晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第1頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1一維單原子鏈3.1.1運(yùn)動(dòng)方程3.1.2格波頻率與波矢關(guān)系3.1.3晶格振動(dòng)的色散關(guān)系3.1.4周期邊界條件第2頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1.1運(yùn)動(dòng)方程(1)模型：一維無限長(zhǎng)的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+23.1一維單原子鏈第3頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五用xn和xk分別表示序號(hào)為n和k的原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時(shí)刻第n個(gè)和第k個(gè)原子的相對(duì)位移。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2(2)振動(dòng)方程和解平衡時(shí)第k個(gè)原子與第n個(gè)原子間距為兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能，平衡時(shí)為，第4頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五t時(shí)刻為nkx第n個(gè)與第k個(gè)原子間的相互作用力:第5頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五振動(dòng)很微弱時(shí)，勢(shì)能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)---簡(jiǎn)諧近似。(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似---簡(jiǎn)諧近似。)得:彈性恢復(fù)力系數(shù)原子的振動(dòng)方程:第6頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：給出試探解：原子都以同一頻率，同一振幅A振動(dòng),相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間都存在著固定的位相關(guān)系,即原子的振動(dòng)形成了波，這種波稱為格波。色散關(guān)系(晶格振動(dòng)譜)將試探解代入振動(dòng)方程得振動(dòng)頻率:推導(dǎo)略3.1.2格波頻率與波矢關(guān)系第7頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五給出試探解:第8頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由色散關(guān)系式可畫圖如下:3.1.3晶格振動(dòng)的色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且(-q)=(q)。0m第9頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五且第10頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五故取簡(jiǎn)約布里淵區(qū)且3.1.4.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設(shè)在實(shí)際晶體外，仍然有無限多個(gè)完全相同的晶體相連接，各晶體中相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。第11頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù)）后，其振動(dòng)情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對(duì)于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值第12頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波矢也只能取N個(gè)不同的值。(共N個(gè)值)晶格振動(dòng)波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目(3)長(zhǎng)波極限:第13頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：在長(zhǎng)波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。第14頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例1.求由5個(gè)原子組成的一維單原子晶格的振動(dòng)頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動(dòng)方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)第15頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第16頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五模型運(yùn)動(dòng)方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無限長(zhǎng)原子鏈，m，a，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B--K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm第17頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2一維雙原子鏈3.2.1運(yùn)動(dòng)方程3.2.2兩支格波的特征3.2.3聲學(xué)波和光學(xué)波3晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第18頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程和解(1)模型:一維無限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號(hào)為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號(hào)為2n-1、2n+1、2n+3、···第19頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解第20頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個(gè)晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。第21頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.色散關(guān)系上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；………①………②①②第22頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:推導(dǎo)略0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波

