《高等數(shù)學(xué)B》 導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性 第6節(jié) 邊際與彈性

§6

邊際與彈性

一、邊際的概念定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo),則稱導(dǎo)數(shù)

為f(x)的邊際函數(shù).在處的值為邊際函

數(shù)值.即:當(dāng)時,x改變一個單位,y改變個

單位.第三章導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性

二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的邊際函數(shù)1.邊際本錢

總本錢函數(shù)C(Q)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際本錢.也就是說,邊際本錢定義為產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總本錢.

稱為邊際平均本錢.

平均成本

的導(dǎo)數(shù)例1設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為求其邊際成本,并給出產(chǎn)量為10或100個單位時邊際成本的值。

解

在任意產(chǎn)值Q處的邊際本錢為因此,在Q=10和Q=100處的邊際本錢分別為和這就說明,產(chǎn)量水平不同時,每增加一個單位的產(chǎn)品,總本錢的增加額度不同.當(dāng)產(chǎn)量為10個單位時,每增加一個單位產(chǎn)品,總本錢增加了34,或者說生產(chǎn)第11個產(chǎn)品的生產(chǎn)本錢為34;當(dāng)產(chǎn)量為100個單位時,每增加一個單位產(chǎn)品,總本錢增加124,或者說生產(chǎn)第101個產(chǎn)品的生產(chǎn)本錢為124.

2.邊際收益

總收益函數(shù)R(Q)

的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益,即它是指增加一個單位的銷售量所增加的總收益

.設(shè)P為價格,且P=P(Q),假設(shè)價格函數(shù)是可導(dǎo)的,那么這個數(shù)學(xué)公式的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋是：

(1)如果銷售價格P與銷售量Q無關(guān),即價格P=P(Q)為常值函數(shù),那么邊際收益就等于價格.(2)一般情況下,價格函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù),即因此邊際收益小于價格.我們也稱價格函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為邊際價格.

例2某商品的價格P是銷量Q的函數(shù),且求邊際價格與邊際收益,并作經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

.

解

邊際價格為假設(shè)設(shè)銷量的單位是件,價格的單位是元,那么邊際價格的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋為多售出一件商品價格減少元。

收益函數(shù)為那么任意銷量Q處的邊際收益為由于這些數(shù)值說明:

(

此時總收益為銷售第81件商品時收益增加36.8元

;

銷售第

1201

件商品時收益減少了

.銷售第

31

件商品時收益增加

38.8元

;

3.邊際利潤

總利潤函數(shù)L(Q)的導(dǎo)數(shù)為邊際利潤.即它表示已生產(chǎn)了Q單位的產(chǎn)品,假設(shè)再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤。即有

根據(jù)L(Q)=R(Q)–C(Q)可得下述關(guān)系成立邊際利潤=邊際收益—邊際本錢例3設(shè)利潤函數(shù)為

(L的單位為元

,Q的單位為噸),

試確定每月生產(chǎn)20噸,25噸,35噸的邊際利潤.解

邊際利潤

則上述結(jié)果說明:當(dāng)產(chǎn)量為每月20噸時,再增加一噸產(chǎn)量,利潤將增加

50元;當(dāng)產(chǎn)量為每月35噸時,再增產(chǎn)一噸,利潤將減少100元.當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時,再增加一噸,利潤不增加;

4.邊際需求與邊際供給需求函數(shù)Q=f(P)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求.即價格為P時,需求量的變化率,也即價格增加(減少)一個單位,需求增加(減少)的量.供給函數(shù)Q=

(P)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際供給.例4已知需求函數(shù)為則邊際需求為多少?P=8時的邊際需求如何?解邊際需求為這說明:當(dāng)P=8時價格上漲(下跌)

1

個單位,需求將減少(增加)4個單位.5．最大利潤原那么根據(jù)極值存在的有關(guān)結(jié)論,有最大利潤原那么:由于總利潤為L(Q)=R(Q)–C(Q),

L(Q)取得最大值的必要條件為即也即,取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本.L(Q)取得最大值的充分條件為例5某產(chǎn)品的需求函數(shù)為本錢

函數(shù)為求產(chǎn)量為多少時總利潤最大?解由f(P)=50–5P解出由于收益函數(shù)那么邊際利潤為

令其為零可解出Q=20.

因此Q=20時總利潤最大。例6某商店以每件10元的進(jìn)價購進(jìn)一批襯衫,并設(shè)此種商品的需求函數(shù)為Q=80–2P.問該商店應(yīng)將售價定為多少,才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?收益函數(shù)R=PQ=P(80–2P),本錢函數(shù)等于需解

求量乘以進(jìn)價為C(P)=Q

10=10(802P),因此則

令其為零可解出P=25

,而

因此

,P=25元時

L

最大,此時L(25)=450(元).

三、彈性的概念

前面學(xué)習(xí)過的函數(shù)值改變量

y和函數(shù)的變化率是絕對改變量和絕對變化率。

從實(shí)踐中我們體會到,僅研究函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是不夠的.例如,商品甲、乙的單價分別為

10

元和

1000

元,它們各漲價

1

元,盡管絕對改變量一樣,但各與其原價相比,兩者漲價的百分比卻有很大的不同:商品甲漲了10,而商品乙僅漲了

.因此有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率.定義

2設(shè)函數(shù)y=f(x)

在點(diǎn)處可導(dǎo).函數(shù)值的相對改變量與自變量的相對改變量的比稱為函數(shù)

y=f(x)

從到兩點(diǎn)間的彈性.

