成?E.點(diǎn)集E的孤立點(diǎn)必是E的邊界點(diǎn).

定義1.4若有正數(shù)M,對(duì)于點(diǎn)集E內(nèi)的點(diǎn)z皆合z?M,即若E全含于一圓之內(nèi),則稱E為有界集,否則稱E為無界集.

2.區(qū)域與約當(dāng)(Jordan)曲線

復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)幾何概念之一是區(qū)域的概念.定義1.5具備以下性質(zhì)的非空點(diǎn)集D稱為區(qū)域:

(1)D為開集.

(2)D中任意兩點(diǎn)可用全在D中的折

線連接(圖1.12).

OC圖1.12界點(diǎn)外點(diǎn)yz1D內(nèi)點(diǎn)x定義1.6區(qū)域D加上它的邊界C稱為閉域,記為

D?D?C.

注意區(qū)域都是開的,不包含它的邊界點(diǎn).例1.16試證:點(diǎn)集E的邊界?E是閉集.

證設(shè)z為?E的聚點(diǎn).取z的任意?鄰域N??z?,則存在z0??z?使得

N??z??z0??E.在N??z?內(nèi)能畫出以z0為心,充分小半徑的圓.這時(shí)由z0??E可見,

在此圓內(nèi)屬于E的點(diǎn)和不屬于E的點(diǎn)都存在.于是,在N??z?內(nèi)屬于E的點(diǎn)和不屬于E的點(diǎn)都存在.故z??E.因此?E是閉集.

應(yīng)用關(guān)于復(fù)數(shù)z的不等式來表示z平面上的區(qū)域,有時(shí)是很便利的.例1.17z平面上以原點(diǎn)為心,R為半徑的圓(即圓形區(qū)域):

z?R,

以及z平面上以原點(diǎn)為心,R為半徑的閉圓(即圓形閉域):

z?R,

它們都以圓周z?R為邊界,且都是有界的.

例1.18z平面上以實(shí)軸Imz?0為邊界的兩個(gè)無界區(qū)域是

上半平面Imz?0,

及下半平面Imz?0.Z平面上以虛軸Rez?0為邊界的兩個(gè)無界區(qū)域是

左半平面Rez?0右半平面Rez?0

例1.19圖1.13所示為單位圓周的外部含在上半z平面的部分,表為

圖1.13-1O1xiy?z?1,?

Imz?0.?例1.20