第23頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第24頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(1)色散曲線折合質(zhì)量第25頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由玻恩----卡門邊界條件，設(shè)晶體有N個(gè)原胞，則：(2)波矢q的取值(共有N個(gè)值)一維雙原子鏈，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，晶體的自由度數(shù)是2N。由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動(dòng)模式)數(shù)目為2N。第26頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞個(gè)數(shù)晶格振動(dòng)頻率(振動(dòng)模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學(xué)波和光學(xué)波在長(zhǎng)波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。(1)當(dāng)波矢q0時(shí),推導(dǎo)略第27頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第28頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)相鄰原子的振幅之比對(duì)于聲學(xué)支格波:聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的。第29頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五長(zhǎng)聲學(xué)波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)。因此，可以說，長(zhǎng)聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于光學(xué)波:光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的。第30頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五長(zhǎng)光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。所以定性地說，長(zhǎng)光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的。聲學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相同的。第31頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五可以證明，q=/2a時(shí)，在聲學(xué)支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動(dòng)；在光學(xué)支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。第32頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2:一維無限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M

?？康幂^近的兩個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子。設(shè)一個(gè)分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力系數(shù)為1，分子間兩原子間的恢復(fù)力系數(shù)為2，晶格常量為a(如圖所示)。在只考慮最近鄰原子間的相互作用的情況下，求色散關(guān)系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解:只考慮最近鄰原子間的相互作用，第33頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五將試探解代入方程得:第34頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第35頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五據(jù)玻恩-卡門周期性邊界條件，可以確定波矢q的取值。0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波第36頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五q可取N個(gè)值。第37頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五模型運(yùn)動(dòng)方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍B--K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:2n-22n2n+12n+22n-1Mma第38頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動(dòng)頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)，格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。一維單原子鏈，設(shè)晶體有N個(gè)原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=11支格波晶體的自由度數(shù)=N頻率數(shù)為N一維雙原子鏈，設(shè)晶體有N個(gè)原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=22支格波晶體的自由度數(shù)=2N頻率數(shù)為2N第39頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)晶格振動(dòng)的量子化、聲子3.3.1格波的量子理論3.3.2聲子3晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第40頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格振動(dòng)格波簡(jiǎn)諧近似獨(dú)立的振動(dòng)模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動(dòng)能量量子化第41頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.1格波的量子理論xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周期性邊界條件：q可以取N個(gè)值。3.3晶格振動(dòng)的量子化、聲子第42頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢(shì)能U和動(dòng)能T之和。則：令拉格朗日函數(shù)：推導(dǎo)略第43頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Xn(t)是實(shí)數(shù)，(1)證明：第44頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)證明：若均為整數(shù)。第45頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第46頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第47頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第48頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廣義動(dòng)量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動(dòng)方程第49頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動(dòng)能：由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈的振動(dòng)等價(jià)于N個(gè)諧振子的振動(dòng)，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格振動(dòng)頻率。