代數(shù)9其他重要不等式講師版

自招競賽秋季數(shù)學講學 授課日教 授冪平均不等式：設(shè)x,x ,

R，且 1x1xx 1n)( n)(

xx

注：調(diào)和平均值相當于1，算術(shù)平均值相當于1，均方根平均值相當于21nx1n幾何平均值則則相當于lim( 【例1

i【題目】設(shè)xR(i1, ,n)，求證i1(x1

(x)n(xn1)n(xn1)n(xn)nx0x1 【難度系數(shù)】【例2【題目】對于p1，q0，a1a2 an0，0b1b2 bnn a)na 0aa

，b

0，證明in1pqbnq bnq

i1

(bi【難度系數(shù)】【例3nn ,xn都是正數(shù)(n2)，且xi1，求證1n1n

nnn 【例4【題目來源】2010中國國家集訓隊測驗【題目】給定整數(shù)n2ax1x2數(shù)

xn

xn1MM(na，使得

Mni1asn【難度系數(shù)】權(quán)方和不等式：設(shè)x,x ,x,y,y ,

R n

n(x(xin若m0或m1，則 i1 nymmym

(yin

n(x(xiyn若1m0，則 i1 yn【例5【題目來源】28屆IMO預選

m m

(yiabcs1(abc2

( ，nb c a 【難度系數(shù)】,xn琴生不等式：若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)下凸（或上凸，則對任意x1,,xn意, ,

R，且

1n n

nf(xn nf(xn判斷函數(shù)下凸（上凸）f(x的定義域為(ab，如果對于(abx1x2fx1x2)f(x1f(x2f(x為(ab上的下（上） f(x

f(xDf(x)0

f(xD【例6xyzxyz13 3(1y)(1 (1x)(1 (1x)(1 于是只要證明(1 a1xyz1【例7【題目來源】36屆【題目】設(shè)a,b,c為正實數(shù)，且abc1，求證

a3(b

b3(a c3(a 【例8【題目來源】21屆【題目】實數(shù)列{a}a1

a

k1 n k

(1k(1kan)n 1]n(a1a21an)n

2(a1a2 an 【難度系數(shù)】

卡爾松不等式：設(shè)aij0(i1, ,n,j1, ,m)，則(aij)mam，其

ai,2

j

j這個不等式的直觀表述是：對nm矩陣，m列每列數(shù)之和的幾何平均值大于等于其n行每【例9【題目來源】28屆IMO預選abcs

1(abc2

( ，nb c a 【難度系數(shù)】【例10【題目】設(shè)xi(i1, ,n)為正數(shù)，n2，nN，0(x0

(x)n(xn1)n(xn1)n(xn)nx0x1 xn1xn 0x0故

(x)n(x(xn1)n(xn)nx0x1 xn1xn 【例11【題目來源】第4屆nnxR，1inn2nn

1

11

nnnni

四、楊氏（Young）不等式，赫爾德（Holder）不等式與閔可夫斯基不等 11 Youngpq0

1x,y0xpyq

x 這個不等式的證明可以lnx的凹凸性，用琴生不等式獲得，比較簡單這里不再列出Holder不等式：設(shè)a0，b0，(i1, ,n)，p0，q0，滿足111， i ab(app(bq)q，等號成立的條件是api

證明：由Young不等式 p

n

n

a

n

i1 p q

i1p p i1q q i

b

b a n 等號成立的充要條件是 n

，即apbqi1ap

閔 不等式：對a,bR，k1，則((ab)k)k(ak)k(bk)k ana1an

證明：由不等式， nnnnnnnn1nkn1nk(ab)ka(a b)k1b(ab)k1( k)k((ab)kk(bk)k((ab)kk

所以((ab)k)k(ak)k(bk)k，當且僅當12 n時等號成立

【例12n

n(a(ai【題目設(shè)a0，bi0，i1, ,n，m0或m1證明： i1 ，bmibm,等號成立當且僅當aibii1,

nn(bicc2cc2【例12aa2bbaa2bb2

鐘開來不等式a1a2

bnb1b2

n有

j

，則b2j

j

j

j

akbkSnbn Sk(bkbk1Sk為{ak}的前n

k

k j jjjb2bb(b)(b )ba j jjjj

j

j

k

j

j

k

j j 又由柯西不等式有aba2)2(bj j

j

j結(jié)合上述兩式即證明了b結(jié)合上述兩式即證明了b j jtt阿貝爾不等式：設(shè)b1b2bn0makMt12,,nnknb1makbknknSnk akbkSnbnSk(bkbk1mbnm(bkbk1k

k

k akbkSnbnSk(bkbk1MbnM(bkbk1Mb1證k

k

k【例13

nnn是正實數(shù)序列，對所有的n1滿足條件ajnj

1n 1n 的n1有aj ,j,j取bj j

j，則已知條件變?yōu)閍jj

(k1,j j且有bb

b2

j1

j j又bjjj

j1 j

j j1

j)241nnj故有a21(11nnjj 【難度系數(shù)】下面的幾個例題是有關(guān)變換的使用【例14 ,

1,R，p,qR。記S(apap ,

naq

,的任一排列i1,

，有 k ikSpapk 【例15nn【題目】試證：對任意實數(shù)x，有k

[kx]nx，其中[xxk【例16【題目】已知a0，k1, ,n，定義

1

nan

A24

nkn

k【例17an【題目】設(shè)an

且各不相同，求證 1a1aa2n11【練1【題目來源】1986年中國國家集訓隊選拔試nnnnp22nn ,xn都是實數(shù)(n3)，令nnp22nn

xixj

(n1)n

（2）

1innp22nnnp22nn【難度系數(shù)】【練2

abc

a2 b2 c2

(ab9【難度系數(shù)】【練3i【題目 i

a

，0

nn，且ai

，求證：nn