數(shù)學(xué)建模生物種群模型

數(shù)學(xué)建模生物種群模型2023/4/10第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五簡介種群(Population)：是指在特定時間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機(jī)體集合。種群生態(tài)學(xué)：主要研究種群的時間動態(tài)及調(diào)節(jié)機(jī)理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五2)羅杰斯特(Logistic)模型

表示該種群的最大容納量。1單種群的數(shù)學(xué)模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型

表示時刻的種群數(shù)量，稱為內(nèi)稟增長率。2023/4/10第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五4)開發(fā)了的單種群模型具有常數(shù)收獲率具有時變收獲率3）一般的種群模型2023/4/10第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五

2兩種群的一般模型

兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。設(shè)甲、乙兩種群在時刻的數(shù)量為，則線性化，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五

表示甲（乙）種群的自然生長率；表示甲（乙）種群為非密度制約，表示甲（乙）種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競爭；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強(qiáng)食（捕食與被捕食）。2023/4/10第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五3三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類繁多的數(shù)學(xué)模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五記三個種群分別為123并約定1）種群供食于種群表示為12122）種群為密度制約可表示為113）種群不主要靠吃本系統(tǒng)（1，2，3個種群組成的系統(tǒng)）為生，114）種群與種群相互競爭：12125）種群與種群互惠共存：1212）2023/4/10第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，則三者關(guān)系有三種：兩個食餌種群，一個捕食者種群。一個食餌種群，兩個捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五下面對于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學(xué)模型（Volterra模型）（1）兩個食餌種群A，B，一個捕食者種群C。設(shè)A，B，Ct時刻的密度分別為假設(shè)：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競爭。圖示如下：2023/4/10第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五CBA（）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五（2）一個食餌種群A，兩個捕食者種群B，C。ACB（）2023/4/10第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五ACB）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五ACB）））（3）捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。2023/4/10第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系說明下列微分方程組的生態(tài)意義2023/4/10第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五ACB）））2023/4/10第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五種群模型的求解方法：微分方程定性與穩(wěn)定性理論數(shù)值方法2023/4/10第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五平面自治系統(tǒng)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程定性與穩(wěn)定性理論2023/4/10第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五

假定方程組(1)的右端函數(shù)，在平面區(qū)域滿足解的存在唯一的條件，則過相平面中任一點(diǎn)有唯一的軌線。相平面：所在的平面。軌線：2023/4/10第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五平衡點(diǎn)（Equilibrium）：使得的點(diǎn)為組(1)的平衡點(diǎn)，否則稱為常點(diǎn)。即平衡點(diǎn)滿足記為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（stable）；否則是不穩(wěn)定（unstable）的。穩(wěn)定與不穩(wěn)定：如果存在某個鄰域，使系統(tǒng)（1）的解從這個鄰域內(nèi)的某一初值出發(fā)，滿足2023/4/10第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五其中是常數(shù)。平面線性微分方程組的平衡點(diǎn)分類系統(tǒng)（2）有唯一的平衡點(diǎn)（0，0）。記系數(shù)矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五記組(2)的系數(shù)矩陣構(gòu)成的特征方程為：其中唯一的平衡點(diǎn)（0，0）的穩(wěn)定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為2023/4/10第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五方程組（2）解的一般形式為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(node)stable不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)unstable鞍點(diǎn)(saddle)unstable穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)stable不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)unstable穩(wěn)定焦點(diǎn)(focus)stable不穩(wěn)定焦點(diǎn)unstable中心(center)unstable2023/4/10第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五pq鞍點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)奇點(diǎn)的性態(tài)與的關(guān)系2023/4/10第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五簡單非線性微分方程的奇點(diǎn)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五稱下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：2023/4/10第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論1

如果則(4)的一次近似方程組的奇點(diǎn)在五種一般情形與組（4）的奇點(diǎn)的性態(tài)相同。2023/4/10第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論2

設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2023/4/10第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五

捕食與被捕食模型問題的提出20世紀(jì)20年代，意大利生物學(xué)家U.D’Ancona在研究魚類變化規(guī)律時，無意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間，意大利Finme港收購站的軟骨掠肉魚（鯊魚等以其他魚為食的魚）在魚類收購量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,112023/4/10第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五戰(zhàn)爭期間鯊魚比例明顯增加！

顯然，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量大幅下降，應(yīng)該使?jié)O場中食用魚和以此為生的鯊魚數(shù)量同時增加。然而，捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加？發(fā)現(xiàn)D’Ancona的迷惑：2023/4/10第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五請教著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。

將魚分為兩類，一類為捕食(predator)種群，另一類為被捕食(prey)種群。設(shè)

t

時刻兩種群的數(shù)量（或密度）為y(t)，x(t)。在無捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：2023/4/10第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五平衡點(diǎn)為一次近似系統(tǒng)2023/4/10第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的？。的鞍點(diǎn)。的中心。2023/4/10第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五定理：設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2023/4/10第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五為了研究平衡點(diǎn)M，作平移變換首次積分2023/4/10第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五由定理，得平衡點(diǎn)M的外圍鄰近被一閉軌線族所環(huán)繞。說明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)。2023/4/10第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)：兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值恰好是平衡點(diǎn)的坐標(biāo)。事實上，而2023/4/10第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五同理，可證西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2023/4/10第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)考慮捕撈的影響平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為解釋：捕撈能力減少，食餌種群數(shù)量減少，而捕食種群數(shù)量增加。2023/4/10第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)用農(nóng)藥的使用策略。害蟲—食餌，害蟲的天敵—捕食者。因此，應(yīng)該適量地使用農(nóng)藥，更應(yīng)發(fā)展以蟲治蟲的策略。平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)Volterra

原理：殺蟲能力過量，害蟲種群數(shù)量增加，而天敵種群數(shù)量減少，對天敵更為不利。2023/4/10第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五

天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞（如過度放牧、獵殺動物及采挖草藥等）使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日《北京晚報》載：“……受利益驅(qū)使，有些人不顧國家法律和當(dāng)?shù)卣?，在呼倫貝爾草原大肆采挖中草藥，致使草原?yán)重受損。據(jù)此，有關(guān)專家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠。”草原命運(yùn)思考2023/4/10第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期五為了天然草原生息繁衍和可持續(xù)發(fā)展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長規(guī)律模型，描述人為破壞對草原生長的影響過程;（2）論證或駁斥報載消息中專家的推斷，如果立即停止對草