晶格振動(dòng)能量：三維晶格振動(dòng)的總能量為：其中N為晶體中的原胞個(gè)數(shù),n為每個(gè)原胞中的原子個(gè)數(shù)。第50頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五格波(晶格振動(dòng))的能量量子------聲子。晶格振動(dòng)的能量是量子化的，能量單位為。3.3.2聲子聲子不是真實(shí)的粒子，稱為“準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。1.聲子是晶格振動(dòng)的能量量子，其能量為，“準(zhǔn)動(dòng)量為2.一個(gè)格波(一種振動(dòng)模式)，稱為一種聲子(一個(gè)，q就是一種聲子)，當(dāng)這種振動(dòng)模式處于本征態(tài)時(shí)，稱為有ni個(gè)聲子，ni為這種聲子的聲子數(shù)。第51頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.由于晶體中可以激發(fā)任意個(gè)相同的聲子，所以聲子是玻色型的準(zhǔn)粒子，遵循玻色統(tǒng)計(jì)。4.當(dāng)電子(或光子)與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。在簡(jiǎn)諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡(jiǎn)諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡(jiǎn)諧作用保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。第52頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法本節(jié)主要內(nèi)容:3.4.1中子的非彈性散射3.4.2光的散射和X射線散射第53頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.4晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法主要有中子的非彈性散射、X射線和光的散射。3.4.1中子的非彈性散射1.原理散射過程滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。中子與晶體中聲子的相互作用中子與晶體的相互作用中子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射晶格振動(dòng)的頻率與波矢之間的關(guān)系稱為格波的色散關(guān)系，也稱為晶格振動(dòng)譜。第54頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五入射中子流：從晶體中出射的中子流：為中子質(zhì)量由能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒得：動(dòng)量為能量為動(dòng)量為能量為“+”表示吸收一個(gè)聲子“-”表示發(fā)射一個(gè)聲子第55頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五測(cè)出不同散射方向上的動(dòng)量，固定入射中子流的動(dòng)量，；中子源單色器準(zhǔn)直器準(zhǔn)直器樣品分析器探測(cè)器2中子譜儀結(jié)構(gòu)示意圖反應(yīng)堆中產(chǎn)生的慢中子流布拉格反射產(chǎn)生單色的動(dòng)量為P的中子布拉格反射產(chǎn)生單色的動(dòng)量為P的中子2.儀器第56頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.4.2光的散射和X-射線散射1.光的散射散射過程滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。光子與晶體中聲子的相互作用光子與晶體的相互作用光子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射“+”表示吸收一個(gè)聲子“-”表示發(fā)射一個(gè)聲子第57頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五和代表入射光的波矢和能量，和

代表出射光的波矢和能量。可見光范圍，波矢為105cm-1的量級(jí)，故相互作用的聲子的波矢也在105cm-1的量級(jí)，只是布里淵區(qū)中心附近很小一部分區(qū)域內(nèi)的聲子，即長(zhǎng)波聲子。[布里淵區(qū)邊界附近波矢為108cm-1的量級(jí)](1)布里淵散射：光子與長(zhǎng)聲學(xué)波聲子的相互作用；(2)拉曼散射：光子與光學(xué)波聲子的相互作用；第58頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.X-射線散射X光光子能量---104eV聲子能量---10-2eV能量變化很少，不易測(cè)量。(3)斯托克斯散射：散射頻率低于入射頻率的散射；(4)反斯托克斯散射：散射頻率高于入射頻率的散射。第59頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第五節(jié)晶體的比熱3.5.1比熱的量子理論3.5.2愛因斯坦模型3.5.3德拜模型3晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第60頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.5晶體的比熱晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。溫度T比熱Cp3NkBT3T第61頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體的定容比熱定義為：3.6.1晶體比熱的量子理論---晶體的平均內(nèi)能晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱通常情況下，本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。第62頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1.杜隆--珀替定律(經(jīng)典理論)根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用!!!它是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。第63頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.晶格振動(dòng)的量子理論晶體可以看成是一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下，晶格中原子的熱振動(dòng)可以看成是相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。每個(gè)諧振子的能量都是量子化的。第i個(gè)諧振子的能量為：ni是頻率為i的諧振子的平均聲子數(shù)：第i個(gè)諧振子的能量為：第64頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶體由N個(gè)原子組成，晶體中包含3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總振動(dòng)能為對(duì)于宏觀晶體,原胞數(shù)目N很大，波矢q在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中有N個(gè)取值，所以波矢q近似為準(zhǔn)連續(xù)的，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。