數(shù)學(xué)物理方法第五章傅立葉級(jí)數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法第五章傅立葉級(jí)數(shù)第1頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。

在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個(gè)問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。第2頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。第3頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。第4頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)第5頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第五章Fourier變換第一節(jié)Fourier級(jí)數(shù)第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換第三節(jié)δ函數(shù)第6頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

在工程計(jì)算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù),單位時(shí)間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Hz).t第一節(jié)Fourier級(jí)數(shù)第7頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T

而Asin(wt+j)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt第8頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個(gè)正弦波的逼近100個(gè)正弦波的逼近第9頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.

討論：(1)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).

理論上講，并非所有的周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近,而是要滿足(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上Dirichlet定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近（諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和）。第10頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五函數(shù)的間斷點(diǎn)第11頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1.跳躍間斷點(diǎn)2.可去間斷點(diǎn)注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)特點(diǎn)第12頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五3.第二類間斷點(diǎn)無窮型間斷點(diǎn)振蕩型間斷點(diǎn)第13頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx第14頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)f

(t),可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:第15頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五有限區(qū)域上的函數(shù)周期化的處理方法處理1：將f(x)轉(zhuǎn)化為(-l,l)內(nèi)的函數(shù)設(shè)f(x)是定義在區(qū)域(a,b)內(nèi)的函數(shù)，其中a和b是有限數(shù)處理2：周期化為整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的以2l為周期的周期函數(shù)bal-ll-l有限區(qū)域上的Fourier展開或周期函數(shù)的Fourier展開第16頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五三角函數(shù)族：

周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)則函數(shù)f(x)可以用周期同為2l一系列諧函數(shù)作為基本函數(shù)函數(shù)族（正交、完備），把周期函數(shù)f(x)展開。周期為2l

的函數(shù)f(x)滿足：第17頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五a.基本函數(shù)族是以2l

為周期的b.f(x)按三角函數(shù)族展開不同的函數(shù)形式由不同的組的和表示。(5.1.3)此為傅里葉級(jí)數(shù)展開同樣第18頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五基本函數(shù)族的正交性(5.1.4)三角函數(shù)族還有完備性，即這個(gè)函數(shù)族足夠展開任何周期為2l函數(shù)。第19頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier展開的展開系數(shù)(5.1.5)

此為傅里葉系數(shù)其中第20頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Dirichlet定理-Fourier展開收斂定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則l-l

函數(shù)和級(jí)數(shù)并不完全是一個(gè)東西，例如冪級(jí)數(shù)就有收斂域的問題。故必須討論它們?cè)谑裁礂l件下完全一致。第22頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例1、交流電壓經(jīng)過半波整流后的傅立葉級(jí)數(shù)。解：周期為第23頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五和第25頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五頻譜各個(gè)頻率分量的幅度頻率幅度20E第26頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五通常，函數(shù)f(t)表示某系統(tǒng)的按時(shí)間變化的性質(zhì)，叫在時(shí)域中的表示的性質(zhì)。而頻譜表示這種性質(zhì)在頻域中的表示。因此，傅里葉級(jí)數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換。頻率幅度20E第27頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則Fourier展開成正弦級(jí)數(shù)這叫作傅里葉正弦級(jí)數(shù)．容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在處為零．第28頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五同樣由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為由于余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)，所以余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處為零．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則Fourier展開成余弦級(jí)數(shù)這叫作傅里葉余弦級(jí)數(shù)．第29頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例周期矩形波奇函數(shù)第30頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五頻域中的圖示由你們給出第31頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).第32頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五òp=p0cos)(2ktdttuanòp=p0cossin2ktdttEò--+=pp0])1sin()1[sin(dttktkEpp01)1cos(1)1cos(ú?ùê?é--+++-=ktkktkE)1(1k???íì+==p--=12,02,]1)2[(42nknkkE當(dāng)當(dāng)),2,1(L=n第33頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開f(x)

定義于(0,l).可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為2l

的函數(shù)在半個(gè)周期中的部分。即令此周期函數(shù)為g(x),

在半周期(0,l)中g(shù)(x)=f(x).