而極限

即稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的彈性

,或稱為函數(shù)y=f(x)

在點(diǎn)處的相對變化率

,記為或?qū)θ我庖稽c(diǎn)

x

,我們定義彈性函數(shù)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x

的彈性反映隨著自變量

x

的變化f(x)變化幅度的大小,也就是f(x)對

x

變化的強(qiáng)烈度或靈敏度.例如,表示在點(diǎn)

x

,當(dāng)

x

產(chǎn)生

1

的改變時,f(x)

近似地改變了例7求函數(shù)的彈性及解

因?yàn)槟敲?/p>

由彈性的定義

這樣,彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上又可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比.為了加深對彈性的了解,我們就如下幾個方面作一些討論.

1.常見函數(shù)的彈性(a,b,c,為常數(shù))

(1)常數(shù)函數(shù)f(x)=C的彈性

(2)線性函數(shù)f(x)=ax+b的彈性

(3)冪函數(shù)

的彈性

(4)指數(shù)函數(shù)

的彈性

(5)對數(shù)函數(shù)

的彈性

(6)三角函數(shù)的彈性

2.彈性的四那么運(yùn)算:3.函數(shù)彈性的圖解方法函數(shù)y=f(x),由定義,彈性應(yīng)為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比,而邊際函數(shù)的幾何意義為y=f(x)所示曲線上各點(diǎn)的切線斜率,即又平均函數(shù)為,因而假設(shè)我們僅考慮彈性的絕對值,那么因而,如果我們知道了一條函數(shù)y=f(x)

所示的曲線,則在曲線上任一點(diǎn)

A處對應(yīng)的彈性,只要通過

A作曲線的切線

AB

和線段

OA

,就可得夾角和,進(jìn)而就可求

得

四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)

1.需求的價格彈性

當(dāng)彈性定義中的y被定義為需求量時就是需求彈性.

所謂需求的價格彈性是指當(dāng)價格變化一定的百分比以后引起的需求量的反響程度.用公式表示為例8某需求曲線為

Q=–100

P+3000

,求當(dāng)

P=20

時的彈性

.

解

因?yàn)楫?dāng)

P=20

時,Q=1000

,所以

需求的價格彈性計(jì)算出來的結(jié)果總是負(fù)值,本章為了討論方便,取其絕對值.另外,在實(shí)際應(yīng)用中,也常用符號

表示,即

(一)幾種特殊的價格彈性

不同的商品,其需求的價格彈性是不同的.即使是同一種商品,在不同的價格水平下,其需求的價格彈性也不一樣.從理論上來說,有以下四種特殊的需求彈性:

(1)需求的價格彈性等于0.

也就是說,這種商品完全沒有彈性,不管價格如何變,其需求量都不發(fā)生變化.顯然完全符合這種情況的商品是沒有的,然而近似符合這種情況的商品還是存在的.例如,在一定范圍內(nèi)消費(fèi)者對食品的需求,對生活用品的需求等.這種商品的需求曲線的圖形是一條垂直的直線(如右圖);POQD

(2)需求的價格彈性為無窮大.

它說明商品在一定價格條件下,有多少就可以賣掉多少;然而想把價格稍微提高一點(diǎn)點(diǎn),就可能一個也賣不掉.這種商品的需求曲線為一條水平的直線(如右圖);POQD

(3)單位彈性.即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1.也就是說,在任何價格水平下,價格變動一個百分比時,需求量均按同樣的百分線是一條雙曲線(如右圖);POQD

(4)需求曲線是一條傾斜的直線(如右圖).這里,需求曲線上各點(diǎn)的彈性都是變化的.POQBAM在其上端點(diǎn)(A),

在其下端點(diǎn)(B),

需求曲線的中點(diǎn)(M),

需求曲線的AM局部,稱之為彈性需求;需求曲線的MB局部,稱之為非彈性需求.

例9設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=100–2P,0≤P≤50,其中

P

為價格,Q為需求量:(1)當(dāng)P=10,且價格上漲1%時,需求量Q是增加還是減少,變化百分之幾?(2)討論商品價格變化時,需求量變化的情況

.

解

(1)需求彈性

故由于P和Q是按相反方向變化的,在P=10,且價格上漲1%時需求量Q那么減少%%.(2)當(dāng)0

<

<

1,即時,因P≥0,故50–P

>0,從而P

<

50–

P,即P

<

25,因而當(dāng)價格

P在0與25之間變化,且上漲(下降)1%時,需求量減少(增加)%,小于價格上漲(下降)的百分比(因

<

1);

當(dāng)=1,有P=25,這說明當(dāng)P=25時,需求量的變動與價格變動按相同的百分比進(jìn)行;當(dāng)>1,顯然得P>

25,于是當(dāng)25<P<50且價格P上漲(下降)1%時,需求量減少(增加)%,大于價格上漲(下降)的百分比(因>1).

(二)需求彈性與總收益(市場銷售總額)的關(guān)系

總收益

R=P

·

Q=P

·f(P)邊際總收益

(1)假設(shè)<1,需求變動的幅度小于價格變動的幅度.此時邊際收益大于零,即價格上漲,總收益增加,價格下跌,總收益減少;(2)假設(shè)>1,需求變動的幅度大于價格變動的幅度.此時,邊際收益小于零,即價格上漲,總收益減少,價格下跌,總收益增加;(3)假設(shè)=1需求變動的幅度等于價格變動的幅度.此時,邊際收益等于零.即總收益保持不變.綜上所述,總收益的變化受需求彈性的制約,隨商品需求彈性的變化而變化,其關(guān)系如以下圖所示.2.供給彈性供給彈性,通常指的是供給的價格彈性.設(shè)供給曲線Q=f(P),那么供給彈性式中為供給的價格彈性

.

例10設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)為Q=2+3P,求供給彈性函數(shù)及當(dāng)P=3時的供給彈性.解

當(dāng)

P