第65頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五上式可以用積分來表示：間的振動(dòng)模式數(shù)。表示在第66頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.頻率分布函數(shù)(模式密度)設(shè)晶體有N個(gè)原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計(jì)算因?yàn)轭l率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模式密度的表達(dá)式。包含在內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為：?jiǎn)挝活l率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。第67頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個(gè)等頻率面間的波矢數(shù)qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。第68頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五體積元包含的波矢數(shù)目：由梯度定義知:代入上式得第69頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五證明：(法一)例1：證明由N個(gè)質(zhì)量為m、相距為a的原子組成的一維單原子鏈的模式密度一維單原子鏈第70頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五共有N個(gè)值dq間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為:間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為：(因子2是因?yàn)橐粋€(gè)對(duì)應(yīng)于正負(fù)兩個(gè)波矢q，即一個(gè)對(duì)應(yīng)兩個(gè)振動(dòng)模式。)第71頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第72頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(式中m為截止頻率)(法二)一維單原子鏈只有一支格波，且對(duì)于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為3D:1D:2D:第73頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解:例2：三維晶體，求其中c為常量，qxqy在波矢空間，等頻率面為球面，球半徑為q。第74頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的；(2)所有原子都具有同一頻率。1.模型設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，因?yàn)槊總€(gè)原子可以沿三個(gè)方向振動(dòng)，共有3N個(gè)頻率為的振動(dòng)。2.計(jì)算(1)比熱表達(dá)式第75頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第76頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數(shù)。愛因斯坦溫度E如何確定呢？選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。對(duì)于大多數(shù)固體材料，E在100300K的范圍內(nèi)。第77頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五高溫時(shí)，當(dāng)T>>E時(shí)，(1)3.高低溫極限討論第78頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)低溫時(shí)，當(dāng)T<<E時(shí)，可見，愛因斯坦模型想CV以e指數(shù)形式趨近于0，比實(shí)際的T3趨于零的速度更快。

是什么原因使愛因斯坦模型在低溫時(shí)不能與實(shí)驗(yàn)相吻合呢??第79頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五按愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦頻率E大約為1013Hz，處于遠(yuǎn)紅外光頻區(qū)，相當(dāng)于長(zhǎng)光學(xué)波極限。具體計(jì)算表明，在甚低溫度下，格波的頻率很低，屬于長(zhǎng)聲學(xué)波，也就是說，在甚低溫度下，晶體的比熱主要由長(zhǎng)聲學(xué)波決定。因此愛因斯坦模型在低溫時(shí)不能與實(shí)驗(yàn)相吻合。3.6.3晶體比熱的德拜模型（1）晶體視為連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波；1.模型:（2）有一支縱波兩支橫波；（3）晶格振動(dòng)頻率在之間(D為德拜頻率)。第80頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.計(jì)算(1)模式密度表達(dá)式由彈性波的色散關(guān)系：=vq在波矢空間，等頻率面是半徑為q的球面，第81頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五模式密度為:彈性波有1支縱波、2支橫波,共3支格波。所以總的模式密度為：第82頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)比熱表達(dá)式第83頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五D為德拜溫度取---德拜比熱函數(shù)第84頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(1)當(dāng)T>>D時(shí)，x<<1，3.高低溫極限情況討論第85頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五高溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)規(guī)律相吻合。(2)低溫時(shí)，當(dāng)T<<D時(shí)，由上式看出，在極低溫度下，比熱與T3成正比，這個(gè)規(guī)律稱為德拜定律。溫度越低，理論與實(shí)驗(yàn)吻合的越好。第86頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第六節(jié)非諧效應(yīng)與熱傳導(dǎo)3.6.1熱傳導(dǎo)的物理本質(zhì)3.6.2正常過程和反常過程3.6.4晶體的狀態(tài)方程3晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.6.5統(tǒng)計(jì)物理方法3.6.3熱膨脹第87頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.6.1熱傳導(dǎo)當(dāng)晶體中溫度不均勻時(shí)，將會(huì)有熱能從高溫處流向低溫處，直至各處溫度相等達(dá)到新的熱平衡,這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。(為正值)為熱傳導(dǎo)系數(shù)或熱導(dǎo)率。負(fù)號(hào)表明熱能傳輸總是從高溫區(qū)流向低溫區(qū)。