這種做法叫延拓。則只需求出g(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，在[0,l]上就代表f(x)。且g(x+2l)=g(x)第35頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1.奇延拓??￥=1sin)(kkkxbxf若要求處為零，則應(yīng)將f(x)延拓稱為奇的周期函數(shù)。第36頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五2.偶延拓?+?￥=10cos2)(kkkxaaxf若要求處為的導(dǎo)數(shù)為零，則應(yīng)將f(x)延拓稱為偶的周期函數(shù)。第37頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解(1)求正弦級(jí)數(shù).ò+p=p0sin)1(2kxdxxòp=p0sin)(2kxdxxfbn)coscos1(2p-pp-p=kkk???íì=-=+pp=LL,6,4,22,5,3,122kkkk當(dāng)當(dāng),)(進(jìn)行奇延拓對(duì)xf第38頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(2)求余弦級(jí)數(shù)ò+p=p0cos)1(2kxdxxak)1(cos22-pp=kk???íì=p-==LL,5,3,14,6,4,202kkk當(dāng)當(dāng),)(進(jìn)行偶延拓對(duì)xf第39頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:復(fù)數(shù)形式的Fourier積分第40頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第42頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第43頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)形式的Fourier級(jí)數(shù)上式(5.1.13)的物理意義為一個(gè)周期為2l

的函數(shù)可以分解為頻率為，復(fù)振幅為的復(fù)簡諧波的疊加．稱為譜點(diǎn)，所有譜點(diǎn)的集合稱為譜．對(duì)于周期函數(shù)而言，譜是離散的．基本函數(shù)族第44頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第45頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期函數(shù)可以看作是許多不同頻率的簡諧函數(shù)的疊加第47頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例矩形波第48頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換無限區(qū)域上的Fourier展開在的極限形式就為所求的非周期函數(shù)f(x)的Fourier展開式可做近似，假設(shè)非周期函數(shù)f(x)可看作是對(duì)非周期函數(shù)f(x),，一般是不能展時(shí)的極限，則g(x)的為Fourier級(jí)數(shù)。某個(gè)周期函數(shù)g(x)于周期Fourier級(jí)數(shù)展開式第49頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五由系數(shù)代入展式，取的極限第50頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五間斷求和成為連續(xù)性求和（積分）同理，正弦部分第51頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1、實(shí)形式的Fourier積分與Fourier變換其中非周期函數(shù)f(x)的Fourier積分表達(dá)式A(ω)被稱為Fourier余弦變換B(ω)被稱為Fourier正弦變換實(shí)形式的Fourier變換第52頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier積分定理若f(x)在R上滿足：

(1)在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件；

(2)在R上絕對(duì)可積，則f(x)

可以表示為Fourier積分，且結(jié)果為其中第53頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五其中函數(shù)f(x)的Fourier積分表達(dá)式振幅譜相位譜第54頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五奇函數(shù)偶函數(shù)當(dāng)f(t)為奇函數(shù)，則有這叫作傅里葉正弦積分．容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在處，f(x)=0為零．第55頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)f(t)為偶函數(shù)這叫作傅里葉余弦積分．容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在處第56頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)稱形式的Fourier（正弦、余弦）積分表達(dá)式第57頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例1矩形函數(shù)的定義為求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的傅立葉積分。解：f(x)為偶函數(shù)，則其傅立葉積分為第58頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例2由2N個(gè)(N是正整數(shù))正弦波組成的有限正弦波列試將它展為傅立葉積分。解：f(t)為奇函數(shù)，則其傅立葉積分為第59頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五2、復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分原函數(shù)像函數(shù)第60頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五表示為原函數(shù)到像函數(shù)的傅里葉正變換像函數(shù)到原函數(shù)的傅里葉反變換例同前例第61頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)形式形式的對(duì)稱Fourier積分與Fourier變換F(ω)被稱為Fourier變換的像函數(shù)f(x)稱為Fourier變換的原函數(shù)第62頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五傅立葉變換的意義數(shù)學(xué)意義從一個(gè)函數(shù)空間(集合)到另一個(gè)函數(shù)空間(集合)的映射；f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。應(yīng)用意義把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和，F(xiàn)(ω)的自變量為頻率，函數(shù)值為對(duì)應(yīng)的振幅。物理意義把一般運(yùn)動(dòng)分解為簡諧運(yùn)動(dòng)的疊加；把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。物理實(shí)現(xiàn)分解方法：棱鏡光譜儀、光柵光譜儀；記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測(cè)器)光度計(jì)。第63頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例3求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的復(fù)數(shù)傅立葉變換。代入傅立葉積分公式，得解：由第64頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明：3、傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)導(dǎo)數(shù)定理#第65頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(2)積分定理記則由導(dǎo)數(shù)定理即#第66頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(3)相似性定理通常將變換f(x)f(ax)稱為相似變換，它將測(cè)量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應(yīng)地，測(cè)量的長度值變?yōu)樵档腶倍，而保持函數(shù)的形式不變。有時(shí)也叫尺度變換。#證明第67頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(4)延遲定理x看作時(shí)間，記時(shí)由x到x-x0