晶體熱傳導(dǎo)電子熱導(dǎo)晶格熱導(dǎo)電子運(yùn)動(dòng)導(dǎo)熱(金屬)格波的傳播導(dǎo)熱(絕緣體、半導(dǎo)體)第88頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(1)氣體熱傳導(dǎo)CV單位體積熱容---平均自由程熱運(yùn)動(dòng)平均速度放能吸能高溫區(qū)低溫區(qū)氣體分子碰撞碰撞1.微觀解釋第89頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)晶格熱傳導(dǎo)晶格熱振動(dòng)看成是“聲子氣體”，聲子數(shù)密度大聲子數(shù)密度小擴(kuò)散低溫區(qū)高溫區(qū)CV單位體積熱容---聲子自由程聲子平均速度(常取固體中聲速)第90頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.討論與T的關(guān)系1)高溫時(shí)，T>>DCV單位體積熱容，---聲子自由程，聲子平均速度(常取固體中聲速)?；九c溫度無關(guān)，Cv和與溫度密切相關(guān)第91頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)低溫時(shí)，T<<D因?yàn)樵趯?shí)際晶體中存在雜質(zhì)和缺陷，聲子的平均自由程不會(huì)非常大。對(duì)于完整的晶體，(D為晶體線度)。實(shí)際上熱導(dǎo)系數(shù)并不會(huì)趨向無窮大。低溫時(shí)：第92頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五聲子間的相互作用遵循能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒碰撞前后系統(tǒng)準(zhǔn)動(dòng)量不變，對(duì)熱流無影響。---正常過程(N過程)；(1)---反常過程(U過程)。(2)§3.6.2正常過程和反常過程第93頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.6.3

熱膨脹熱膨脹：在不施加壓力的情況下，晶體體積隨溫度變化的現(xiàn)象稱為熱膨脹。假設(shè)有兩個(gè)原子，一個(gè)在原點(diǎn)固定不動(dòng)，另一個(gè)在平衡位置R0附近作振動(dòng)，離開平衡位置的位移用表示，勢(shì)能在平衡位置附近展開：01.物理圖象R0R0第94頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（1）簡(jiǎn)諧近似RU(r)R0兩原子間距不變，無熱膨脹現(xiàn)象第95頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五兩原子間距增大，有熱膨脹現(xiàn)象。由玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，原子離開平衡位置的平均位移2.理論計(jì)算（2）非簡(jiǎn)諧效應(yīng)第96頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(c、g均為正常數(shù)。)(1)簡(jiǎn)諧近似：是的奇函數(shù)在簡(jiǎn)諧近似下無熱膨脹現(xiàn)象。第97頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)非簡(jiǎn)諧效應(yīng):在非簡(jiǎn)諧效應(yīng)下，有熱膨脹現(xiàn)象。推導(dǎo)略第98頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第99頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第100頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線膨脹系數(shù)當(dāng)勢(shì)能只保留到3次方項(xiàng)時(shí)，線膨脹系數(shù)與溫度無關(guān)。若保留更高次項(xiàng)，則線膨脹系數(shù)與溫度有關(guān)。顯然，在簡(jiǎn)諧近似下，g=0，=0。第101頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.6.4

晶體的狀態(tài)方程和熱膨脹由熱力學(xué)知，壓強(qiáng)P、熵S、定容比熱CV和自由能F之間的關(guān)系為：自由能F(T，V)是最基本的物理量,求出F(T，V)，其他熱力學(xué)量或性質(zhì)就可以由熱力學(xué)關(guān)系導(dǎo)出。1.晶體的狀態(tài)方程第102頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格自由能F1=U(V)F2由統(tǒng)計(jì)物理知道：Z是晶格振動(dòng)的配分函數(shù)。頻率為i的格波，配分函數(shù)為：由晶格振動(dòng)決定T=0時(shí)晶格的結(jié)合能若能求出晶格振動(dòng)的配分函數(shù)，即可求得熱振動(dòng)自由能。第103頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五忽略晶格之間的相互作用能，總配分函數(shù)為：由于非線性振動(dòng)，格波頻率i也是宏觀量V的函數(shù)，所以第104頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第105頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五式中表示頻率為i的格波在溫度T時(shí)的平均能量，而

是與晶格的非線性振動(dòng)有關(guān)與i無關(guān)的常數(shù)，稱為格林艾森數(shù)。第106頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五為晶格振動(dòng)總能量。對(duì)于大多數(shù)固體，體積的變化不大，因此可將在晶體的平衡體積V0附近展開:若只取一次方項(xiàng)，則晶體的狀態(tài)方程(格林艾森方程)2.由狀態(tài)方程討論晶體的熱膨脹第107頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其中K是體積彈性模量。熱膨脹是在不施加壓力的情況下，體積隨溫度的變化。上式兩邊對(duì)溫度T求導(dǎo)得：上式等號(hào)右邊第二項(xiàng)是非常小的量可略去，所以第108頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五格林艾森定律。（1）熱膨脹系數(shù)與格林艾森數(shù)成正比。對(duì)于簡(jiǎn)諧近似，=0，無熱膨脹現(xiàn)象。熱膨脹是非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，可作為檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大小的尺度，同樣也可用作檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的尺度。實(shí)驗(yàn)測(cè)定，對(duì)大多數(shù)晶體，值一般在1～3范圍內(nèi)。（2）熱膨脹與熱振動(dòng)成正比，所以熱膨脹系數(shù)與晶體熱容量成正比。第109頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.6.5

統(tǒng)計(jì)物理方法采用簡(jiǎn)諧近似，當(dāng)溫度較高，簡(jiǎn)諧近似理論不能解釋熱膨脹第110頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五考慮非諧效應(yīng)，第111頁(yè)，共121頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第三章晶格振動(dòng)總結(jié)晶體的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)晶體比熱確定晶