表示提前了x0。記作“延遲”是習(xí)慣說法。證明第68頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明#(5)位移定理頻域的位移(6)卷積定理原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關(guān)系若和則卷積：第69頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明#第70頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier變換的性質(zhì)性質(zhì)1（導(dǎo)數(shù)性質(zhì)）性質(zhì)2（積分性質(zhì)）性質(zhì)4（延遲性質(zhì)）性質(zhì)3（相似性質(zhì)）性質(zhì)5（位移性質(zhì)）性質(zhì)6（卷積性質(zhì)）第71頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五典型例題解所給函數(shù)是奇函數(shù),其Fourier變換為.||,0||,sin2d1sinsin,||,0||,sin)(102???íì>￡=-?íì>￡=ò￥+pppwwwwpppttttFourierttttf并證明變換的計(jì)算函數(shù)例第72頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由Fourier積分公式得第73頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五.||,0||,sin2d1sinsin02???íì>￡=-ò￥+pppwwwwptttt即第74頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解所給函數(shù)是偶函數(shù),其Fourier變換為.cos2dcos42,cos)(2||042||tetFouriertetftt-￥+-=++=òpwwww并證明變換的計(jì)算函數(shù)例第75頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第76頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由Fourier積分公式得第77頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五.cos2dcos42||022tett-￥+=++òpwwww即第78頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解法一

利用位移性質(zhì).sin)()(40變換的計(jì)算函數(shù)例Fouriertettutftwb-=第79頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由微分性質(zhì)第80頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五法二],)([21])([21]sin)([000tittitteettuieettuitettuwbwbbw-----=FFF,由位移性質(zhì)第81頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五所以由卷積公式.sin)()(50變換的計(jì)算函數(shù)例Fouriertettutftwb-=及由解)]()([]sin000wwdwwdpw--+=itF[第82頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五tyü?íì+--+=200)(1*)]()([21)]([wbwwdwwdppiitfF得第83頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解第84頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第85頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解第86頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第87頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第88頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五一維變換到高維空間中的變換三維相互獨(dú)立也相互獨(dú)立4.多重傅里葉積分矢量表示第89頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五多重傅立葉積分三重傅立葉積分三重傅立葉變換令第90頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)δ函數(shù)δ函數(shù)的概念δ函數(shù)的性質(zhì)與δ函數(shù)有關(guān)的Fourier變換δ函數(shù)的積分表示第91頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數(shù)的概念（δ函數(shù)的引入）質(zhì)量為m均勻分布在長為的線段上，則其線密度可表示為問題：質(zhì)點(diǎn)的密度函數(shù)如何表示？（質(zhì)點(diǎn)是物體在尺度趨于零時(shí)的理想模型）將對(duì)x積分，可得總質(zhì)量第92頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五得位于原點(diǎn)的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，線密度成為質(zhì)點(diǎn)的線密度質(zhì)點(diǎn)線密度圖象，它在處為，在處為零，其積分為m不求積分，先取極限第93頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數(shù)的形式定義稱這樣的函數(shù)為δ函數(shù)，記為δ(x)和δ(x-x0)說明：δ函數(shù)，并不是通常意義下的函數(shù)：它沒有給出函數(shù)與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說，它給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系在通常意義下是沒有意義的。第94頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數(shù)表示的是函數(shù)序列的極限它